2019江苏省高考压轴卷数学

1、绝密启封前2021江苏省高考压轴卷数学数学I考前须知考生在做题前请认真阅读本考前须知及做题要求1 .本试卷共4页,包含填空题(第1题第14题)、解析题(第15题第20题).本卷满分为160分,测试时间为120分钟.测试结束后,请将做题卡交回.2 .做题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及做题卡的规定位置.3 .作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在做题卡上指定位置作答,在其它位置作答一律无效.4 .如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：球体的体积公式：V=4nR3,其中&为球体的半径.3一、填空题(本大题共14

2、小题,每题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在做题纸的指定位置上)1 .全集U=1,2,3,4,5,集合A=13,4,B=3,5,那么q(Acb).2 .i是虚数单位,假设(1-i)(a+i)=2,awR,那么a=.3 .我国古代数学算经十书之一的?九章算术?一哀分问题：今有北乡八千一百人,西乡九千人,南乡五千四百人,凡三乡,发役五百,意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役,那么北乡比南乡多抽人.4 .如图是一个算法的流程图,那么输出y的取值范围是.F5 .函数f(x)-log2(x1)x_3x3什,右f(g=6,那么f(m-61)=6 .f(x)=sin(x1),假设p

3、C1,3,5,(p)w0的概率为7.函数f(x)=2sin(cox+(j)(co>0,|的局部图象如下图,那么f8.A,B分别是双曲线)的值为622C：±-L=1的左、右顶点,P(3,4)为C上一点,那么4m2PAB的外接圆的标准方程为9 .f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=|x2-3x|,那么不等式f(x-2)10 .假设函数f(x)=a1nx,(aCR)与函数g(x)=Vx,在公共点处有共同的切线,那么实数a的值为11 .设A,B在圆x2+y2=4上运动,且AB=2j3,点P在直线3x+4y-15=0上运动.那么|PA+PB|的最小值是2二12 .在AB

4、C4角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZABC=,/ABC勺平分线交3AC于点D,BD=1,那么a+c的最小值为13 .如图,点D为ABC勺边BC上一点,BD=2DC,En(nN)为AC上一列点,且一一,、1一满足：EnA=(4anT)EnD+EnB,其中实数列an满足4an-1W0,且a=2,4an正5那么,+-La1-)a2-1a3-)an-)B10(x1)ex.x：014 .函数f(x)=?'22,其中e是自然对数的底数.假设集合xez|x-3x2+6x,x.0(f(x)-nj>0中有且仅有4个元素,那么整数m的个数为.二、解做题(本大题共6小题,计90分.解析应写出必

5、要的文字说明,证实过程或演算步骤,请把答案写在做题卡的指定区域内)15 .(本小题总分值14分)如图,在直四棱柱ABCaABCQ中,点M为棱BC上异于B,C的一点.(1)假设M为BC中点,求证：AC/平面ABM(2)假设平面ABML平面BBCC,求证：AMLBC716 .(本小题总分值14分)aW(,n),Pw(0,3),cos8P)=(1)求sin(2«-2P)的值；(2)求cosa的值.17 .(本小题总分值14分)学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼,如图,JiABC3,/C=,/CBA=0,BC=a.在它的内接正方形DEFG建房,其余局部绿2化,假设ABC勺面积

6、为S,正方形DEFG勺面积为T.(1)用a,0表小S和T；(2)设f(.)=T,试求f(.)的最大值P;2218 .(本小题总分值16分)椭圆C2"+2y=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为25/2.a2b22(I)求C的方程；(n)如图,经过椭圆左项点A且斜率为k(kw0)直线l与C交于A,B两点,交y轴于点E,点P为线段AB的中点,假设点E关于x轴的对称点为H,过点E作与OPO为坐标原点)5垂直的直线交直线AHr点M且APMM积为,求k的值.1219 .(本小题总分值16分)函数f(x)=2lnx+xax,auR.(1)当a=3时,求函数f(x)的极值;(2)设函数

7、f(x)在x=x0处的切线方程为y=g(x),假设函数y=f(x)-g(x)是(0,十00)上的单调增函数,求x0的值；(3)是否存在一条直线与函数y=f(x)的图象相切于两个不同的点？并说明理由.20 .(本小题总分值16分)集合A=a1,a2,a3,an,其中aiCR(1wiwn,n>2),l(A)表示和a+aj(1wivjwn)中所有不同值的个数.(I)设集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16,分别求l(P)和l(Q;n假设集合A=2,4,8,2n,求证：lA=n7;出lA是否存在最小值？假设存在,求出这个最小值；假设不存在,请说明理由?数学n附加题考前须知考生在做题前请认真

8、阅读本考前须知及各题做题要求1.本试卷共2页,均为非选择题第2123题.本卷总分值为40分,测试时间为30分钟.测试结束后,请将做题卡交回.2 .做题前,请您务必将自己的姓名、测试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在做题卡上,并用2B铅笔正确填涂测试号.3 .作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在做题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效.如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚.21 .【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每题10分,共20分.请在做题.卡指定区域内作答.解析应写出文字说明、证实过程或演算步骤.A.选修41:几何证实选讲如图,AB

9、为半圆O的直径,点C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点B作BD_LCD于点D.求证：BC2=BABD.B.选修4-2:矩阵与变换abl1矩阵M=|,N=“cd0-一-01一11,且MN=42-0C.选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=2ty-_2_tt为参数.在极坐标系中与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,极轴与x轴的非负半轴重合),圆C的方程为P=4J2cos1日十三,求直线l被圆C截得的弦长.D.选修45:不等式选讲正实数x、v、z,满足x+y+z=3xyz,求xy+yz+xz的最小值.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共

10、计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.22 .(本小题总分值10分)如图,在四棱锥P-ABC由,ACL平面PDCAD/BC,PDLPBAD=1,BG=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值.(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.23.(本小题总分值10分)在集合A=1,2,3,4,2n中,任取m(m<n,m,nWN*)元素构成集合Am.假设Am的所有元素之和为偶数,那么称Am为A的偶子集,其个数记为f(m)；假设Am的所有元素之和为奇数,那么称Am为A的奇子集,其个数记为g(m).令F(m)=f(m)-g(m).(1)

11、当n=2时,求F(1),F(2),的值；(2)求F(m).2021江苏省高考压轴卷数学1 .【答案】1,2,4,5)【解析】解：AnB=3,那么？U(AnB=1,2,4,5),故答案为：1,2,4,5),2 .【答案】1.【解析】解：:(17)(a+i)=(a+1)+(1a)i=2,a1=21-a=0故答案为：1.1453 .【答案】60.【解析】解：由题意可知,抽样比为500=.故北乡应抽8100x810090005400451=180,南乡应抽5400X一=120,45所以180-120=60,即北乡比南乡多抽60人,故答案为：604 .【答案】2万31.【解析】解：由中的程序语句可知：该

12、程序的功能是计算并输出变量1的值,2x1-3x0y=x3xx<0由于当x>0时,y=2x+13之2丘3,x当xW0时,y=3xC(0,1,那么输出y的取值范围是2技31.故答案为：2反31.5 .【答案】-4.3x-5x3【斛析】斛：:函数f(x)=W,f(ni=-6,-log2(x1)x-3当nK3时,f(n)=3之5=-6,无解;当命3时,f(ni)=Tog2(n+1)=-6,解得m=63,f(m-61)=f(2)=322-5=-4.故答案为：-4.36 .【答案】3.4【解析】解：=f(x)=sin(x1),pC1,3,5,7,f(1)=sinO=0,f(3)=sin2>

13、;0,f(5)=sin4<0,f(7)=sin6<0,31-f(p)<0的概率为p=.4.3故答案为：3.47 .【答案】1.【解析】解：根据函数f(x)=2sin(3x+(j)(3>0,|(f)|<)的局部图象,可得212二二5二=+,.3=2,21212再根据五点法作图可得2,+4=0,12,7二.f()6故答案为：=2sin(13二=2sin=2sin=1,6,函数f(x)=2sin(2x-),ji8 .【答案】x2+(y-3)2=10.【解析】解：P(3,4)为C上的一点,9 16一所以一-=1,解得m=1,m2所以A(1,0)B(1,0),设PAB的外接

14、圆白圆心(0,b),那么1+b2=32+(b-4)2,解得b=3,那么PAB的外接圆的标准方程为x2+(y-3)2=10.故答案为：x2+(y-3)2=10.9 .【答案】x|3<x<1或0WxW月1或7+即wxw-4.【解析】解：根据题意,当x>0时,f(x)=|x2-3x|,x,0.一3、17此时右有f(x)W2,即,解可得0wxwi或2wxw,即此时f(x)|x2-3x|<223.i7<2的解集为x|0<x<1或2wxwZ-Jl一,2又由f(x)为偶函数,那么当xW0时,f(x)w2的解集为x|-1WxW0或->17&x<-2

15、,综合可得：f(x)W2的解集为x|TWxW1或2<xW3+或一二,7wxw-2;那么不等式f(x-2)<2的解集x|-3wxw1或0Wxw17-1或-7+17wxw-4;故答案为：x|-3Wxw1或0<x<而-1或-7+屈wxw-4.e10 .【答案】e.2【解析】解：函数f(x)=alnx的定义域为(0,+8),(x)=a,g'(x)=,x2,x设曲线f(x)=alnx与曲线g(x)=4公共点为(x°,y°),a12由于在公共点处有共同的切线,一=产,解得x°=4a,a>0.x02x由f(x.)=g(x.),可得alnx0

16、=1/x?x0=4a2!,解得aalnx0=,x0故答案为：e.211 .【答案】5.【解析】解：取AB的中点M连OM那么OMLAB.|OM|=炳奸二丽="3=1,即点M的轨迹是以O为圆|PAPB|2|pM|,15设点O到直线3x+4y-15=0的距离为d=3,91641为半径的圆.2=1的交点时取等故答案为：5.12.【答案】4.12二1二1二【斛析】斛：由题思倚-acsin=asin十一csin,232323即ac=a+c,得工工=1,ac得a+c=(a+c)(2+1)=2+-+->2+2Jc=2+2=4,acacac'当且仅当a=c时,取等号故答案为：4n113.

17、答案3一一3一4n2T-1-1【解析】解：点D为ABC勺边BC上一点,BD=2DC,EnDEnBf2(EnC-EnD)3EnC=EnD-21-EnB2所以2|PM|>2d-1=6-1=5(当且仅当OPLl,M为线段OPf圆x2p-3r3-4又EnA='EnC=2EnD-万EnB,4an-1=-314an15,L-3一4第书5=-,4an-14an1-4=14an-44an-14an-1a1-.-11_an1-,4an1an1-14an-1,3n-=4-an-1an-12:3(an-1+2),1_n1_n_2=3,=3-2.a-1an-1%TSn二3(1-3n)3n1-3-4n_2

18、n=1-314.函数f(x)=10(x+l)eK+r-工<0,一小,2,其中e是自然对数的底数.假设集合xeZ|x(f(X)m)>0中有且仅有4个元素,那么整数m的个数为【解析】解：.一x=0CA,符合条件的整数根,除零外有且只有三个即可.画出f(x)的图象如下列图:当x>0时,f(x)>m;当x<0时,f(x).即y轴左侧的图象在y=m下面,y轴右侧的图象在y=m上面,.1f(3)=3X9+18=9,f(4)=-3X16+24=-24,32f(-3)=(3)3X(3)+4=4,32f(4)=(4)3X(4)+4=20,平移y=a,由图可知：当-24vaw-9时,

19、A=1,2,3,符合题意;a=0时,A=-1,1,2,符合题意；2<aw3时,A=1,-1,-2,符合题意；4Wav20时,A=-1,-2,-3,符合题意；,整数m的值为23,-22,-21,20,19,18,17,16,15,14,13,-12,-11,-10,-9,0,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,共34个.故答案为：34.15.【答案】见解析.【解析】证实：1连结AB,交AB于N,那么N是AB的中点, 在直四棱柱ABC»ABCD中,M为BC中点, .MN/AC, .AiC?平面ABMMN?平面ABM .AC/平面A

20、BM解：2过B作BHBM垂足为P,平面ABM1平面BBCC,且交线为BMBP?平面ABMAM?平面ABCD.-.BBXAM直四棱柱ABCDABCD中,BBL平面ABCDA储平面ABCDBBXAM又BPABB=B,.AML平面BBCC,又BC?平面BBCC,AMLBC4/!16.【答案】(1)8/3.(2)49【解析】解：1:aw立14二二1-万,二,：.,万,cos-：0J+.：=1sin(3-P)=j1-cos2(«-sin(2&-2P)=2sin(aP)cos(aP)=49(2)cos2ct=cos(a+P)+(:一-)=cos(：)cos(:一：)-sinin(a+P)

21、sin(a-P1'.34.3£Jr,14求得一.7-一8夕=,或cos«=-14综上,cosa=14(as)2T-no1(1)S=1a2tan24.9i由题意知,AC=atan0,【解析】解:所以ABCW面积为:S=1AC?BC=1a2tan.,其中00,一;2又DG=G展BQinCG所以BG=cos-a-BGcos-'sin-cos-1asin二D生,sinucos11所以正方形DEFG勺面积为:,.、2八面舄可其(°,?由题意知“=(Si震震If,其(°O'所以f(e):1sin1cosi2sin二cos二由sin0cos0=

22、1sin20(0,1,22一15所以sin?cosi-一,sinrcos12即f(.)<4,当且仅当sin2.=1,即94所以f(.)的最大值P为.9JT0=一时"="成立;42218.【答案】(I)土+L=1；42(n)【解析】解：(I)由题意可得'c衣e=二a2«2b=2>/2,解得a=2,b=2,c=172,2.2.2a=b+c22.椭圆C的方程为人+L=42(n)易知椭圆左顶点A(-2,0),设直线l的方程为y=k(x+2),那么E(0,2k),H(0,-2k),y=k(x2)由?x2V2消y可得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4

23、=0一+匚=142设A(x1,y.,B(x2,y2),P(x.,y.),=64k-4(8k-4)(1+2k)=16贝U有xi+x2=_8k2,12kXlX2=8k2-412k2,1,、.xo=(xi+x2)=24k212k2.,2k,y°=k(x°+2)=y,12k2%p=%xo12k,直线EM勺斜率kE后2k,直线EM勺方程为y=2kx+2k,直线AH的方程为y=-k(x+2),点M到直线l,4,|-k|:kxy+2k=0的距离d=J_3,1k2|AB|=1k2(x1x2)2-4x1x2=4%1k212k2'1AP=-AB22Jk22-,12k1,12V1+kS&

24、amp;PM=2AP?d=-12k2413k|_1k2413k1212k222斛得k=.2519.【答案】(1)f(X)的极大值为f(1)=极小值为f(2)=2ln2-4；=衣;(3)见解析【解析】(1)12一一当a=3时,函数f(x)=2lnx十x23x的定义域为(0,十302贝Ufx=x-3=x2_x-3x-2一一一x-3x,令f(x)=0得,x=1或x=2.列表:x(0,1)1(1,2)2(2,+叫f'(x)+00+xf(x)极大值极小值5所以函数单)的极大值为f(1)=-；极小值为f(2)=2ln2-4.(2)依题意,切线方程为y=f<x0XXX0)+f(Xo)(xo&g

25、t;0),从而g(x)=f'(XoXx-Xo)+f(Xo)(Xo>0),记pXi=fX-gX,那么p(x)=f(x)f(xo)f'(xox-Xo)在(o,)上为单调增函数,所以p'(X尸f'(X)f'(Xo户o在(o,+8)上恒成立,22.即p(x)=-+xxo之o在(o,)上恒成立.xXo22一变形得X+之Xo+在(.,)上恒成立,xXo2_2由于x2.x-=22(当且仅当x=v2时,等号成立),X.X所以272之Xo+,从而(Xo-五)M.,所以Xo=4i.Xo(3)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点1(x1,y1),T2(x

26、2,y2),不妨o<Xi<X2,贝UTi处切线li的方程为：yf3)=f'(XiXxXi),T2处切线l2的方程为：yf(x2)=f'(x2Xxx2).L,f(x1)=f(x2),口n由于li,l2为同一直线,所以,',即fXi-XifXi=fX2-X2fX2.(122lnxixi1axi-xi222一十x1一a=一十x2a,xix2+x-aiXiaXi)=2lnx21X22-ax2-x22+x_ax2aX2)整理得,21nxiXX2=2,2.X.1212消去X2得,2ln十-x1=21nx2-x2.2222-2Xi2Xi=0.32令t=2,由02<x

27、1<x2与X1X2=2,得tw(0,112记p(t)=2lnt+；t,那么p'(t)=2一1=,)<0,所以p(t)为(0,1)上的单调减函数,所以p(t)>p(1)=0.从而式不可能成立,所以假设不成立,从而不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点.20.【答案】(I)l(P)=5.l(Q=6;(n)证实见解析；(m)l(A)存在最小值,且最小值为2n-3.【解析】解：(I)根据题中的定义可知：由2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14,得l(P)=5.由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16

28、=20,8+16=24,得l(Q=6.(5分)(n)证实：由于a+a(1<i<j<n)最多有C；二：；一1)个值,所以l(A)En(7).又集合A=2,4,8,2n,任取ai+a,ak+al(1wivjwn,1<k<l<n),当jwl时,不妨设jvl,那么ai+a<2a=2j+1<a<a<+al,即a+a丰ak+a.当j=l,iwk时,a+awak+al.因此,当且仅当i=k,j=l时,ai+aj=ak+a.即所有ai+a(1wivjwn)的值两两不同,(9分)(m)l(A)存在最小值,且最小值为2n-3.不妨设a1va2va3<

29、;evan,可得a1+a2<a+a3<va1+an<a2+an<-<an-1+an,所以a+a(1wivjwn)中至少有2n-3个不同的数,即l(A)>2n-3.事实上,设a1,a2,a3,an成等差数列,考虑a+aj(1wivjwn),根据等差数列的性质,当i+jwn时,a+aj=a1+a+j-1；当i+j>n时,a+aj=ai+j-n+an；因此每个和ai+a(iwivjwn)等于ai+ak(2<kwn)中的一个,或者等于ai+an(2w|Wn-1)中的一个.所以对这样的A,l(A)=2n-3,所以l(A)的最小值为2n-3.21 .A.选修

30、41:几何证实选讲【答案】证实见解析.【解析】证实：由于CD为圆的切线,弧SC所对的圆周角为NBAC,所以NBCD=/BAC.又由于为半圆0的直径,所以ZACB=90°.又BDLCD所以/CDB=90°=ZACB.由得AABCsACBD,ABBC-2所以=nBC=BABD.BCBDB.选修4-2:矩阵与变换人40【答案】M=,01【解析】,一、1由题息,MN14一0,那么MN=2一4-001121由于N=一1011,那么N=211,0所以矩阵M0H4北C.选修44:坐标系与参数方程12、,5【解析】x2y4=0将直线l的参数方程为x=2t化为方程:y=-2-t圆C的方程为P=4j2cosfe+工j化为直角坐标系方程：P2=4P(cos9-sine),即x2+y2_4x+4y=0,(x2j+(y+2；2=8,其圆心(2,2),半径为26圆心C到直线l的距离为d2-442直线l5被圆C截得的弦长为D.选修45:不等式选讲一一一、,111因x+y+z=3xyz,所以+=3,xyyzxz1112又xy+yz+xz+之1+1+1=9,xyyzxzxy+yz+xz之3,当且仅当x=y=z=1"=?=时取等号,所以xy+yz+xz的最小值为3.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计