Buck-Boost电路建模及分析

1、题目：Buck-Boost电路建模及分析摘要：作为研究开关电源的基础，DC-DCF关变换器的建模分析对优化开关电源的性能和提高设计效率具有重要意义。而Buck-Boost电路作为DC-DCF关变换器的其中一种电路拓扑形式，因其输出电压极性与输入电压相反，而幅度既可比输入电压高，也可比输入电压低，且电路结构简单而流行。为了达到全面而深入的研究效果，本文对Buck-Boost电路进行了稳态分析和小信号分析。稳态分析中，首先介绍了电路工作原理，得出了两种工作模式下的电压转换关系式，并同时可知基于占空比怎样计算其输出电压以及最小最大电感电流和输出纹波电压计算公式；接着推导了状态空间模型，以在MATLA

2、冲进行仿真；而最后仿真得到的电感电流、输出电压的变化规律符合理论分析。小信号分析中，首先推导了输出与输入间的传递函数表达式，以了解低频交流小信号分量在电路中的传递过程；接着分析其零极点，且仿真绘制波特图进行了验证。经过推导与研究，稳态分析和小信号分析下仿真得到的变化规律均与理论上的推导一致。关键词：Buck-Boost;稳态分析；小信号分析；MATLAB真1.概论现代开关电源有两种：直流开关电源、交流开关电源。本课题主要介绍直流开关电源，其功能是将电能质量较差的原生态电源，如市电电源或蓄电池电源，转换为满足设备要求的质量较高的直流电源，即将“粗电”转换为“精电”。直流开关电源的核心是DC-D喙

3、换器。作为研究开关电源的基础，DC-DC开关变换器的建模分析对开关电源的分析和设计具有重要意义。DC-DCFF关变换器最常见的三种电路拓扑形式为：降压(Buck)、升压(Boost)和降压-升压(Buck-Boost)1,如图1-1所示。其中Buck-Boost变换器因其输出电压极性与输入电压相反，而幅度既可比输入电压高，也可比输入电压低，且电路结构简单而流行。(a)Buck型电路结构(b)Boost型电路结构(c)Buck-Boost型电路结构图1-1DC-DC变换器的三种电路结构本课题针对Buck-Boost变换器的建模分析进行深入研究，以优化开关电源的性能和提高设计效率根据传输信号的种类

4、，DC-DC变换器模型可以分为稳态模型、小信号模型和大信号模型2等，其中稳态模型主要用于求解变换器在稳态工作时的工作点；小信号模型用于分析低频交流小信号分量在变换器电路中的传递过程，是分析与设计变换器的有力数学工具，具有重要意义；大信号模型则主要用于对变换器进行数值仿真计算，有时也用于研究不满足小信号条件时的系统特性。DC-D改换器的建模方法有很多种，包括基本建模法、状态空间平均法3、开关元件与开关网络平均模型法等。虽然每种方法有其不同的着眼点和建模过程，但它们的最基本思路是相同的。这是因为在实际变换器电路中，用于构成开关的有源开关元件和二极管都是在其特性曲线的大范围内工作，从而使变换器成为一

5、个强非线性电路。针对变换器的这一特殊性，各种建模方法均采取如下建模思路：首先，对变换器中的各变量在一个开关周期内求平均，以消除高频开关纹波的影响；其次，分解各平均变量，将它们表达为对应的直流分量与交流小信号分量之和，方程两边直流分量、交流分量对应相等，从而达到分离小信号的目的；最后，对只含小信号分量的表达式作线性化处理，将非线性系统在直流工作点附近近似为线性系统，从而线性系统的各种分析与设计方法均可应用于DC-D改换器。基于这一思路直接得到的方法称为基本建模法；开关元件与开关网络平均模型法则是以受控源为基础的开关元件或开关网络的等效平均电路，也称为大信号等效电路，由此进一步求得直流等效电路和交

6、流小信号等效电路；而状态空间平均法是对这一思路的直接应用，即用状态方程的形式具体描述建模过程，具简化了计算过程，可操作性更强，更具普遍适用性。因此，本课题采用状态空间平均法进行建模。2.Buck-Boost电路稳态分析如绪论中所述，Buck-Boost电路的输出电压幅度可低于或高于输入电压。如果将源电压的负端作为参考节点，则输出电压的极性与源电压相反。Buck-Boost电路原理图如下图2-1所示，其中SW1SW2均为理想开关。Buck-Boost电路可以在连续导通模式（CCM和非连续导通模式（DCM产下工作。连续导通模式在稳态工作时，整个开关周期内都有电流连续通过电感；而非连续导通模式下的电

7、感电流是不连续的，即在开关周期内的一部分时间电感电流为0,且它在整个周期内从0开始，达到一个峰值后，再回到00图2-1Buck-Boost电路原理图2.1CCM模式分析在连续导通模式下，Buck-Boost电路在每个开关周期内有两种工作状态6,当SW1闭合、SW削开时，为开态(ON,如图2-2(a)所示；当SW惭开、SW2a合时，为关态(OFF,如图2-2(b)所示。下面分别对这两种工作状态进行分析：开态：参考图2-2(a),输入电压直接加载在电感两端，且由于加载的电压通常必须为定值，因此电感电流线性增加，而所有的输出负载电流由输出电容C提供。其中，“开态”的时间设为ton=DxT,D为控制回

8、路设定的占空比，代表了开关在“开态”的时间占整个开关周期T的比值。如图2-3所示。关态：参考图2-2(b),由于SW1K开，电感电流减小，电感两端电压极性翻转，且其电流同时提供输出电容电流和输出负载电流。根据电流流向可知输出电压为负的，即与输入电压极性相反。因为输出电压为负的，因此电感电流是减小的，而且由于加载电压必须是常数，所以电感电流线性减小。其中，“关态”的时间设为toff=D%T,且因为对于连续导通模式，电路在整个开关周期中只有两种状态，因此D'=1-D0如图2-3所示。以下论文所有讨论中变量均只表示大小，其具体方向如图2-2中所示。tmtE图2-2Buck-Boost电路等效

9、原理图图2-3CCM模式下Buck-Boost电路电感电流波形图为推导Buck-Boost电路在稳态连续导通模式下的电压转换关系，首先分析开关周期中电感两端的电压，然后根据“伏秒平衡”原则口即可得到。因为，电感两端的电压为:则电感电流的增加量或减少量为:diVL=LdtVl.|L=TL(2.1)(2.2)而参考图2-2可知，开态、关态时电感两端的电压分别为Vli=VsVl2=V，其中Vs、分别表示输入电压和输出电压。因此，可得：0_t_tonton_t_TVsl|ltonLV：|L一=-T-ton(2.3)在稳态条件下，开态下的电流增加量A|L(+历关态下的电流减小量&L"泌

10、须相等。否则，在一个周期到下一个周期，电感电流就会有一个净的增加量或减小量，这就不是稳态了，即其满足“伏秒积平衡”原则。(2.4)(2.5)ILL)：L一Vston-VT-ton解得:VVs1-DD.上VVs(2.6)因此，式(2.6)即为Buck-Boost电路在稳态连续导通模式下的电压转换关系式。且根据上式可知，输出电压与占空比成正比例关系，占空比越大，具输出电压越大；反之占空比越小，其输出电压越小。又电感电流为：1tiL(t)=一1fVL(7dT+Imin(2.7)Lto其中Vl(t)：电感两端的电压Imin:t=t。时刻的电感电流将VL1=Vs、VL2=V代入可得：iL1t=tImin

11、0-t-tonL(2.8)iL2t=t-tonImaxton三t三TL如果输出电容旁路掉iL(t)中所有的谐波，则负载电流等于电感平均电流。但在Buck-Boost电路中，参考图2-2可知，电感只有在“关态”时才与负载连接，因此仅仅电感平均电流的一部分流过负载电流。Io=(1-D>ILvg)(2.9)根据上式可知，电感平均电流与输出负载电流成正比例关系，因为电感纹波电流3L与输出负载电流无关，而电感电流的最大值、最小值精确地跟随电感平均电流变化。例如，当电感平均电流由于负载电流降低而减小1A时，电感电流的最大值和最小值也会随着减小1A（假定一直工作在CCMK式下）。同时由上述分析可知，当

12、时，电感电流达到最大。,DVs|max=十|min（2.10）Lf如图2-3中电感电流波形所示，计算矩形区和三角区的面积总和为：AT-DVsTimin2Lf电感平均电流即为上式所表示的面积与开关周期的比值:,DVs.|Lavg=-|min2Lf联合式（2.9）（2.12）可得最小、最大电感电流计算公式为:,|oDVs|min二-1-D2Lf,|oDVs|max二1-D2Lf(2.11)(2.12)(2.13)现推导输出纹波电压计算公式:根据上述电路分析可知，当电感与负载连接时，电容电流等于电感电流减负载电流;.iC11=|oViC2t=Lt-ton|m0-t-tonax-|oton<t&

13、lt;T(2.14)当电感与负载没有连接时，负载电流由电容提供。因此，根据式（2.8）可得：2-4所示的图形中，时间轴上下的面积必须相等。图2-4CCM模式下Buck-Boost电路电容电流波形图因此，电荷:输出纹波电压:八,VDQ=CV=|oton=RfVDV二RfC(2.15)(2.16)根据电荷平衡原则，电容电流在整个开关周期内的积分为零，因为积分代表面积，即电荷。因此，在图VDr=二VRCf(2.17)纹波:2.2DCM模式分析现在我们研究当导通模式从连续变为非连续，负载电流降低时会发生什么。根据式（2.9）,我们知道在连续导通模式下，电感平均电流跟随输出电流变化，也即是，如果输出电流

14、减小，则电感平均电流也会减小。止匕外，电感电流的最大值和最小值也会准确地随着电感平均电流变化。如果输出负载电流减小到临界电流水平以下，在开关周期的一部分时间内电感电流就会变为00在Buck-Boost电路中，如果电感电流试图降低到0以下时，它就会停在0（实际电路中SW2R允许单向电流通过），并保持为0直到下一个开关周期的开始。这个工作模式就叫做非连续导通模式（DCM相比CCMDCM在每个开关周期内有三种工作状态6：当SW1闭合、SW2断开时，为开态（ON）;当SW1t开、SW2闭合时，为关态（OFF）;当SW1SW2均断开时，为空闲态（IDLE）。前两种状态与CCMK式是一样白1因此图2-2显

15、示的电路也是适用的，但toff（1-D）xT,且开关周期的剩余时间即为空闲态（IDLE）。如图2-5所示，为便于分析将各状态的持续时间分别表示为：开态（ON）时间为ton=DMT,其中D为占空比，由控制电路来设定，表征开关开态内的时间与开关周期总时间T的比值；关态（OFF）时间为toff=D2MT；而空闲态（IDLE）时间即为开关周期的剩余时间T-ton-toff=D3T，图2-5DCM模式下Buck-Boost电路电感电流波形图同理CCM(2.18)Vl=LdiIl=VLT0-t-DTdtLIl=ton=DT=IpkLL."-Jl=Vtoff=VD2TLL纹波电流幅度Hl(+)也是

16、峰值电感电流Ipk,因为在DCM模式下，每个周期内电流都是从0开始的。同理，与CCM真式一样，开态(ON)下的电流增加量与关态(OFF)下的电流减小量AIl(_)必须相等。令AIl(+)=AIl(),即“伏秒积平衡"VsDT=VD2T,解得：(2.20)I0与电感平均电VDVs一D2同理，因为电感只有在“关态”时才与负载连接，利用输出负载电流流IL&vg)的关系可得：即:IoIpkIpkD2T=D2IL22CIVsT=D2DT2L(2.21)联合式(2.20)(2.22)解得:设ki则：D2=TkRTV=D21WdtVD一,kVs(2.22)(2.23)因止匕，式(2.23)

17、即为Buck-Boost电路在稳态非连续导通模式下的电压转换关系式0且根据上式可知，输出电压与占空比也成正比例关系，占空比越大，具输出电压越大；反之占空比越小，其输出电压越小。同时，由上述分析可知，最小、最大电感电流计算公式为：Imin=0(2.24),VsbImax二DT-L现推导输出纹波电压计算公式：由上述分析可知，电感电流为：iL1t="t-IminLiL2t=t-tonImaxLVsDLf0-t-DTDTMt三DD2T(2.25)iL3t=0因此，电容电流为：iC1t=I。'iC2t=Vt-tonImax-IoLiC3t=IoDD2T<t<TDD2T<

18、;t<T(2.26)同理，根据电荷平衡原则，在图2-6所示的图形中，时间轴上下的面积必须相等。图2-6DCM模式下Buck-Boost电路电容电流波形图因此，根据式(2.26)及图2-6可得，电荷：c，1,1L,2Q二C-V二tx-tonI|max一|min=3VImax-Imin输出纹波电压:、，1L1,2.i:V=Imax-Imin|2VC纹波:Vr二V1L2V2CImax-Imin(2.27)(2.28)(2.29)2.3临界电感由上述分析可知，当Buck-Boost电路处于CCMWDCM勺分界处时，其电感电流波形如图2-7所示，即当电感电流降低到0时，马上开始下一个周期。图2-7

19、CCM与DCM勺分界线在CCMK式下，将方程（2.12）代入到方程（2.9）中，可得:DVsI。=1DILavg=1-D1-DI2Lfmin(2.30)令Imin=0、Io=V,则临界电感为：R2,D1-DVsR1-DRLccm=二2fV2f(2.31)其中，D为CCM奠式下的占空比因此，在理想情况下，当实际电感LALccm时，Buck-Boost电路则工作在CCM®式L:二Lccm下；相反，当实际电感时，Buck-Boost电路则工作在DCMK式下Buck-Boost电路状态空间模型vl=l?出一个线性电路的状态变量为电压或电流。而根据如下一阶导数电路规律，如果状态变量选为电感电流

20、或电容电压，则状态空间模型更为简便。(2.32)一般情况下，电感数与电容数之和为状态变量数，也即为状态空间系统的阶数；电路的源数为强制函数的数目，也即构成控制向量。而且一般情况下，源数m决定了控制向量和控制输入矩阵的维数。Buck-Boost电路因为是一个可变结构的系统，因此有着特殊的区别，即其电路的拓扑结构由于半导体器件的开关效应会发生变化。因此，其状态空间模型必须在开关周期的每个部分中描述电路的动态特性。现对其进行具体的分析：如前所述，在连续导通模式下，Buck-Boost电路在开关周期中有两种工作状态，其电路拓扑结构表示在如下图2-8中。fl图2-8Buck-Boost电路的拓扑结构在图

21、2-8(a)所示电路中应用KCLKVL可得“开态”时的状态方程为:Vs=L更dt0=Cdv工dtR同理，在图2-8(b)所示电路中应用KCL0=Ldivdt.八dv.vi二C一dtR0MtMt0n(2.33)KVL可得“关态”时的状态方程为：ton<t<T(2.34)为组合方程(2.33)、(2.34),定义二进制控制开关为:(2.35)10<t<ton0ton<t<T因此，综合可得:diuVs=L-d-1-uv1出dvv1-ui=CdtR求解方程（2.36）,则可得Buck-Boost电路在整个开关周期中的动态方程为:di11、，二一一vvVsudtLLd

22、v1.1i=i-v-udtCRCC将方程（2.37）写为矩阵形式，则可得Buck-Boost电路的状态空间模型为:1(v+Vs)i(2.36)(2.37)(2.38)_CRC一从上述状态空间模型可知，Buck-Boost模型是态变量的函数。C一个单输入系统，且控制输入矩阵为状2.4MATLAB仿真及分析CCMfif真及分析CCM勺仿真过程相对来说更简单，直接利用MATLA本身提供的ode23函数即可求解常微分方程。电路参数值取为:Vs=12VDCV=12VDCR=4.0Q、L=300uHC=75uF、f=10kHz=根据式（2.6）可得=0.5。而根据式（2.31）用得临界电感为：11-DRL

23、ccm=50uH2f而实际电感L=300uHaLccm,因此其工作于连续导通模式下。程序思路：包含两个m文件。buck_b00st.m文件：子函数，定义状态导数函数x=Ax+Bu,且包括定义矩阵R向量u,因为控制输入矩阵B与状态变量v有关，因此也在此m文件中定义；CCM.rtfc件：主程序，ode23函数求解微分方程。且同时定义矩阵A以及电感电流、输出电压初始化，其中初始化遵循一个原则，即让系统更快速的达到稳仿真程序具体代码见附录Ao仿真结果：InductorCurrenl仿真结果分析：对于电感电流，理论上根据式（2.13）可得:|minIo1-DDVs2Lf=5A|maxIo1-DDVs2L

24、f=7A对照上图可知，电感电流达到稳态时需要一定时间，但仿真结果整体符合理论分析。而对于输出电压，理论上根据式（2.17）可得：VDVRCf=16.7%对照上图可知，输出电压约为理论值12VDC且输出纹波电压约为2.06VDC则纹波r=2.06/12=17.1%,仿真结果符合理论分析。实际中，增大输出电容可改善这一现象，即纹波减小。DCMfif真及分析DCM勺仿真过程相对来说更复杂，因为当电路工作在DCM模式下时，电感电流在每个开关周期的开始必须为00而ode23函数为提高数值精度，其本身会调整算法的步长，即其步长不是常量，这则会导致关闭时间的电感电流不一致。因此这里采用四阶Runge-Kut

25、ta算法8,即用一个小的步长，但其为常量来替代可变步长，以维持精度和排除由可变步长所造成的问题。电路参数值取为：Vs=12VDCV=12VDCR=4.0Q、L=10uHC=220uF、f=20kHz=根据式（2.23）可得D=0.224。而根据式（2.31）可得临界电感为：,(1-DfR”一Lccm25uH2f而实际电感L=10uH<Lccm，因此其工作于非连续导通模式下。程序思路：包含三个m文件。rk4.m文件：定义Runge-Kutta算法四阶计算公式，即rk4函数；buck_boost.m文件：同CCMK式的buck_boost.m文件；DCM.mfc件：主程序,rk4函数求解微分

26、方程。为模拟电路中二极管单向的效应，只要电感电流小于0则令其为0,因此仿真需周期循环计算，且需重新设置初始条件，包括下一个周期的始末时间和电感电流、输出电压。仿真程序具体代码见附录A。Imin=0Imax=V=18.97ALfR对照上图可知,电感电流仿真结果符合理论分析。而对于输出电压，理论上根据式(2.29)可得:=5.7%V1L.r-Imax-IminV2V2C对照上图可知，虽输出电压略低于理论值12VDC但输出纹波电压约为0.76VDC,则纹波r=0.76/12=6.4%,仿真结果整体符合理论分析。实际中，增大输出电容可改善这一现象，即纹波减小，且输出电压值与理论值的差距减小。结论：CC

27、M1式和DCM1式下仿真得到的电感电流、输出电压变化规律均与理论推导致。3. Buck-Boost电路小信号分析这里采用的建模方法一一状态空间平均法。概括的说，其分为三个过程：求平均变量、分离扰动、线性化。且在以下推导中需满足三个重要前提条件： 低频假设：交流小信号频率fg远远小于开关频率fs,这样在一个开关周期内求平均即可滤除变量中的开关纹波，但保留了直流分量与低频小信号分量。 小纹波假设：变换器的转折频率fo远远小于开关频率fs,电路中状态变量所含的高频开关纹波分量已被大大衰减，远远小于直流量与低频小信号分量之和，因此即可近似认为状态变量的平均值等于瞬时值，而不会引起较大的误差。 小信号假

28、设：电路中各变量的交流分量幅值远远小于相应的直流分量，这样即可保证线性化处理不会引入较大的误差。 .1CCM传递函数以下先讨论得出一般DC-DC变换器在CCM模式下的传递函数表达式，然后根据Buck-Boost具体电路形式，推导其传递函数。一、求平均变量为滤除变换器各变量中的高频开关纹波，使各变量中的直流分量与交流小信号分量问的关系突显出来，采取对变量在一个开关周期内求平均值的方法，并以状态方程的形式建立各平均变量间的关系，称为平均变量状态方程。如前所述，对于工作在CCM模式下的DC-DC变换器，其在开关周期内有两种工作状态。针对每种工作状态，为电路建立线性状态方程如下：工作状态1:0dTs】

29、x(t)=A1x(t)+B1u(t)(3.1)工作状态2:tlTsTs】x(t)=A2x(t)十B2u(t)(3.2)其中，x(t)为状态向量，u(t)为输入向量，Ai、A2为状态矩阵，Bi、B2为输入矩阵。由为开关元件的作用，工作状态发生了变化，使电路结构也相应地变化，所以A1A2、B1B2具有不同的形式。为消除开关纹波的影响，需要对状态变量在一个开关周期内求平均，并为平均状态变量建立状态方程。定义平均状态向量为：tTsx(t)Ts=x(Td1(3.3)Tst同理，也可定义平均输入向量(u(t,且进一步得到平均状态向量对时间的导数为:二：Xi屋1tTs.TVd(3.4)对式(3.4)最右端作

30、分段积分，并将式(3.1)(3.2)代入，则有:xtX,d.Tstt护、i+fx(TdT=一“TsTTsrt4dTsAIAiX(T)+BiU(Ttt-Fs、jdn+J1A2X(T)+B2U由工卜(3.5)tdTs如上所述，当变换器满足低频假设与小纹波假设时，对于状态变量与输入变量可以用其在一个开关周期内的平均值代替瞬时值，并近似认为平均值在一个开关周期内维持恒定,而不会给分析引入较大的误差，即:XtTsXtutTsut且(x(tKs、u(tk在一个开关周期内可视为常量，则式(3.5)可近似化简为:书TstHTs、IAl(X(T)Ts+B1Ju(T|'TsdT+JIa2X(TTs+B2u

31、(TjTsdi卜ttdTsXt；TTs(3.6)(3.7)工“AixmBiu.TsdTs,A2，xin,B2u.TsdTsJTs整理后得：(3.8)XtTsddtAidtA21,XtTsdtBidtB2】utTs式(3.8)即为CCM模式下DC-DC变换器平均变量状态方程的一般形式。二、分离扰动得到平均变量状态方程以后，为进一步确定变换器的静态工作点，并分析交流小信号在静态工作点处的工作状况，应对平均变量进行分解，分解为直流分量与交流小信号分量之和。因此，对平均向量(x(t,、仅(t作如下分解：xtTs=Xxt(3.9)AutTs=Uut同时对含有交流分量的控制量d(t)进行分解，分解形式同前

32、，则有：AAd(t)=D+d(t)d'(t)=1-d(t)=D'-d(t)(3.10)其中，D1-1-D(3.11)将式(3.9)、(3.10)代入到式(3.8)中，并合并同类项，可得：AAA.AAAAAXxt=AXBUAxtButAi-A2XBi-B2U】dtAi-A2xtdtBi-B2utdt其中，A=DAi+DA2B=DBi+D'B2(3.12)在上式中，等号两边的直流分量、交流分量对应相等，因此可得：1，X=-ABU(3.13)AAA_AAAAAx(t)=Ax(tkBu(t广1AiA2X+(BiB2Ud(t广(AiA2)x(t)d(t/(BiB2)u(t)d(t

33、)(3.14)式（3.14）即为变换器交流小信号状态方程，方程中状态向量的稳态值X由式（3.13）确定。但上式为非线性方程，还需在静态工作点附近将其线性化。三、线性化分析式（3.14）可知，等号右侧的非线性项均为小信号的乘积项。而如上所述，当变换器满足小信号假设时，小信号乘积项的幅值必远远小于等号右侧其余各项的幅值，因此可在方程中将这些乘积项略去，且不会给分析引入较大的误差，以达到将非线性的小信号方程线性化的目的。因此可得线性化的小信号状态方程为：AAAAx（t）=Ax（t广Bu（t广lAlA2）X+（B1B2Ud（t）（3.15）(3.16)(3.17)(3.18)综上，式（3.15）即为用

34、状态空间平均法为CCM模式下DC-DC变换器建立的交流小信号模型。为求得变换器的动态小信号特性，现对其作拉氏变换，并设各状态变量的初始值均为零，因此可得：AAAAsxs=AxsBusIA1-A2XB1-B2UIdsAAAxs=si-ABussi-AA1-A2XB1-B2U】ds其中，I为单位矩阵。因此：AGus-Ads=0=si-ABus式（3.18）即为一般DC-DC变换器CCM模式下的传递函数表达式，现只需对Buck-Boost电路进行具体分析，求出矩阵A、B代入即可。Buck-Boost电路:ut-Ivgt1vg(t)为输入电压。(3.19)令状态向量、输入向量分别为：itxt=_vt其

35、中，i（t）为电感电流，v（t）为电容电压或输出电压,如前分析，可知CCM模式下电感电压VL（t）、电容电流iC（t）在两种工作状态下的表达式分别为：工作状态1:0dTsl将上式写成状态方程形式，则有：it0I|=_vt0ditVLt=LvgtdtiCt二C叱二上dtR(3.20)11(tX一0一(3.21)丁B1=l将式（3.21）与式（3.1）相对应，可得：00A1=0-1JRC.工作状态2:dTsTsiditVLt=L出tict=Cdv=it-dtR(3.23)同理，将上式写成状态方程形式，则有：n1(3.24)L|：y。01）Mt）1_aMt”由i-cRC一将式（3.24）与式（3.2

36、）相对应，可得：A2工10B2=0(3.25)因此:A=DAiDA2二将A、B值代入式（3.18）0D'l-LL1RCB=DBiDB2=中，并根据x（t）、u（t）的定义，可得:D'飞lL10RC-D1(3.26)一口141)1一s+1L<RC2/D12一一ssLCRCDDLC1LLC2s2s式（3.28）即为Buck-Boost电路在CCM模式用俞和与般间的传递函数表达式。因此:Gvgs-vsds=0;vgs(3.27)(3.28)RC1若写为一般形式:Gvgs二vts)A八1a-d(s)=0=Ggo"2Vg(s)1十二十Qwo.帅(3.29)Ggo=D_Dw

37、o.LC注：若考虑输出电压的方向，则上述传递函数的表达式需加一个负号，因为其与输入电压方向相反 .2DCM传递函数同CCM模式一样，以下先讨论得出一般DC-DC变换器在DCM模式下的传递函数表达式，然后根据Buck-Boost具体电路形式，推导其传递函数。一、求平均变量如前所述，对于工作在DCM模式下的DC-DC变换器，其在开关周期内有三种工作状态。针对每种工作状态，为电路建立线性状态方程如下：工作状态1:工作状态2:工作状态3:0diTsldiTsd1d2TsiIdd2TsTsixt=A1xtB1utxt=A2xtB2utxt=A3xtB3ut(3.30)(3.31)(3.32)11Tsxt

38、d1't由1TsfA(x(T)Ts+B1(u(T卜sdTst-|d1d2Ts.一iA2xTs-B2uTsd-td1TstTsr11A3xTsB3u.Tsd.t-|'d1d2Ts=1MixtTsB1utTsd1TsA2xtTsB2utTsd2Ts3xtTsB3utTs11-d1-d2Ts(3.33)(3.34)但相比CCMTs=d1Ad2A21-d1-d2AxtTsdBd2B21-d1-d2B3utTs为便于表达，定义d3=1-d1-d2,则：xtTs=d1Ad2A2d3A3xtTsd1Bd2B2d3B3utTs式(3.34)即为DCM模式下DC-DC变换器平均变量状态方程的一般

39、形式。模式，具增加了一个未知量d2（t）,而d3（t）可根据d2（t）求得，因此需增加两个辅助分析条件，其一为电感平均电流，其二为电感平均电压。首先分析电感平均电流，这里的电感平均电流指其在瞬时值不为零的时间内，即0（d1+d2Ts】期间内的平均值。根据低频假设与小纹波假设，可近似认为电感电压在0dTs】与dTs（d1+d2Ts】时间段内分别维持恒定，分别用VL,d1Ts、与VL,d2Ts表示，对td1d2Tsidd1d2Tst应的电感电流分别按斜率为VL,d1Ts与Vd2Ts的线性规律变化，因此可将电感平均电流表达为：LL11VL,d1Ts|1(3.35)-d1d2TsdTs=Vl,d1Ts

40、dTsd1d2TsIL2L2L通过分析变换器在开关周期中的工作状态1,总可以将VL,d1Ts表达为输入平均电压（vg（t）Ts与输出平均电压（v（tjTs的函数，即：VL,d1Ts=f«Vg（t）Ts<V（t，Ts）（3.36）对于DC-DC变换器，f为（vg（t,s与卜（。入的线性函数。将上式代入到电感平均电流的表达式中，可得:(i(t，Ts=1Vl,diTsdiTs=di"fvg(tjTs,(v(t)Ts)=g(d1,(vg(t，Ts,(v(t，Ts)(3.37)现在分析电感平均电压，这里指其在一个开关周期内的平均值。因为变换器工作在DCM模式下，即因此电感电流在

41、每个周期的起始时刻和终止时刻和）等（Ts港0,根据伏秒平衡，必然GtTsTs=0VltTs=0(3.38)(3.39)1tTs1VltTsvLd二TstTst-jd1d2Tsvld1t.d1-d2TsTssLj=d1d2Ldt|_(d+d2Tsid.t（3.40）Ts】阶段等于零的条件。(3.41)ditTs=d1d2Ldt式（3.40）利用了DCM模式下电感电压VL（t）在Kd-d2Ts将式（3.40）代入到式（3.39）中可得：ditTs二0dt式（3.37）、（3.41）即为状态空间平均法中为确定d2（t）而增加的辅助分析条件。因此状态方程式（3.34）和辅助方程式（3.37）（3.41

42、）共同组成了分析DCM变换器的平均变量方程组。二、分离扰动首先处理式（3.34）所示状态方程。与CCM模式一样，将平均变量分解为直流分量与交流小信号分量之和，如式（3.9）,同时：d1t=D1d1tAAA(3.42)d3t=D3d31)=1-d1t-d2t=1-D1-D2-d11d2t即:D3=1-D1-D2d31=-d11d21将式（3.9）、（3.42）代入到式（3.34）中，可得:xtxtTs=Xxt=D1d1A1!D2d2A21D3d3AX(3.43)2d2B2D3d3B3Uut在上式中，等号两边的直流分量、交流分量对应相等，因此可得:(3.44)AXBU=0xt=AxtButIAi-

43、A3XBiB3U】diA2A3XB2-B3Uld2AAAAAAAA(3.45)Ai-A3dixtA2-A3d2xtBi-B3diutB2B3d2ut其中，A=D1A1D2A2D3A3B=D1B1D2B2D3B3(3.46)其次处理式(3.37)所示的辅助条件。为便于将结果中的直流项、一阶交流项与高阶交流项分离开来，采取对(i(t卜作Taylor级数展开的方法分离变量，可得：itTs=Iit=gd1,vgtTs,vtTs:gD1,Vg,Vdi：gdi'Vg'V:diA；:gDi,vgtTs,V1A?gbi,Vg,vtTsivgt；：_:vt':-(3.47)+高阶非线性交

44、流项;VgtTs在上式中，等号两边的直流分量、交流分量对应相等，因此可得:I=gDi,Vg,V=DiTs2LfVg,V(3.48)i；二di：gdi'Vg'VvgMvgDi,Vg'vtT二vgtTs:vtTs(3.49)+高阶非线性交流项最后处理式(3.41)所示的辅助条件。ditTsdldit二-二0dtdtdt(3.50)而直流项业=0,因此:dt联。(3.51)求解方程综上，式(3.44)(3.48)组成了变换器在DCM模式下的直流分量方程组,组可以得到变换器的直流工作点和稳态时的D2值。式(3.45)(3.49)(3.51)组成了变换器在DCM模式下的交流分量方

45、程组，但方程组中除式(3.51)外均为非线性方程，还需将各非线性方程线性化。线性化对式(3.45)(3.49)作线性化处理。当变换器满足小信号假设时，只需将式(3.45)中的小信号乘积项略去，即可得到变换器在DCM模式下的线性交流小信号状态方程，且不会引入较大的误差，则线性小信号状态方程为：八八八.八.人x(t)=AX(t广Bu(t/AiA3义+(Bi-B3Uhi+【A2A3、+(B2-B3】d2(3.52)对于式(3.49),其中的一阶交流项为线性项，当变换器满足小信号假设时，可以忽略式中的高阶非线性交流项，得到线性化的电感电流小信号方程为：i；二di：gd：,Vg'V:di；的bj

46、vgGTs,V】；cgb1,Vg,(v(t)TsvgtvgtTsvt-vtTs(3.53)式(3.51)(3.52)(3.53)即组成了变换器在DCM模式下的线性交流分量方程组，根据式(3.51)(3.52)(3.53)可以建立变换器的DCM小信号等效电路并分析变换器的DCM低频动态特性。DCM®换器的等效电路：为求得一般DC-DC变换器在DCM模式下的传递函数表达式，需在上述利用状态空间平均法为变换器建立解析模型的基础上，继续建立等效电路模型。但DCM等效电路模型不同于CCM标准型电路，无法在同一电路结构中为直流、交流两种状态建模，只能分别建立直流等效电路和交流小信号等效电路。统一

47、结构的DCM直流等效电路如图3-1(a)所示4,图中的理想变压器可以变换直流，变压器的变比M为理想变换器的电压变比M=,其不仅是控制变量Di的函数，同时Vg与负载R、电感L、开关周期Ts有关。统一结构的DCM交流小信号等效电路如图3-1(b)所示4,之所以如此设计等效电路AAA的结构，是由于输入电流ig(t历于表达为v(t)、vg(t)与di(t)的函数，线性化后可表达为：AAAAig(t)=giv(tkvg(t广jidi(t)(3.54)根据式(3.54)即可建立输入侧等效电路。AAAAA对于输出电压v(t),分析过程中易于将其一阶变量v(t)也表达为v(t)vg(t)与di(t)的函数，用

48、电容C乘v(t)使其具有物理意义，并对函数作线性化处理后可整理为：dv(t)''ii、AA:(3.55)C-+-Mt广g2Vg(t广j2di(t)dtJ2R)根据式(3.55)即可建立输出侧等效电路。图3-iDCM模式下理想变换器直流与交流小信号等效电路(a)直流等效电路(b)交流小信号等效电路现根据图3-i(b)分析DCM变换器的交流小信号动态特性，根据输出侧电路可得:因此:v(s=g2Vg(si2isC自g(s)=零d”二g2r2vg(s)'Rdi(s)=0isCg2iisC2R(3.56)(3.57)式(3.57)即为一般DC-DC变换器DCM模式下的传递函数表达

49、式，现只需对Buck-Boost电路进行具体分析，求出A、B,进而得到参数、Buck-Boost电路：同理，令状态向量、输入向量分别为：-2)xt=vt代入即可。Ut=Vgt1(3.58)其中，i(t)为电感电流，v(t)为电容电压或输出电压，vg(t)为输入电压。如前分析，可知DCM模式下存在三种工作状态，且工作状态i、2与CCM模式一样,因此：Ai=-000i前一Bi=A2=工作状态3:-ll(3.59)10i,C1LiRC.B2=0(3.60)Vlt)=Ldid2TsTsiict)二Cdit二0dtdvtvt(3.61)dt将上式写成状态方程形式，则有：；。10|v(t。0iRC(3.6

50、2)将式(3.62)与式(3.32)相对应，可得:因此:A3=-000A=D1Ai+D2A2+D3A3=RC一DiB10一Dil(3.63)D2B=DiBiD2B2D3B3=(3.64)ILcRC一而根据之前电路工作状态的分析，可知0diTs】时间内的电感电压为:(3.65)itTs="sfvgtTs,vt.Ts=gdi,vgtTs,vtt=d1Ts2LvgtTs(3.66)将A、B伯:代入到式(3.52)中，并写成矩阵形式，可得:一A1i(t)一D22-DL1-_CAtAtiV-KI-J4L%Vgddt广L1_C10VL,diTs二fvgtTs,vtTs)=；vgtTs因此:(3.

51、67)将式(3.66)代入到式(3.53)中，可得：(3.68)"Ts"DiTsA"=2尸"2LV9t综上，式(3.51)(3.67)(3.68)即组成了Buck-Boost电路在DCM模式下的线性交流AAA-分量方程组。联合上述三式求解)将变量V(t)表达为")Vg(t)与d1(t)的函数，则可得：V苴中M=一Vg将式(3.69)与式CdvtCdt,2Lk二2x2M-vtRR2V,Vgtd1tMR.k(3.69)因此:RTs(3.55)相对应，则可得:2M-g2=r2=RRj22VMR.k(3.70)Gg(s)=Ud什。二vgs921八1sC2MdRC1s2(3.71)式(3.71)即为