2021届河北省高三联考数学(理)试题

1、2021届河北省高三联考数学(理)试题学校:姓外班级：考号：1.复数Z满足z(2i)=5i,那么在复平而内复数Z对应的点Z(x,y)所在的曲线方程为()22A.x2+y2=4B.y2=4xC.2a+>'=0D.+-=1)J482 .集合A=xlW-2耳=2X一/,8=xly=7,那么恒8=()A.a:I1<a<2B.xl0<x<lC.xLv<0D.03 .“=log、=2$-l,c=logs6xlog67xlog78,那么“也0的大小关系为()A.c<b<aB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c4

2、.如下图是2021年11月份至2021年10月份的居民消费价格指数(CP/(%)与工业品出厂价格指数(/W(%)的曲线图,从图中得出下面四种说法：CP/(%)指数比相应时期的.以()指数值要大：2021年10月份C/7(%)与尸尸/(%)之差最大；2021年11月至2021年10月CP/(%)的方差大于/W(%)的方差；2021年11月份到2021年10月份的尸以()的中位数大于0.那么说法正确的个数为()A.1B.2C.3D.45 .我国经典数学名著?九章算术?中有这样的一道题：今有出钱五百七十六,买竹七十八,欲其大小率之,向各几何？其意是：今有人出钱576,买竹子78根,拟分大、小试卷第1

3、页,总6页两种竹子为单位进行计算,每根大竹子比小竹子贵1钱,问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？那么在这个问题中大竹子每根的单价可能为A. 6钱B. 7钱C. 8钱D. 9钱6 .如下图的A8C中,AB=2MC=l,ZBAC=60(BD=2DC,DE/MC>那么3ADDE=()c|D.7.与函数/力=sin2.0-"的局部图象最符合的是了)8.执行如下图的程序框图,那么输出S的结果为2021A20212021C.2021D.202120229.2021年4月20日重庆市高三年级迎来了疫情后的开学工作,某校当天为做好疫情防护工作,安排甲、乙、丙、丁四名老师在校门口的三

4、个点为到校学生进行检测及其它相关的效劳工作,要求每个点至少安排一位老师,且每位老师恰好选择其中一个点,记不同的安排方法数为,那么满足不等式4丝牛I的最小正整数小的值为2A.36B.42C.48D.5410.过双曲线鼻一齐=1卜/>0,匕>0的右焦点尸作倾斜角为60.的直线交双曲线右支于A,B两点,假设赤=7而,那么双曲线的离心率为3厂5A.-B.y/3C.2D.一2'211 .函数/x=sin公丫刃>0在区间?,巳上单调递增,且/.=1在区间0,2扪上有且仅有一解,那么.的取值范围是A噌B言12 .假设函数/(工)=/一,'+sinx-x,那么满足-21nM+

5、1)+/+20恒成立的实数.的取值范围为B.ln2-,+oo4A.2In2,+23D.一,+s12)-y+2>013.实数x,满足不等式组Vx-3<0,那么Z=x2),的最大值是x+2y-3>014 .等差数列“中,4+%=22,%=9,数列也满足,=2念,那么昌也-15 .点.1,2在抛物线E：/=2/»>0上,过点"1,0的直线/交抛物线石于A,4两点,假设说？=3耐,那么直线/的倾斜角的正弦值为.16 .三棱锥尸ABC中,二而角PA8C的大小为120.,6c是边长为4的正三角形,PAB是以尸为直角顶点的直角三角形,那么三棱锥P-A8C外接球的表

6、面积为.17 .ABC的内角A,B,.的对边分别为.,b,c.1假设且csin2A=4cosAsinC,求.的值：22假设sinA,sinB.sinC成等差数列,求8的最大值.18 .如下图的斜三棱柱ABC中,点4在底而48c的投影.为AC边的中点,AB=3,AC=4,BC=5,M=4.1证实：平而A8GJ平面ACG4：2求平面48c与平面44G所成的锐二面角的大小.19 .在我国抗疫期间,素有“南抖音,北快手之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外,更在于传递了一种正能量,为抗疫起到了积极的作用,但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技术要求,某同学学习利用“快影软件将已拍摄

7、的3素材进行制作,每次制作分三个环来进行,其中每个环节制作合格的概率分别为二,4只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作,该小视频视为合格作品.531求该同学进行3次制作,恰有一次合格作品的概率；2假设该同学制作10次,其中合格作品数为X,求X的数学期望与方差：3该同学掌握技术后制作的小视频被某广告公司看中,聘其为公司做广告宣传,决定试用一段时间,每天制作小视频注：每天可提供素材制作个数至多40个,其中前7天制作合格作品数y与时间如下表：第/天用数字/表示时间f1234567合格作品数工3434768其中合格作品数与时间/具有线性相关关系,求'关于,的线性回归方程精确到0.01,并估

8、算第14天能制作多少个合格作品四舍五入取整？Zxjixy工伍-祖上-丁_参考公式务=三=J：一,a=y-bx参考数据：J-!71?/=163r-l2220 .如下图,椭圆0+学=1.0的左、右顶点分别为4、a2,上、下顶点1求椭圆的方程：2过点EO,1作不与y轴重合的直线/与椭圆交于点M、N,直线MB,与直线N层交于点丁,试讨论点了是否在某条定直线上,假设存在,求出该直线方程,假设不存在,请说明理由.21 .函数/x=lnx-/+e“-lx+a£R.1当=0时,证实不等式/x+20；2假设不等式/x0恒成立,求实数.的取值范围.X=COSP22 .在直角坐标系X0V中,曲线.的参数方

9、程为.9为参数,以坐标原点y=sinp为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线/的极坐标方程为®cos'e+f=i.I4J1写出曲线.的极坐标方程及直线/的直角坐标方程：2设直线/与曲线C的交点分别为A,3,点P异于A,3两点在曲线C上运动,求PA5而积的最大值23 .不等式|x-/h|-|a-+1|3"?.对x£R恒成立.(1)求实数？的取值范围;(2)记机的最大值为我,假设.>0,>0,a+b=k>证实：yfa+/b<2.参考答案1. C【解析】【分析】根据复数的乘除运算求出Z-1+2,得到对应点Z的坐标,代入方程即可求解.【

10、详解】/、5i5i2+i由Z2-i=5"得.十=22+7+2,所以对应点Z(-1,2),其满足方程2x+y=0.应选：C.【点睛】此题考查了复数得四那么运算、复数的坐标表示,考查了根本运算水平,属于根底题.2. B【解析】【分析】由绝对值的意义,可知/2文<0,求得A=x10<x<2,根据偶次根式有意义的条件,可求得3=根据集合交集的定义求得结果.【详解】由/一2耳=2工一月可得/一2X?0,解得0KxK2,所以4=#04x<2,由B=xly=JT=7可以求得3=xlx<l,所以An8=xlOKxl,应选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的问题,涉及到的

11、知识点有集合的运算,属于根底题目.3. D【解析】【分析】结合对数函数的性质判断log26,Iog56og67og8的取值范围,结合指数函数的性质可求出1的取值范围,即可选出正确答案.Z1【详解】解：由于1<JT<2所以0V.=log2<1：b=2-5-1<2°-1=0,由于8>7>6,所以1.856>10867>10878>1,即c=log56xlog67xlog78>1,所以>/?,应选:D.【点睛】此题考查了指数函数的性质,考查了对数函数的性质,属于根底题.4. B【解析】【分析】根据题中所给的图,观察曲线的形状

12、,以及对应的走向,分析可得结果.【详解】由于消费价格指数(.7(%)曲线在工业品出厂价格指数(/W(%)曲线的上方,所以.7(%)指数比相应时期的尸以()指数值要大,所以正确：由图可知,2021年10月份CA/(%)最大,777(%)值最小,所以其差最大,所以正确：2021年11月至2021年10月77(%)较平稳,ZW(%)的波动性更大,所以2021年11月至2021年10月CP/(%)的方差小于PPI(%)的方差,所以错误；2021年11月份到2021年10月份的尸尸/(%)的值有5个正的,4个负数,三个0,所以中位数为0,所以错误：所以正确的命题为两个,应选：B.【点睛】该题考查的是有关

13、统计的问题,涉及到的知识点有曲线图的应用,属于简单题目.5. C【解析】【分析】根据题意设买大竹子X,每根单价为7,可得576=.+(78-(?-1),由0Wx«78,解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子x,每根单价为？,购置小竹子78-x,每根单价为m1,所以576=如+(78-x)(团一1),即78?+x=654,BPx=6(109-13/n),由于04xK78,'109p09-13w>0ml396109所以(6(1.9-13帆)?78=纥113根据选项"?=8,x=30,所以买大竹子30根,每根8元.应选：C【点睛】此题考查了不等式,考查了数据

14、处理水平以及分析水平,属于根底题.6. B【解析】【分析】,_,一,-*2r*212-设A8=a,AC=,根据向量的线性运算法那么,求得AO=；a+qZ?,DE=-CA=-b93333再结合向量的数量积的运算公式,即可求解.【详解】由题意,设由于丽=2觉,.E/AC,2219可得其方=4启+8力=A+二86=4方+(点-4历=一£+一九3333DE=lcA=-lb,33又由AB=2,AC=19ZBAC=60°.1-2.2-2114221II-I4-2所以A£)£)石=(74+7/?)(一7)=a-bb=pz|-|/?|cos60b333999923,14

15、,2=x2-xlxX1=.应选：B.【点睛】此题主要考查了向量的线性运算,以及向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的线性运算法那么,以及向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,注重考查推理与运算水平.7. B【解析】【分析】分析出函数y=/(x)的定义域、奇偶性、在(0,2.)上的函数值符号,由此可得出适宜的选项.【详解】函数/(X)=的定义域为小工0,排除A选项;A/(t)=sin(-2x)-xsin(2x)+x=-/W,函数丁=/(x)为奇函数,排除C选项：令g(x)=sin(2x)+x,当0<x4l时,0<2x02,sin(2x)>0,那么g(x)=sin(2x

16、)+x>0,当x>1时,g(x)=sin(2x)+x>l+sin(2x)>0,由上可知,当x>0时,/(x)=4»>0,排除D选项.应选：B.【点睛】此题考查利用函数解析式选择函数图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法求解,考查分析问题和解决问题的水平,属于中等题.8. C【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量5=工+工+.+二的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变1x22x32021x2021化情况,可得答案.【详解】解：由己知中的程序语句可知：该程序的功能是利用

17、循环结构计算并输出变量12021x2021的值,C11S=1F.+1x22x3可得:S1+.+1x22x32021x2021202120211、f12021)=1=20212021应选：C【点睛】此题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,属于中档题.9. A【解析】【分析】根据分步原理即可知不同的安排方法数=再由C：K竺咛U解不等式即可求出加的范围,进而得到最小正整数加;【详解】由题意知：其中有一个点有两名老师：.安排步骤：1、任选两位老师分配到一个点,另两位老师分别到另两个点,即分成三组,2、将三组任意安排到三个点；工安排方法：=36,而C；K知：C；

18、=630<竺.:且m>0,解得：m>36；2应选：A【点睛】此题考查了分步计数原理以及求一元二次不等式的解集,由分步原理求出不同的安排方法数,结合不等式求参数范围,进而求值：10. A【解析】【分析】设直线方程为：x=+将直线方程与双曲线方程联立消X,根据/=7/哈,可得336一4M凹=-7刈,利用韦达定理可得二=一整理即可求解.7【详解】过右焦点F的直线的倾斜角60°,不妨设直线方程为：x=Yy+c,3.联立方程,=,b2x2-a2y-=crb2-a2y2+b2cy+b4=0,设An,Bx2iy2,Fc,0,由于标=7而,所以X=-7%,所以*所以27/一9从=7

19、由于2+力2=.2,所以27/一9(.2_.2)=7.2,所以36/=16c2,叱“C236匚C3所以一7=,所以一=一cr16a2应选：A【点睛】此题考查了双曲线的简单几何性质,考查了运算求解水平,属于中档题.11. D【解析】【分析】根据正弦型函数的单调增区间求得/'(x)=sin5(30)的单调增区间,由2k九CD31解得.,舞“根据可得丁丁“2%且?xT2/z计算可得结果.4【详解】由于/(a)=sincox(co>0),*九7/,冗7Rrcc冗2k冗/7t2k乃fr令一一+2k九WcoxW+2k兀,keZ,即+<x<+,keZ,222cocoIcoco所以函

20、数"x)的单调递增区间为一二+巴,二+生,keZ,2coco2cdco2兀兀又由于函数/(x)在一彳,上单调递增,所以27r4_3旬工F7t2k冗7t2k7T冗27rn7：2coco,2coco,得一一丁Ico3且一?,32co3又由于刃0,所以0.一,4又fM=1在区间0,2加上有唯一的实数解,12九八L52元c4,4所以丁下“2万,且不至2%,综上'公七,应选：D.【点睛】此题考查正弦型函数的图象和性质,考查计算水平和逻辑推理水平,属于中档题.12. A【解析】【分析】判断月=/一二+新工一不是R上的奇函数,利用导函数可判断“X)是R上的增函数,/(«-21n(

21、|x|+l)+/*卜0恒成立等价于a-21Mxi+1)之一二,别离.得I2/2«>-+21n(|x|+l),令g(x)=-±+2加(国+1),那么2g(x)a,经过分析知g(x)是22R上的偶函数,只需求g(x)在(.,+8)上的最大值,进而求得.的取值范围.【详解】由于/(一工)="'-e'-sinx+x=/(x),所以/(x)是H上的奇函数,广(x)=ex+e,'4-cosx-l,/'(X)=/+/'+cosx-l>2>/rr+cosx-l=1+cosx>0>所以/(x)是R上的增函数,/(

22、«-21n(|x|+l)+/N0等价于-2ln(|x|+1)>-/v-Y所以a-21n(k+l)N-,所以a2-3+2111(同+1),22令g(x)=上+21n(|x|+l)'那么aNgQOmax,2由于g(-x)=g(x)且定义域为R,所以g(x)=工+2皿忖+1)是/?2上的偶函数,所以只需求gx在0,+8上的最大值即可.2当xw0,*o时,gx=-L+21nx+1,2g,+2X+X+A+1那么当xc0,l时,g,x>0：当xwl,T8时,g'xv0：所以gx在0,1上单调递增,在上单调递减,可得：gxmax=gl=21n2-；,叩4221n2,2应

23、选：A【点睛】此题主要考查了函数的奇偶性和单调性,考查导数研窕函数单调性、最值以及恒成立问题,属于较难题.13. 3【解析】【分析】画出不等式组所表示的平而区域,结合图形,确定出目标函数的最优解,代入即可求解.【详解】x-y+2>0由题意,画出不等式组?工-3«.所表示的平面区域,如下图,x+2y-3>0目标函数Z=x2y,可化为直线,=恭+一»1 7当直线y=5工+-;过点A时,此时在'轴上的截距最小,此时目标函数最大值,x3=0又由cC八,解得43,0,卜+2,-3=0所以目标函数的最大值为z=32x0=3.故答案为：3.此题主要考查了简单的线性规划

24、求最值问题,其中解答中正确画出不等式组所表示的平而区域,结合图形确定出目标函数的最优解是解答的关键,着重考查数形结合思想的应用,属于根底题.14. 2一【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求出明,从而求出a=2许7,再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】4+2d+a.+6d=22%=15d=2所以q2=q+(-1"=一2+17,所以%=2=2口36小十2什那么4也也d=2"2“.22"川7=2-2=2fx6.故答案为：2“+【点睛】此题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式,需熟记公式,属于根底题.15t【解析】【分析】求出=2,设过点"

25、1,0的直线方程为x=?y+l,将直线与抛物线联立,利用韦达定理可得力+%=4机,>,2=-4,根据向量可得一凹=3%,从而求出直线的倾斜角,即求.【详解】由于点在抛物线E：/=2/zvp>0±,所以4=2pxl,得=2,所以尸=4工,设过点用1,0的直线方程为：x=my+,x=mv+1.所以,:,所以V4m丫一4=0,y=4x设A.,8如必,所以y+>2=4？,刈=-4,又由于AM=3MB,所以f=3y2.所以?=±,由于宜线的斜率k=tan0=±J5'»由6wO,所以6或?,所以sin6=YL3J2故答案为：正2【点睛】此题

26、考查了直线与抛物线的位置关系,考查了根本运算求解水平,属于中档题.,208乃16.9【解析】【分析】找到三棱锥尸-ABC外接球球心的位置,求得外接球的半径,进而求得三棱锥P-A8C外接球的表而积.【详解】依题意,三角形A3C是等边三角形,设其外心为.一线段48的中点设为.2,那么CO个CO2YAB,且在线段CO?上、帚=2.三角形Q43是以P为直角顶点的直角三角形,所以其外心为.2.过°2在三角形内作O2D1AB.所以/COQ是二而角P-AB-C的平面角,所以NCO,.=120°.设外接球球心为0,那么.平面A8C,.2,平面所以OQLCO?、所以NOO2c=30.在三角形

27、OC(?2中,CO,=CO2=-x2>/3=*OQa=；C0=gx2.=-,铁4=0°'与a与手小所以外接球的半径R=OC=ypOCO=144852卜3=什,故答案为:【点睛】所以外接球的表而积为4乃序=4x=992087r9本小题主要考查几何体外接球的有关计算,属于中档题.17. (1)2：(2)三【解析】【分析】(1)利用二倍角公式及正弦定理计算可得；(2)根据等差中项的性质及正弦定理可得2/?=a+c,再利用余弦定理及根本不等式得到cosBei,i.L从而求出3的最大值：【详解】解：(1)由于csin2A=4cosAsinC所以2csinAcosA=4cos4si

28、nC由于所以cosAhO,所以csin4=2sinC2匚“2sinC2c.所以c=一,所以=2sinAa(2)由于sinA,sinB,sinC成等差数列,所以2sin8=sinA+sinC,由正弦定理可得2/?=+c,由余弦定理可得na2+c2-b20+Clac2ac3a23c2ac_丁一丁-1_3N91lac8ac)4由于£>0.->0,所以cos8=.-+-K1>-x2aP-!-=1,ClCSacJ48ac42当且仅当£=g,即.=,时取等号,ac由于cos5<1,所以cosBej；/-由于3«0,不),所以Be0,.所以3的最大值为?

29、【点睛】此题考查正弦定理、余弦定理的应用,以及根本不等式的应用,属于中档题.18. 1证实见解析：2三.【解析】【分析】1证实出A3_L平而ACG4,利用面面垂直的判定定理可证得平面A8G_L平而ACC|A；2取8C的中点O,连接8,证实出.Q_L平面ACG4,然后以点.为坐标原点,OD、OC、0A所在直线分别为工、'、z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得平而48c与平面4与G所成的锐二面角的大小.【详解】1由于点儿在底面4BC的投影.为AC边的中点,那么4.,平而48C,.他=平面八3.,48_140,在aABC中,AB=3tAC=4,BC=5,那么48?+AC2=BC?,A

30、B_LAC,4CnAC=O,.A3_L平面ACG4,.ABu平面abg,平面ABG,平而acga；2取8c的中点.,连接Q£,由1可知,A3,平面ACG4,那么.,平而ACGA.AO_L平而ABC,4.匚平而从.14,40_14.,以点.为坐标原点,OD、0C、所在直线分别为、,、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,那么A0,2,0、83,2,0、A,0,0,273,C0,2,0,设平面AM.的一个法向量为正=x,y,z,丽=丽=3,0,0,京=0,2,2JJ,历AS=03x=0一/l、由喘./=.得篇.2底=.'令z"那么、=°,八技可得?=.,图,-m-

31、n1易知平而AqG的一个法向量为“=0,0/,那么cos<,小>=:一r=-.7mnL因此,平而A4C与平面A4G所成的锐二而角的大小为y.【点睛】此题考查而面垂直的判定,同时也考查了利用空间向量法求解二面角的大小,考查计算水平,属于中等题.19. 1:：2£X=4,DX=y：3$、=0.82,+1.72,13个.【解析】【分析】1根据题意可直接求出制作一次视频成功的概率,进而可以求出该同学进行三次制作,恰有一次合格作品的概率；2、2首先判断出XB10,-,从而可以利用二项分布的期望与方差公式直接求出随机变量X的数学期望与方差：3根据题干给出的公式直接计算/；、a,即可求

32、出对应的回归方程,令,=14,即可故算出第14天能制作13个合格作品.【详解】34221由题意知：制作一次视频成功的概率为尸=-x=Xq=M,4535所以该同学进行3次制作,恰有一次合格作品的概率C；2根据题意可得：X8110,|,2,、z2312所以E(X)=10x=4,£)(X)=)=10xx=,O)根据表格数据可计算出：-1+2+3+4+5+6+7._3+4+3+4+7+6+8t=4,y=5,所以163-7x4x5140-7x16=、0.82128所以2=歹一防=50.821x4=L72,所以'关于/的线性回归方程为£=0.82A+1.72,令/=14,得g=

33、0.82xl4+L72=13.2g13,即估计第14天能制作13个合格作品.【点睛】此题主要考查了事件与概率、随机变量与分布列,及统计案例.2220. 1+=1：2存在,且定直线方程为丁=3.43【解析】【分析】1由题意可得出关于.、.的方程组,求得.、c的值,可求得8的值,由此可求得椭圆的标准方程：2设直线/的方程为,=履+1,设点A/XJ、刈,为,将直线/的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,求出直线用印、N当的方程,求出交点7的纵坐标,进而可得出结论.【详解】1由题意可得一£一5,解得4=2,C=L：上=后=7=小,AF=a+c=3因此,椭圆的标准方程为三+=1；432由题意可

34、知直线/的斜率存在,设直线/的方程为y=6+l,设点NX2,%,联立慌+4八|2消去'并整理得*3八%-8=.,A=64k2+324父+3=962父+1>0,8k8由韦达定理得X+=一,XX2=2-4k+34k+3易知点5o,J5、b2o,G,直线MB,的斜率为%=-石=八；+1寸,直线MB1的方程为丫=嫣+6,直线叫的斜率为匕=力+"=八二&",直线NB2的方程为y=k-BX2X2处+(1_>/?)lzy-节kx.kxx2+(1->/3)%2y+J5=k,x可得7=;不=7己一,y+v3k?左6+(1+6)+(1+V3)Xj.8A其中qx

35、2=-记g=玉+勺,y-y/3石+8+.-有)均X+(2一有卜2(2-褥)(2+6)内+/y+EXj+x2+(1+VJ)Xj(2+5/3+x2(2+5/3)+X2,解得>=3.因此,点丁在定直线y=3上.【点睛】此题考查椭圆方程的求解,同时也考查了定直线的问题,考查韦达定理设而不求法的应用,考查计算水平,属于中等题.21. (1)证实见详解；(2)【解析】【分析】(1)将=0代入,求出f(X)=上士,记g("=17",利用导数判断函数的单调性,求出函数的最大值,=/(/)<2即可.(2)将不等式转化为ea+ins+(.+Inx)<ex+x在(0,+8)恒成

36、立,构造函数.(工)=炉+工,根据单调性可得.+只需.Wxlnx恒成立,记(x)=x-lnx,利用导数求出h(x)即可./nun【详解】(1)当=0时,f(x)=nx-ex,函数的定义域为(0,+引1 1一Xex所以r=XX记g(x)=lTe,所以g'(x)=_(x+l)e1当xe(O,+s)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,又由于g(0)=l>0,g=1e<0,所以存在玉w(O,l),使得屋%)=0=>1-而泊=0,所以当xw(O,X)时,g(x)>0,即/(k)>0,当"+<o)时,g(x)<0,即/'(工)<0,所以)皿=/(飞)=1"一泊,又由于1_玉户与=0=e"="!-=%=In%,所以=_x0+<-2,与I/7即/)+2<0,所以/(力+2<0,即证.(2)不等式x)<0恒