[理学]概率论与数理统计练习题含答案

1、第一章随机事件及其概率练习：1 .判断正误(1)必然事件在一次试验中一定发生,小概率事件在一次试验中一定不发生.(B)(2)事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现.(B)(3)事件的对立与互不相容是等价的.(B)(4)假设P(A)=°,那么A=0.(B)(5)假设P(A)=0.4,P(B)=0.5MUP(AB)=0.2.(b)(6)A,B,C三个事件至少发生两个可表示为ab=bC=AC(A)(7)考察有两个孩子的家庭孩子的性别,1c=两个男孩,(两个女孩),(一个男孩,一个女孩),那么p两女核=3(8)(8)假设P(A)4P(B),那么AUB.(B)(9) n个事件假设

2、满足Vi,j,P(AAJ)=P(A)P(Aj),那么n个事件相互独立.(B)(10)只有当A匚B时,有P(B-A)=P(B)-P(A).(A)2.选择题(1)设A,B两事件满足P(AB)=0,那么？A.A与B互斥B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件D.P(A)=0或P(B)=0(2)设A,B为两事件,那么P(A-B)等于(C)A.P(A)-P(B)B.P(A)-P(B)+P(AB)C.P(A)-P(AB)D.P(A)+P(B)-P(AB)(3)以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销,那么其对立事件A为(D)A. “甲种产品滞销,乙种产品畅销B. “甲乙两种产品均畅销C. “甲种产品滞

3、销D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销(4)假设A,B为两随机事件,且BUA,那么以下式子正确的选项是(A)A.P(AUB)=P(A)B.P(AB)=P(A)C.P(B|A)=P(B)D.P(B-A)=P(B)-P(A)设P®B)=a,P(A)=b,P(B)=c,那么P(AB)等于a.(a+c)cb.a*c-1ca+b_cd(1b)c(6)假设事件A和B满足P(B|A)=1,那么(B)A.A是必然事件B.P(B1A)=0C.A二BD.AB设0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A|B)+P(A|B)=1那么(D)A.事件A,B互不相容B.事件A和B互相对立C.

4、事件A,B互不独立D.事件A,B互相独8.对于任意两个事件A,B,必有(C)A假设AB#句那么A,丁定独立；B假设AB=屯那么A,B一定独立；C.假设AB#6,那么A,B有可能独立；D假设AB=屯那么A,B一定不独立;9.P(BA)(D)1-41,-.,、,=,P(BA)=,P(AB)=,那么P(A),P(B)的值分别为:37514A1,437B.3,3*35*5三解做题1 .设P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r,求以下事件的概率：P(A|JB),P(AB),P(AljB),P(AB).解：由德摩根律有P(A一B)-P(AB)=1-P(AB)-1-r;P(AB)=P(B-AB)=P(B

5、)-P(AB)=q-r;P(A一.B)=P(A)P(B)-P(AB)=(1-p)q-(q-r)=1r-p;P(AB)=P(A_.B)=1-P(A)P(B)-P(AB)=1-(pq-r).2 .甲乙两人独立地对同一目标射击一次,命中率分别是0.6和0.5,现目标被命中,求它是甲射击命中的概率.解：设事件%表小甲命中,a表小乙命中,b表小目标被命中.P(&B)=P(A?B)P(B)P(%)0.6P(Ap一A)0.6+0.5-0.60.5=0.75(由于A?B,所以B=A),目标被命中只要甲乙至少有一个命中即可,所以P(B)=P(A=A)甲乙独立射击,所以P(AA)=P(A)P(4).3 .

6、设一枚深水炸弹击沉一潜艇的概率为0.6,求释放4枚深水炸弹能击沉潜艇的概率.解：4枚深水炸弹只要有一枚射中就有击沉潜艇的可能,所以设B表示潜艇被击沉,A,i=123,4为第i枚深水炸弹击沉潜艇.P(B)=P(AA>A3-A4)=1-P(A-A一A-Al)=1p(AAAA)=ip(A)p(A2)p(A)p(A)=i-0.444 .某卫生机构的资料说明：患肺癌的人中吸烟的占90%,不患肺癌的人中吸烟的占20%.设患肺癌的人占人群的0.1%.求在吸烟的人中患肺癌的概率.解：设A表示吸烟,B表示患肺癌.p(AB)=90%F(AB)=20%,p(B)=0.1%.条件为p(BA)=p(AB)p(A)

7、p(B)p(AB)p(B)p(AB)p(B)p(AB)0.0010.90.0010.90.9990.25 .设玻璃杯整箱出售,每箱20个,各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购置一箱玻璃杯,由售货员任取一箱,经顾客开箱随机查看4只,假设无残次品,那么购置,否那么不买,求(1)顾客购置此箱玻璃杯的概率.(2)在顾客购置的此箱玻璃杯中,确实没有残次品的概率.解：参考书上24页例4第二章随机变量及其分布练习题：1判断正误：(1)概率函数与密度函数是同一个概念.(B)(2)超几何分布在一定条件下可近似成二项分布.(A)(3)P(九)中的九是一个常数,它的概率含义是均值.

8、(A)(3)P(a<X<b)=P(a<X<b)o(B)(4)假设X的密度函数为f(x)=cosx,那么P(0<X<n)=costdt.(B)2选择题k(1)假设X的概率函数为P(X=k)=aM,k=0/,2川,那么a的值为(D)A-B.-C.eD.e-设在区间la,b上,X的密度函数f(x)=sinx,而在Ia,b1之外,f(x)=0,那么区间la,b等于:(A)ao,ab0,：ic.-,0D.0,32(3)假设XP(Z),当m=()时P(X=m)最大？(A)A九或B.九一1C.bJD.Z三解做题(1)一批产品共20个,其中有4个次品,按不放回与有放回两种抽

9、样方式抽取6个产品,求抽得的次品数的概率分布.解：不放回抽样,次品数X-H(4,6,20)k6-kP(X=k)=胃6,k=0,1,2,3,4.C20放回抽样,次品数X、B(6,4)20k1k46-kP(X=k)=C6()(),k=0,1,2,3,4用20.55(2)设X的分布律是pixm-ilLpixmIL1,求它的分布函数.22解:x：-1,P(X；x)=0,F(x)=0;1-1<x二1,F(x)=P(X<x)=P(X=-1)=1；1<x,F(x)=P(X<x)=P(X=-1)P(X=1)=1;0,x<0;1F(x)=2,-1<x：11,x_1.(3)设连

10、续型随机变量X的分布函数为0,x<0,F(x)=«Asinx,0MxM|,求(1)常数A的值冗1,x>1 2(2)P(x|<-)(3)X的密度函数6解：由分布函数的右连续性,函数的右极限值等于函数值有HlimF(x)=F(一),所以1x>2n=Asin,所以A=1.2P(X冗冗：6)=P(-6：X31冗F(6)-F(-6)=Sinf(x)=F(x)=cosx,0Ex:一,2q其它.Ax.1<x<2.,一4设随机变量X的概率密度函数为f(x)=j,求(1)0,其他3P(-1:二X)2(3)X的分布函数.常数A解：由密度函数性质有2x2Axdx=1,A

11、12A/八2=2A-=1,A=P(-1<X:二33.12 )=-2f(x)dx=-10dx13 525112分布函数为:当x三1时,F(x)=P(X:：x)=0;rxx21当1:二x:二2时,F(x)=P(X:二x)-i-f(t)dt=tdt=t-二133当x_2时,F(x)=1.5.站为300个用户效劳,在一小时内每一用户使用的概率等于0.01,求在一小时内恰有4个用户使用的概率：先用二项分布计算,再用泊松分布近似计算,并求相对误差.解：P(x=4)=C；000.0140.9930°x=0.1689,九=np=300父0.01=3.P2(x=4)="=0.16804

12、!旧-引=0.53%P第三章随机变量的数字特征练习1判断正误：(1)只要是随机变量,都能计算期望和方差.(B)(2)期望反映的是随机变量取值的中央位置,方差反映的是随机变量取值的分散程度.(A)(3)方差越小,随机变量取值越集中,方差越大越分散.(A)(4)方差的实质是随机变量函数的期望.(A)(5)对于任意的X,Y,都有EXY=EXEY,D(X-Y)=DX-DY成立.(6)假设EX=EY,那么x=丫.(B)2选择题(1)对于X与Y,假设EXY=EXEY,那么以下结论不正确的选项是(A)A.X与Y相互独立B.X与Y必不相关C.D(X+Y)=DX+DYD.cov(X,Y)=0(2) XB(n,p

13、),EX=2.4,DX=1.44,贝|n,p的值为(b)A.4,0.6B.6,0.4C.8,0.3D.24,0.1(3)两个独立随机变量X和Y的方差分别为4和2,那么3X-2Y的方差是(D)A.8B.16C.28D.44假设EX,DX存在,那么E(DX),D(EX)的值分别为(C)A.X,XB.DX,EXC.DX,0D.EX,DX3解做题2(1) X与Y相互独立,且EX=EY=1,DX=DY=1,求E(X-Y).解：E(X-Y)2=D(X-Y)E2(X-Y)=DXDY(EX-EY)2=110=2.(2)设X与Y独立同分布,都服从参数为九的泊松分布,设U=2XY,V=2X-Y求U与V的相关系数P

14、.解：cov(U,V)=EUV-EUEV.E(UV);E(2XY)(2X-Y);E(4X2-Y2)=4(DXE2X)-(DYE2Y)=3('-2).EUEV=E(2XY)E(2X-Y)=(2)(2-)=32.cov(U,V)=EUV-EUEV=3('2)-3'2=3'.DU=D(2X-Y)=4DXDY=5;DV=D(2X-Y)=4DXDY=5.cov(U,V)3'3产=_=_=DUDV55-5,(3)-1,X：0X-U(-1,2),Y=0,X=0I1,X0求EY及DY.解：EY-1P(Y-1)0P(Y=0)1P(Y=1)-1P(X：0)1P(X0)111

15、2=1120)一(3)3332222DY=EY2-E2Y=(T)2P(X0)12P(X(4)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,假设一周5个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润为0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,求一周内期望利润是多少？解：设X表示出故障的次数,Y表示利润.10,X=05,X=1XB(5,0.2),Y=0,X=22,3工X三5EY=10P(X=0)5P(X=1)(-2)P(X=3)P(X=4)P(X5)EY=10mC；0.200.85+5mC；0.210.84+(-2)C；0.230.

16、82+C40.240.81+C；0.250.80化简即可.(5)汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分钟发车,假设乘客不知发车的时间,在每小时的任一时刻随机到达车站,求乘客等候时间的数学期望.解：设X表示乘客的到达时间,那么Y表示等候时间,10-X.X三10XU0,60,Y=30-X,10<55-X,3070-X,55X三30X三55X三601013015516015EY=(10-x)dx(30-x)dx(55-x)dx(70-x)dx=1006010603060556012第四章正态分布练习题:1 .判断题：(1)假设xLN(t.2),那么匕.2称为正态分布的两个参数,且0,.

17、2A0.(B)(2)正态分布的密度函数是偶函数,其图象关于y轴对称.(B)(3)正态分布密度函数的图象对称轴由N决定,平坦度由1决定.(A)P(a<Xwb)=6(b)6(a);(5)假设X1N(5,1),Y_N(5,1),贝qX+丫1N(0,2).(B)2 .选择题：(1)假设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N.1)和N.,1),那么(B).1 1A.P(XY<0);B,P(XY<1);2 2一11C.P(X-Y<0);B.P(X-Y<1);22(2)XLN.2),那么随仃的增大,H*一曰<仃)的值(C).A单调增加；B.单调减少；C.保持不变；

18、D.非单调变化.(3)在本门课程中,习惯上用表示标准正态分布的上侧口分位数,那么：,(u：)=(B)_a一一、一AJ;B.1-1C.1-;D.无法确定.2(4)假设xUN.1),且P(X>ua)=",那么P(X>ua)=(B).aaA.：B.2：C.D.1-223解做题(1)XLN(8,0.52),求P(X<9),P(7.5<X<10),P(X-8<1),P(X-9<0.5).解:9 -8P(X<9)=F(9)=：,()=："2)=0.9772,0.510 -87.5-8P(7.5<X<10)=F(10)-F(7.

19、5)=：,()-：,()0.50.5=：.：,(4)_：.：,(_1)：,(1)=0.8413,X-81P(X-8M1)=P(<)=26(2)-1=0.9544,0.50.5P(X-9<0.5)=P(-0.5<X-9<0.5)=P(8.5<X<9.5)95-885-8->(9.58)一奴8)“10.8413=0.1587.0.50.5(2)某地抽样调查考生的英语成绩(按百分制)计算,近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,求考生的英语成绩在60口84分之间的概率.解：设X表示考生的英语成绩,那么XaN(72,.2),由有P

20、(X>96)=0.023,那么P(X<96)=1-0.023=0.977,一X-7296-722424即P(M)=6()=0.977,查正态分布表知=2,所以仃=12.要求CTCTCTCTP(60：X：二84)P牛72二X一728474-(=1)2-(1)1.0.6826121212第五章1.判断正误.(1)总体是随机变量,样本也是随机变量,并且它们的概率分布完全相同.(A)(2)样本来自总体,样本与样本,样本与总体之间都是相互独立的.(B)(3)统计问题的核心是由样本估计总体,样本容量越大,估计越准确.(A)(4)统计量是样本的函数,但不是所有的统计量都是随机变量.(B)(5)样

21、本均值与EX是相等的.(B)2.选择题(1) XX21Hxn为来自总体N(N,.2)的一个样本,N,I未知,nXi-X)2i1B.2CT那么以下是统计量的是(A)nA.Xi-X)2i4n“Xi2C.-an二(Xi-X)D.2Xl,X2"Xn为来自总体N(0,1)的一个样本,X,S2分别为样本均值和样本方差,那么以下不正确的选项是(B)AnXN(0,n);nC?Xi2、2(n)i1XB.-t(n-1)-1D.X、N(0,-)n(3)以下统计量服从？25)分布的是：(D)n_2A(n-1)S.CT(n-1)S2Cx(Xi-X)2D.LB.二2n_21-s2(Xi-X)Xi-J)22D.1

22、:二2(4)X1,X2llX10和X1,X2llX9是分另悚自总、体N(1,4DN(2,9)的样aS12本,S2§2分别是它们的样本方差,那么常数a=(C)时,统计量S22服从f(9,8)分布.394A.-B.2C.D.-249(5)假设X?2(n),那么E(X2)=(C)A3nB.2n22C.n2nD.nn(6)Xl,X2WXn为来自总体N.2)的一个样本,X为样本均值,那么P(X一,一：)(C)A与仃有关；B.与N有关；C.与n有关；D.为一常数设X“(6),YZ2,且X,丫相互独立,那么需(D)A.-iB.F(5,6)C.D.F(6,5)F(6,5)设.叱一1X7,那么(C)2

23、A.Y(n)DYF(1,n)2.BY-(n-1)C.Y、F(n,1)(9)设X-N(0,1),YN(0,1),那么必有(C)A.X+Y服从正态分布b.x2+y2服从*分布C.X2与Y2都服从72分布X2D.餐服从F分布.Y2第六章参数估计1 .判断题(1)参数的点估计适用于总体分布但参数未知的情形.2参数的点估计由不用的估计法得到的估计量完全相同.B3同一参数的矩估计量优于极大似然估计量.B4无偏估计量的函数未必是无偏估计量.A5同一参数的矩估计量往往不唯一.A6同一参数的两个估计量方差越小的越有效.B2 .选择题.(1)假设1,1,1,0,1,1是来自总体B(1,p)的观察值,那么p的矩估计

24、量是(D)A3c2八1c5A.B.C.D.5526(2) X1,X2川Xn是来自总体X的一个样本,且DX=.2,X,S2分别是样本均值和样本方差,那么必有(D)A.S是仃的无偏估计量B.S是.的极大似然估计量C.X与S2相互独立D.ES2=仃2(3)正态总体X的方差仃2,为使总体均值的置信度为1-a的置信区间长度不大于L,那么样本容量n应取(D)/2_24uL2222_2Uu.-12B.n-2C.n<22L2L2.224u二二2L2(4)总体X服从(0,日)上的均匀分布,日0未知,X1,X2|Xn是来自总体X的一个样本,那么0的矩估计量为：(B)A.XB.2XC.minX1,X2|l|X

25、nD.maxX1,X211IXnx(5)总体X的分布律为P(X=x)=T-,x=0,1,2川,而1,2,5,7,x!8是来自X的观察值,那么九的最大似然估计值为(C)一23A.4B.5CD.35(6)Xi,X2,X3是来自总体X的一个样本,DX=.2,那么以下无偏估计量中(B)最有效312A.X1X2X3555-111C.-X1-X2-X3632_1B.JXiX2X3)_111D.-X1-X2-X34423.解做题(1)Xi,X2|Xn是来自总体X的一个样本,其中总体有密度2二f(x,e)=b("-x),0<x<8,(i)求未知参数的矩估计量0,其他(ii)判断矩估计量的无偏性(iii)计算估计量的方差解：先求总体的一阶原点矩即数学期望声2、22,力22x292EXx(ox)dxxddxxxxdx0Joe2w日23日2e20H2_0_A,_令EX=