AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析

1、BOX-JENKINS预测法1适用于平稳时序的三种基本模型(1) AR(p)模型(AutoregressionMode-自回归模型p阶自回归模型：?=?a?1?3_1+?2?-2+?+?。2一?+?式中，？劾时间序列第？肘刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；？/1,?多-2,?,?粉?的时序？翱勺滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；？很随机误差项；？1,?2,?,?为待估的自回归参数。(2) MA(q)模型(MovingAverageMode-移动平均模型q阶移动平均模型：yt-et-Met1-7l2et_2-,qet.q式中，N为时间序列的平均数，但当乂序列在0上下变动时，显然N=0,

2、可删除此项；e,et，et/,e为模型在第t期，第t-1期，第t-q期的误差；日1,%，%为待估的移动平均参数。(3) ARMA(p,q)模型自回归移动平均模型(AutoregressionMovingAverageModel)模型的形式为：yt二c,舟2YtYpyyet-?10一；20/一一%69显然，ARMA(p,q)模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。当q=0,时，退化为纯自回归模型AR(p);当p=0时，退化为移动平均模型MA(q)02改进的ARMA模型(1) ARIMA(p,d,q)模型这里的d是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳(具有一定趋势的)序列变换

3、为平稳的，通常来说d的取值一般为0,1,2。对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立ARMA(p,q)模型。这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。(2) ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型对于具有季节性的非平稳时序(如冰箱的销售量，羽绒服的销售量)，也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。这里的D即为进行季节差分的阶数；P,Q分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S=12,时序为季度数据，则S=4在SPSS19.0中的操作如

4、下必须要先打开一个数据源，才可以定义日期数据t定义日期t选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量(3) ARIMAX模型在ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X。3模型的识别模型的识别的本质是确定ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s中的p,d,q以及P,D,Q与S的取值。借助于自相关函数(AutocorrelationFunction,ACF)以及自相关分析图和偏自相关函数(PartialCorrelationFunction,PACF)以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定p、q、P、Qo3.1 自相关函数自相关是时间序列Y1

5、,Y2,Y诸项之间的简单相关。它的含义与相关分析中变量之间的简单相关一样，只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。自相关程度的大小，用自相关系数限度量。n_k_二(yt-y)(ytk-y)t4n2(yt-y)11式中，n为样本数据的个数；k为滞后期；y为样本数据平均值。自相关系数r可看作自变量k的函数，即自相关函数。它表示时间序列滞后k个时间段的两项之间相关的程度。如r1表示每相邻两项间的相关程度；上表示每隔一项的两个观察值得相关程度。随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以0为均值，i/jn为标准差的正态分布。自相关系数的95%置信区间为（-1.96仃,1.96仃），此处仃=1/亦。如

6、果一个时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则认为该序列是纯随机序列。将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间（通常采用攵倍标准差作为置信区间的两个端点），被称作自相关分析图。SPSS19.0中的操作1.2.输入变量数据；定义时间序列日期（数据二定义日期）分析、预测=自相关（如下）；将要分析的变量从左侧移入右侧变量框中J-fttint/白令四4工.-twqt也O地随3.勾选自相关、偏自相关，转换暂时不选（如果为非平稳序列，可勾选差分/自然对数转换，其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定，通常为0,1,2）未进行差分处理，由图可知几乎一半的自相关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，

7、此时需要进行差分处理，即在重复第2步时，差分选项选择1或2。3.2偏自相关函数偏自相关函数是时间序列Y,在给定了Y/,丫中的条件下，Y与丫之问的条件相关。由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。偏自相关系数照计算公式如下。工k=1k也_jrk-Zk,j，rkkk-Jjg.cck3k=2,311-Z，rkj偏自相关系数*kk,可看作自变量k的函数，即偏自相关函数，-lw%kWl。它用以测量当剔除其他滞后期（t=1,2,3，k1）的干扰的条件下，Y与丫工之间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行识别。3.3ARIMA模型的参数确定Stepl：判断时序是

8、否平稳，若不平稳，经过若干次逐期差分或季节差分使其平稳，则可确定d和D。对于社会经济现状，一般d和D的数值取0,1或2。若自相关系数ACF随着滞后期（一般设为16）增大，而迅速趋于0,则认为该时序是平稳的。若自相关系数ACF随着滞后期增大，自相关系数ACF不趋于0,则认为该时序是非平稳的。更具体地说，若随着时滞k的增大，自相关系数ACF缓慢减小，说明随着序列两项间隔的提前，相关程度变弱，则序列具有趋势性；若对于季度数据或月度数据，当滞后期为4（或12）,8（24）等时，自相关系数ACF显著地部位0,即在随机区间之外，则意味着该时序具有季节性。如果时序具有趋势性，那么需要进行逐期差分，由逐期差分

9、的次数决定d的取值；如果序列具有季节性，那么要进行季节差分，由季节差分次数决定D的值左侧图形为未经过差分处理的某城市农村居民收入的ACF图，可以看出自相关系数并未迅速趋于0,说明该时序是非平稳的。右侧为该序列的线性图，也正说明了该时序是有明显的上升趋势的，需要进行差分处理。Step2:经差分平稳后，确定时序所适合的模型，具依据如下表所示。ARMA（p,q）序列特征表模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关函数拖尾指数衰减和（或）正弦衰减截尾拖尾指数衰减和（或）正弦衰减偏自相关函数截尾（阶）拖尾指数衰减和（或）正弦衰减拖尾指数衰减和（或）正弦衰减关于p,q的取值当不包括时滞k=12（或4

10、）,24（或8）,p取落入随机区间之外的偏相关系数PACF的个数或与0有显著差异的PACF的个数，q取落入随机区间之外的自相关系数ACF的个数或与0有显著差异的ACF的个数。当仅观察时滞k=12（或4）,24（或8）,p取显著不为0的PACF的个数,q取显著不为0的季节自相关数目4案例分析4.1 数据准备某城市农村居民收入数据（1980-2015年）单位：元年份数据年份数据年份数据1980261.001992792.1820044027.031981274.001993938.4520054465.991982291.0019941312.2420064845.351983312.001995

11、1655.0020075623.241984344.0019961989.5720086627.261985362.0019972218.8920096627.001986382.0019982199.3820107182.531987421.0019992840.1020119104.001988504.0020002941.8020128864.851989557.0020012981.78201310013.031990659.0020023048.55201411547.001991685.7120033208.84201512736.00对36年农村居民收入建立B-J模型，并预测20

12、16年的收入情况4.2 时序分析Stepl:将数据输入到SPSS19.0中，并定义变量的精度为小数点后两位;Step2:定义日期。数据一一定义日期一一输入“1980”因为本次数据没有季节性，所以只需要选择年份为1980年，如下图Step3:绘制其时序图，观察其是否平稳。分析一一预测一一序列图12HOCTSDOC.DO29X.D(DI7-JUI-UIE.;小SQ百工自一小。言斗工UCKACI2小。国JnIMJfJi19943J-iJBnzaxoir此时可以看出该曲线有明显上升趋势，为非平稳序列，需要进行差分平稳化同时，也可以绘制自相关图形（操作：分析一一预测一一自相关）来观察其趋势，如下图由1-

13、国医收入11?*?57111J15151?由上面自相关系数图可知，随着延迟数目的增加，系数并没有显著的趋近于0,且许多数值较大的系数落在了置信区间之外，说明该时间序列并非平稳的4.3 差分平稳化对时间序列进行差分平稳，并绘制相关系数图和偏自相关系数图如下。操作为：分析一一预测一一自相关（勾选：1阶差分）生H底慢攻人*仁和I从右侧图形可以看出，在滞后期k=3之后，自相关函数衰减，并且均在置信区间范围之内，因此可以认为该序列平稳了。再观察变换后的序列的偏自相关函数图，如下图。我:一位慎睢一iW4；i4.4.1ARIMA(3,1,3)模型其中a3=0.437较大，其他并没有明显趋于0,可以认为在K=

14、3后拖尾，而自相关函数可以看做是K=3后截尾，也可以看做为拖尾。(自拖，偏拖)一一ARIMA模型，(自截，偏拖)一一MA模型，因此，经过一阶差分变换后的农村居民收入所选定的模型为ARIMA(3,1,3)或ARIMA(0,1,3)。分别对两个模型进行拟合和预测，比较其精度4.4建立ARIMA模型Stepl：菜单栏：分析一一预测一一创建模型在变量栏中，将农村居民收入移入因变量框中；方法选择ARIMA模型，点击右侧“条件”，输入自回归，差分和移动平均数的值Step2:确定输出的统计量和相关信息且工,附工:可肚埠H直产，翰忠门工海雷电Bk斟目光事M翼&柏原/嬉一如M的部曲吊，步事阱iMMA好咛同序打建

15、程等宴险喻屋明褰国出邠fi偎存副1IV辰理型皇利A台度量LjungHr靛时量牝掰群医的姮量1口产是不预回值3-力利根衡螂沈甲触由I叫L融自相美苗illlXEKF，接生部分目相关函家中二二卜乂匚)平也通用诵爱国；晶大推前课走百分比)累夫绝对瓷差四标寓蹄BICJL)此河操犁白星研早/观色优度但).池王山侬:血既寞甘面壬器分目相天出萦F&c二(uj-慨言度量士平格的R方VRW)均上布误差平屿绝对娱舌营ante1残差部分自相关函数（PACDtH单个模型明残羞自相美函数mCF）A）-辱本图显示的内容IV观察值囹mKi（s）强差部分自相关函数尸AQF）iC:口预测值内置信名闻区）囿融合保的置信区间kmiL

16、muu11111wiimuiMi!其中拟合值和置信区间可备选，根据需要选择。如果需要预测下一年的数据值，必须要在变量栏中的时间变量下再加入一个年份值，否则不会显示预测值，如下图。农村居民收入YEAR.HDAIt_710253201020109104.00201120118864.852012201210013.032013201311647.0020U201412736.002015201520152016-20172017-20182018*20192019202。2020模型结果分析P*JID两弓脚,司模型摘要期就抚星用住SE三小哨魔火值51025加声现95军事心直名aqj：二”49249

17、3甲Jag工共宓.990的0。箕,590900,900J99D挺0B虻RUSE335.3QE；Z6fi.JQ83B5.JIJB三日BJUE3B5JHK：1B5JO03E.3OB2B5.30B3B6.3QB3EB.3D3咿吒18.0T?180771607718JJ?1S07?16J)?7ie.or?16.0?16O?716C77MmAFEfl8U341例，加1flfl.9241S4J24134.92-41B4._924194J2H1B4.J241S4JS3424SL2952402952062变206隔36,2952*e.295J,*&29524t.295246洲5ID33-15-11C39154

18、：1D39/1541B39Li4ID39.1S41C39LT541038.1541OU9L1$4U039.15fl1030IS4M百E-1?624.1212EZ417JE241267412E2412.621512E24TPElfl12624程强直计量侬秒泅笠里第理型版合统计睾Lijna-BoxQ(iS)离群m数平常的RAR万沆计量DF51g农村居民收;V槿型C,493,如。0.619t2J350朝则翼藕嘲鹏提噩20162宗村居民收入-程型_1理泅133B7.8D1473S.521B131.25159177717834.30UOL11157一7715S16.X46134

19、1B826.4120390.32LCL12E1P021375fi.7d14mmi515007.1315470.3D可以看到模型的R平方为0.990,平稳的R方为0.493,说明模型的拟合效果较好，预测值为13387.9。将实际值和预测值画在同一个时序图中如下。THOddoc-二nn1CQCO.W-50CO.OO-,0C-农村居民收入模型哲m取吉慎UCLLCLJWfll-2S而Asm.0KHS”-220JntlwllsG日工llgQ3seJi，第口.T-;JsJart、smJs-5OCD.CMJ日期4.4 .2ARIMA(0,1,3)模型步骤和上面基本一致，只是在创建模型的时候，把条件中的自回归p值改为0,运算结果如下模理二注目后孰L根纥1岛EIMAi：口怏型板要浪含蜕计NSE黑小值410如759D翳事财同不.3tSJ3M割5.Ui5M妣Z睛R方.MByi_.98BB99Jae目HH.wu喇.期BB3RMGE41C9454iae*10.95410g&$4rD945410945410M6目帕小0,945410945DflrtPE26.31926l31b汨31H26.319s.aiaU31U26J1L28.31026.319M356APE363711153731M,271羽3731M.37J1m13SJT3门53733m134373Mftfesei.n