2019高考数学选考系列：参数方程

1、参数方程【考点梳理】1 .曲线的参数方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数x=ft,并且对于t的每一个允许值,由这个方程组所确定的点Mx,y都在这条曲iy=gt线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.2 .参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程,如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例x=ft如x=ft,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=gt,那么?ly=gt就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.3 .常见曲线的参数方程

2、和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0=tana(xxo)x=Xo+tCOsa,(t)y=y0+tsina圆x2+y2=r2X=rcos0,(07»)y=rsin(椭圆22xy/b2=1(a>b>0)二x=acos(|),(为经数)y=bsinI【考点突破】考点一、参数方程与普通方程的互化【例1】曲线x=4+cost,G：(|y=3+sintx=8cos(t为参数),G：,y=3sin0,/一0为参数.91化C,G的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;-TT-.2假设C上的点P对应的参数为t=5,Q为.上的动点,求PQ的中点M到直线G：x=3+2t,iy_2

3、+tt为参数距离的最小值.解析(1)由G消去参数t,得曲线C的普通方程为(x+4)2+(y3)2=1.同理曲线g的普通方程为三十y-=i.649G表示圆心是(一4,3),半径是1的圆,G表示中央是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.兀一,一(2)当t=时,R4,4),又Q8cos0,3sin0),故M2+4cos0,2+|sin0；2又G的普通方程为x-2y-7=0,那么M到直线G的距离d=14cos0-3sin0-13|=5|3sin0-4cos0+13|=g|5(sin0-()+13|y中e满足tan()=3所以d的最小值为.【类题通法】1 .将参数方程化为普通方程,

4、消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.2 .把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响,要保持同解变形.【对点练习】,一,一,一、一一,x=3cos0,在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(0为参数),直线l的参数方|y=sin0,x=a+4t,-,程为It为参数.Iy=1-t(1)假设a=1,求C与l的交点坐标；(2)假设C上的点到l距离的最大值为折,求a.解析(1)a=1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.x22曲线C的标准方程是x+y2=1,9,cc21x+4y-3=0,r=3Jx=-2?联立方程ix22解

5、得i或5+yfy=°|y=24y25.那么C与l交点坐标是3,0和J2525.2直线l的普通方程是x+4y4a=0.设曲线C上点F3cos0,sin0.那么P至ijl距离d=|3cos0+4sin04a|5sin0+4a|J7.173,其中tan=4.又点C到直线l距离的最大值为甲.|5sin.+44a|的最大值为17.育a>0那么一54a=17.a=8.右a<0,那么54a=17,-a=-16.综上,实数a的值为a=16或a=8.考点二、参数方程的应用x=2cos0,【例2】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为|y=2+2sin00为参数,直线l的参数方程为x=

6、1：*t为参数.以坐标原点.为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐1写出直线2假设直线ll的普通方程以及曲线C的极坐标方程；与曲线C的两个交点分别为MN,直线l与x轴的交点为P,求|PM|PN的值.x-1*解析1直线l的参数方程为2y=Ttt,t为参数,得x+y1=0.x=2cos0,一曲线C的参数方程为0为参数,y=2+2sin0利用平方关系,得x2+y22=4,那么x2+y2-4y=0.令p2=x2+y2,y=psin.,代入得C的极坐标方程为p=4sin0.2在直线x+y1=0中,令y=0,得点P1,0.把直线l的参数方程代入圆C的方程得t23*t+1=0,tH-t2=3yJ2,tlt2=1

7、.由直线参数方程的几何意义,|PM|PN=|t1t2|=1.【类题通法】一,X=xo+1cosa,过定点Rx0,y.,倾斜角为a的直线参数方程的标准形式为1t为参数,y=y0+tsina,一、一一,曰r一一,、,、,x=x°+at,t的几何意义是p0用数量,即|t|表小P到p的距离,t有正负之分.对于形如it|y=y0+bt为参数,当a2+b2wi时,应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题【对点练习】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=5cos,为参数.以坐标原点y=sinaO为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为pcos+十!=V2.l与C交于A

8、,B两点.1求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；2设点R0,2,求|PA+|PB的值.x="Xmcosa,解析1由曲线C：4"'a为参数消去a,y=sinax22得普通方程x+y2=1.5由于直线l的极坐标方程为pcos+3i=5,即pcos0-psin0=2,所以直线l的直角坐标方程为xy2=0.r应2点R0,2在l上,那么l的参数方程为,t2tIx=/t,y=-2+210.23代入x+y2=1整理得3t21042t+15=0,5由题意可得|PA+|PB=|tl|+|t2|=|tl+t2|=考点三、参数方程与极坐标方程的综合应用,一,、x=2+t,【例3】在

9、直角坐标系xOy中,直线11的参数方程为1,(t为参数),直线12的参数»=kt=-2+m方程为m(m为参数).设11与12的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.Iy=k(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设|3：p(cos0+sin.)一寸2=0,M为与C的交点,求M的极径.x=2+t,解析(1)由l1：(t为参数)消去t,y=kt化为11的普通方程y=k(x2),同理得直线12的普通方程为x+2=ky,联立,消去k,得x2y2=4(yw0).所以C的普通方程为x2y2=4(yW0).(2)将直线l3化为普通方程为x+y=p,联立尸尸位

10、得xy=43.2x=2,y=-gp2=x2+y2=竽+*=5,与C的交点M的极径为/5.【类题通法】1 .参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.2 .数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用p和0的几何意义,直接求解,可化繁为简.【对点练习】x轴的正与曲线C一、x=2+2cos0,一,曲线C的参数方程为?0为参数,以坐标原点O为极点,y=2sin0半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为psin0+看；=4.1写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；2假设射线0=1-与曲线C交于OA两点,与直线l交于B点,射线0=?交于oP两点,求PAB的面积.2+2cos0,解析1由,0为参数,消去0.y=2sin0普通方程为x22+y2=4.从而曲线C的极坐标方程为p24pcos0=0,即p=4cos0,由于直线l的极坐