一元二次函数的图像和性质整理版

1、3.4 一元二次函数的图象和性质复习目标1 1 . .掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2 2 . .掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题3 3 . .会求二次函数在指定区间上的最大(小)值4 4 . .掌握一元二次函数、一元二次方程的关系.知识回忆1 .函数yax2bxc(a0)叫做一元二次函数.2. .一元二次函数的图象是一条抛物线.23 .任何一个一次函数yaxbxc(a0)都可把它的解析式配万为顶点式：(b2ya(x丁丁) )2a性质如下:(2)(2)最大(小)值4acb当a0,函数图象开口向下,y有最大值,ymax,无最小值.4a(3)当a0,函数在区间(,包)上是减函

2、数,在(,)上是增函数.2a2abb当a0,函数在区间上(,)是减函数,在(上-)上是增函数.2a2a【说明】【说明】1 1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法.2 2.无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴;但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向.例题精解一、一元二次函数的图象的画法【例【例 1 1】求作函数y1x24x6的图象21c1c【斛】【斛】yx4x6(x8x12)2224acb4a,(1)(1)图象的顶点坐标为b4acb2a4a2-),对称轴是直线b.2a0,函数图象开口向上,y有最小值,ymin4acb,无

3、取大值.4a(x24)2-4(x24)2-222以x4为中间值,取x的一些值,列表如下:x-7-6-5-4-3-2-1y52032-232052【例【例 2 2】求作函数yx24x3的图象.(x2)27(x2)273 3描点成图；也可利用图象的对称性,出右左局部就可.元二次函数性质【例【例 3 3】求函数yx26x9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间.【解】【解】yx26x2x26x97x327由配方结果可知：顶点坐标为3,7,对称轴为x3;10当x3时,ymin725x3x1图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间.-2一2b334acb4(5)1329-2a2(5)104

4、a4(5)20【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个:1 1配方法；如例 3 3【解】【解】yx24x3(x24x3)x2的右边局部,列表x-2-1012y76543【点评】画二次函数图象步骤：1 1配方；2 2列表；先画出函数的左右边局部图象,再利用对称性描函数在区间3上是减函数,在区间3,上是增函数.【例【例 4 4】求函数y329.函数图象的顶点坐标为士,29,对称轴为x10203,50,当x一时,函数取得最大值103.函数在区间,一上是增函数,在区间3,102920ymaz2920上是减函数.2 2公式法：适用于不容易配方题目二次项系数为负数或分数如例

5、4,4,可防止出错.先画出图角在对称轴任何一个函数都可配方成如下形式:b2ya(x)2a三、二次函数性质的应用【例【例 5 5】如果fxx2bxc对于任意实数t都有f3t)f(3t),那么(【解】【解】解法y(n2)x2nx1是偶函数,f(x)的图像关于x3对称又a10抛物线开口向上.f(3)是f(x)的最小值.f(3)f(4)f(1)2(2)(2)如果f(x)xbxc对于任意实数t都有f(2t)f(2t),那么f(1)f(1).(用或“填空) )【解】【解】f(2t)f(2t)对于一切的tR均成立.f(x)的图像关于x2对称又a10抛物线开口向下.1(2)1(2),f(1)f(1)【点评】1

6、 1.当a0时,对称轴通过它的最低点(此时函数有最小值) ),如果这时有一个点离图象对称轴越远,那么对应的函数彳苴就越大.如例 5(1)5(1)中当x1所对应的点比当x4所对应的点离对称轴远,所以x1时对应的函数值也比拟大.2 2. .1 1.当a0时,对称轴通过它的最高点(此时函数有最大值) ),如果这时有一个点离图象对称轴越远,那么对应的函数值就越小.如例 5(2)5(2)中当x1所对应的点比当x1所对应的点离对称轴远,所以x1对应的函数值也比拟小.【例 6 6】求函数yx22x5在给定区间1,5上的最值.【解】【解】(1)(1)原函数化为yx22x5x126a10当x1时,ymin6又1

7、151.当x5时,ymax(51)26101o10(2)原函数可化为：y(x-)2一,图象的对称轴是直线x39注意到当1x2时,函数为减函数22413yminf(2)2-214-1333(n2)x2nx1是偶函数,试比拟f(2),f(6),f(北)的大小.(A)f(3)f(1)f(4)(B)f(1)f(3)f(4)(C)f(3)f(4)f(1)(D)f(4)f(3)f(1)f(3t)f(3t)对于一切的tR均成立【例 7 7】函数yA.4,)B.(4,)C.(,4D.(,4)2.2.如果二次函数 y y5x2mx4在区间(1)上是减函数,在区间1,)上是增函数,那么mn0, ,y2x21可知函

8、数的对称轴为直线x0又a20,|5020卜丘0f(、.2)f(2)f(、,5)解法二：.y(m1)x22mx3是偶函数,n0, ,y2x21可知y2x21在(0,)上单调递减2又y(n2)xnx1是偶函数,f(.5)f(,5)而.52,2f(.2)f(2)f(,5)f(-.2)f(2)f(,5)三、一元二次函数、一元二次方程的关系.【例 8 8】求当k为何值时,函数y2x24xk的图象与x轴(1)(1)只有一个公共点；(2)(2)有两个公共点；(3)(3)没有公共点. .【解】令2x24xk0,那么2x2xk0的判别式b24ac168k(1)(1)当0,即168k0,k2时,方程有两个相等的实

9、根,这时图象与x轴只有一个公共点；(2)(2)当0,即168k0,k2时,方程有两个不相等的实根,这时图象与x轴有两个公共点；(3)(3)当0,即168k0,k2时,方程有两个不相等的实根,这时图象与x轴无公共点；同步练习一.选择题21.一次函数yx2x5的值域是()3.如果二次函数yx2mxm3有两个不相等的实数根,那么m的聚值范围是中,对称轴是直线x1的是的是A.收B.2C.4i二.填空A.2C.10D.-10A.(,2)(6,)B.(2,6)C.2,6)0D.2,6一、“,10-4.函数yxX3的最小值是(21A.-3.B.3.25.函数y2x24x2具有性质(31.2A,开口方向向上,

10、对称轴为B,开口方向向上,对称轴为C.开口方向向下,对称轴为D,开口方向向下,对称轴为6.以下命题正确的选项是x1,顶点坐标为-1,0 x1,顶点坐标为1,0 x1,顶点坐标为-1,0 x1,顶点坐标为1,0A.函数y2x26x3的最小值是322152x6x3的最小值是4C.函数yx24x3的最小值为72D.函数yx4x3的最大值为77.函数1y222x4x3；y2x4x3；(3)y223x6x3；(4)y3x6x3A.(1)与(2)B.(2)与(3)C.(1)与(3)D.(2)与(4)8.对于二次函数y2x28x,以下结论正确的选项是A.当x2时,y有最大值8C.当x2时,y有最小值8B.当x2时,y有最大值8D.当x2时,y有最小值829.如果函数yaxbxc(a0,对于任意实数t都有f2tf2t,那么以下选项中正确A.f(2)f(1)f(4)B-f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)10.假设二次函数y22ax4x1有最小值,那么实数a=D.21.假设函数fx2x2x1,那么fx的对称轴是直线3 .函数y2x23x9的图象与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标是、4.y9x26x6,那么y有最值为5 .y4x228x1,那么y有最值为三.解做题1 .二次函数yx24x3,(1)指出函数图象的开口方向；(2)当x为何值时y0;(