三角函数知识点归纳资料讲解

1、三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1 .任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角.正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角(负角：按顺时针方向旋转形成的角、零角：不作任何旋转形成的角按终边位置不同分为象限角和轴线角.角口的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,那么称a为第几象限角.第一象限角的集合为(ak360cOfk360.十90,kwz第二象限角的集合为Uk360C+90C,k360C+180,kez第三象限角的集合为Qk360C+180Sk360C+270：,k=第四象限角的集合为Qk360C+270C.sincos三一个式壬知二国求二

2、其中的奇、偶是指万的奇数(正弦变余弦,余弦变正弦)；假设是偶数倍,公式四:三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法,公式法,图像法(如 y=sinx 与y=|cosx的周期是冗).3 会判断三角函数奇偶性4 会求三角函数单调区间5 知道三角函数图像的对称中央,对称轴6 知道y=Asin(6x+中),y=Acos(x+邛),y=Atan(cox+平)的简单性质(一)知识要点梳理1 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别、,八二3二一-为 0,一,冗,一,2 兀的五点,再用

3、光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象.222、正弦函数y=sinx(xwR)、余弦函数y=cosx(xwR)的性质：(1)定义域：都是 R.值域：都是1-1,1,3二对y=sinx,当x=2kn+k=Z时,y取最大值1；当x=2k+k匚Z时,y取最小值一1；22对y=cosx,当x=2kn(kWZ)时,y取最大值 1,当x=2kn+n(kwZ)时,y取最小值一 1.(3)周期性：y=sinx,y=cosx的最小正周期都是2n；(4)奇偶性与对称性：正弦函数y=sinx(xwR)是奇函数,对称中央是水冗,0XkwZ),对称轴是直线x=kn+土(kZ);2(n、余

4、弦函数y=cosx(xwR)是偶函数,对称中央是.内+,0(kZ),对称轴是直线x=kn(kwZ);(正(余)2弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中央为图象与x轴的交点).(5)单调性：(3)巧用1的变换：1=sin2升 cos=sin=tan2atan工二bakbmtan.工:nmkn(4)齐次式化切法：tana=k,那么asin工;bcos：msin：,ncos二y=cosxy=cosx在I-n+2k%2kn】(kwZ)上单调递增,在2kn,2kn十n】(kwZ)上单调递减.特别提醒,别忘了kwZ!3、正切函数y=tanx的图象和性质：(1)定义域：x|x工+kn,

5、kwZ.2(2)值域是R,无最大值也无最小值；(3)奇偶性与对称性：是奇函数,对称中央是,0keZ),特别提醒：正(余)切型函数的对称中央有两类：一2类是图象与x轴的交点,另一类是渐近线与x轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.(4)单调性：正切函数在开区间1+k,+kJi224 4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质二二2数y=sinxy=cosxy=tanx图象yL/x22JijykjJJ00rAjyJ定义域RR兀、4xx#kn+,kwZ5I2J值域1-1,11-1,1R最值当xymax(Z=2kn+1-(kwZ)时,=1;当x=2k71-2工)时,ymin=-1-当x=2k

6、n(kZ)时,ymax=1；当x=2kn十几(k)时,ymin“1.既无:最大值也无:最小值周期性2元2n冗奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在卜(k-产(k-n:n-2kn-,2kn+L22J工)上是增函数；在,3_,3n1n+,2内+22J工)上是减函数.在(2kn-n,2kn!(kWZ)上是增函数；在【2kn,2kn+41(k-Z)上是减函数.在.kn一一,kH+一122)(kZ)上是增函数.y=sinx仕一一2k二,_2-2k-k2Z件单调递增,在j(+2kn,3+2kn(kwZ)单调递减;1(ksZ)内都是增函数.但要注意在整个定义域上不具有单调性=sin吕如2工+擀的递增区间,由7T7

7、T7T-+2k五三.2了一了?万+2枇r,LJZ得7T一五十加+k7T,kZ,所以y的递减区间是7T%TT一yy+麻(4三Z)四、函数y=Asincex十中的图像和二角函数模型的简单应用知识要点1、几个物理量：振幅：A;周期：T=竺；频率：f=1=_；相位：ox+9；初相：中.2 丁2二2、函数y=Asincox十邛表达式确实定：A由最值确定；8由周期确定；中由图象上的特殊点确定.函数y=Asincox+邛+B,当x=x1时,取得最小值为ymin；当x=/时,取得最大值为ymax,那么1一1-ymax-ymin-,一ymaxymin2,2T2=x2-XIXIx23二3、函数y=Asinox+平

8、图象的回法：五点法设X=0 义+中,令X=0,_,冗,2冗求出相应的22x值,对称性对称中央(kn,0Xkwz)对称轴x=kn+(kw工)对称中央kn+万,0(kwZ)对称轴x=kn(kwZ)对称中央.0kwZ无对称轴5、研究函数y=Asinx+中性质的方法：类比于研究y=sinx的性质,只需将y=Asinx+中中的切x+中看成y=sinx中的x.函数y=AsinAsincox+中A0,0A0,0的性质.1定义域：R R2值域：-A,A-A,A3周期性：T=2二I-I2二fx=Asincox+中和fx=Acoscox+中的取小正周期都是T=.IIfx=Atanox+中的最小正周期都是T=工.I

9、,I4单调性：函数y=Asinx+中A0,.0的JJT单调增区间可由2kn二wox+中w2kn十二,kCz解得；3单调减区间可由2kn+wgx+中w2kn+,kCz斛仔.在求y=Asineox+中的单调区间时,要特别注意A和 0 的符号,通过诱导公式先将c化正.如函数y=sin2x+工的递减区间是3答：一2十期行十时JZy=y=一所以求 y y 的递减区间即是求计算得出五点的坐标,描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法.4、函数 y=sinx 的图象经变换可得到y=Asin6x+中口0的图象y=Asinx+甲横坐栋伸缩倍co5、函数y=Asincox+中+b的图象与y=sinx图象

10、间的关系：函数y=sinx的图象向左中0或向右邛01一.平移|中|个单位得y=sinx+邛的图象；函数y=sinx+平图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的一,得到函数y=sinox+中的图象；函数y=sinsx+中图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的y=Asincox+邛的图象；函数y=Asin切x+平图象向上b0或向下b0平移y=Asincox+中+b的图象.6、函数 y=Acosox+和 y=Atanox+叼的性质和图象的变换与 y=Asinsx+中三角色等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：y=sinx*y=sinx横坐标ry伸缩_1倍埔左右=sinx平移风y=sin(x+4y=sin

11、(cox+91)岁|标,伸(缩)A 倍y=Asinx左右平移但横标y=sinox+中纵坐标伸缩,倍伸缩A倍0y=Asinx:y=Asinx横坐标,一中,、伸缩一倍oy=Asinx左右纵坐标.伸缩Ay&Asinx左右A 倍,得到函数|b|个单位,得到要特别注意,假设由y=sinx得到y=sincox+中的图象,那么向左或向右平移应平移邛,、,、|个单位,0如要得到函数y=sin2x.的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象3A向左平移3 个单位B向右平移 3 个单位C向左平移 6 个单位向右平移 6 个单位类似.左右伸缩A 倍平移(1)cos(a+C 户cos久cosPsinasin口

12、；cos(一口产cosxcosP+sinasinP；sin(a+P)=sinacosB+cosasin口；sin(a-B)=sinacos口-cosasin口；tan(口+口)=tanXtan：0(tan2+tanP=tan(+PX1tanatanP)；1-tan二tan-3、二弦归一二把两个三角函数的和或差化为一个三角函数:asinH+bcos9=Ja2+b2sin日+牛,其中tan邛=-.a4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换,灵活运用三角公式,掌握运算化简的方法.常用的方法技巧如下：1角的变换：在三角化简,求值,证实中,表达式中往往出现较多的异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互

13、补,互余的关系,寻找条件与结论中角的关系,运用角的变换,使问题获解,对角的变形如：ototot2a 是 U 的二倍；纲是 2c的二倍；a 是一的二倍；一是一的二倍；2 24JTJI2 15o=45.-30o=60o45；问：sin二=；cos=；12123 a=ct+P_P；+ct-a;2汽=ct+P十ct口=二十a二a；等等.42444.c2n11一.n、3如1tan豆+P=,tan.P-1二一,那么tan|口+J=.答案：一5l44l4j22一 44 兀2右 cosa+=,cosa3=,且 J552答案：25,1,sin二cos：:2-：_3=1,tan一口=,那么tanP-2=1-cos

14、2=32函数名称变换：三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数.如在三角函数中正余弦是根底,通常化切为弦,变异名为同名二弦归一如sin50o13tan10o=tan二一tan-1tan二tan!tana-tanP=tana-P/l+tanatanP.如tan20o+tan40+由tan20otan40o=；答案：V32、二倍角的正弦、余弦和正切公式：22、2sin2a=2sinotcoset.=1sin2a=sina+cosa2sinacosa=sinacosa如 Colf+cos212+cosco/的值等于5答案：52222cos2二二cos-sin二二2cos二一1二1一2sin二22二升

15、帚公式1+cos2o=2cosa,1-cos2a=2sina一、21cos2：二降帚公式cosu=,2.21-cos2：sin;二2tan2 二二2tan;221-tanc3兀,ccca3Tt,2Va+32 为那么 cos2a=,cos23=答案:1=sin2:cos2:=sin90o=tan45o4哥的变换：降哥是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降哥处理的方法.常用降哥公式有：;.有时需要升哥,常用升哥公式有：；.如对无理式 J1+cosot常用升哥化为有理式.(5)公式变形：三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用.如：cosotcosP-sinasin=；sinotcosP+cosasinP=；tana+tanP=；1-tanatanP=；tana-tanP=;1+tanatanP=;0(0(sin：cos；2sincos222222cosa-sina=52cosa-1=;2sina-1=;1cos：-；1-cos：=；22tan-二；1-tan一二；asin?bcos【-；(其中tan=；)