人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_平面向量应用举例_提高

1、人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型常考知识点稳固练习平面向量应用举例【学习目标】1 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2 ,会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3 .体会用向量方法解决实际问题的过程,知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具,提升运算能力和解决实际问题的水平.【要点梳理】要点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：1证实线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法那么、平行四边形法那么,有时用到向量减法的意义.2证实线段平行、三角形相似,判断两直线或线段是否平行,常运用向量平行共线的条件:a"boa=xb或乂历一乂2丫

2、产0.111»3证实线段的垂直问题,如证实四边形是矩形、正方形,判断两直线线段是否垂直等,常运a.bllllil用向量垂直的条件：alboab=D或乂声2+%丫2=0.4求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式coso=5向量的坐标法,对于有些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,建立直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题.要点诠释：用向量知识证实平面几何问题是向量应用的一个方面,解决这类题的关键是正确选择基底,表示出相关向量,这样平面图形的许多性质,如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来,从而把几何问题转化成向量问题,再通过向量的运算法那么

3、运算就可以到达解决几何问题的目的了.要点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中,有序实数对x,y既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,使向量与解析几何有了密切的联系,特别是有关直线的平行、垂直问题,可以用向量方法解决.常见解析几何问题及应对方法：1斜率相等问题：常用向量平行的性质.2垂直条件运用：转化为向量垂直,然后构造向量数量积为零的等式,最终转换出关于点的坐标的方程.3定比分点问题：转化为三点哪及跑量共线的等式条件.4夹角问题：利用公式coso=.团团资料来源于网络仅供免费交流使用要点三：向量在物理中的应用(1)利用向量知识来确定物理问题,应注意两方面：一方面是如何把物理问题转

4、化成数学问题,即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象.(2)明确用向量研究物理问题的相关知识：力、速度、位移都是向量；力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；动量mv是数乘向量；功即是力F与所产生位移s的数量积.(3)用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型,通过向量运算解决问题；三是把结果复原为物理结论.【典型例题】类型一：向量在平面几何中的应用例1.(2021苏州月考)A(3,2)、B(-2,1),C(1,-1),且AP2PB_(4)证实：ABC是等腰直角三角形；(2)求cosNAPC.|【思路

5、点拨】(1)由题意得C*(2,3),C*(3,2),由C"Q|CA上CB_L,能够证实4ABC是等腰直角三角形.2(2)设点P(x,y),那么二(x3,y2),吧=(2x,1y).由AP=PB,知x3=4+2x且y2=2y2,由此能求出cosNAPC.【答案】(1)略；(2)10【证实】(1)由题意得3(2,3),(3,2)由于乱.包=0,所以CALCB所以aABC具前三丽J厂又|乱|=4+9=13,|CB|=9+4=13,A|CA|=|CBb ABC是等腰直角三角形(2)设点P(x,y),那么竺二(x-3,y-2)也=(-2-xJ-y) AP=-2PB,/.x3=4+2xKy2=2

6、y2,解得x=-7,y=0,：.P(-7,0),APC=(8-1)ZRA=(10,2) RA-PC=78,资料来源于网络仅供免费交流使用65.22610|PC|=65,1空1=226,【总结升华】此题考查平面向量的综合运用,考查运算求解水平,推理论证水平；综合性强,是高考的重点,易错点是知识体系不牢固.解题时要认真审题,注意平面向量数量积的坐标运算的灵活运用.举一反三：【财丽麓蒯两扇粢前坡5儆制满足AQAB=BQBA,BO.BC=CO.CB,那么点.是4ABC的->->TT-»77()A.重心B.垂心C.内心D.外心【答案】D【平面向量的应用举例395486例4【变式2】

7、正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,那么DEfB的值为；Djpj的最大值为.一一【答案】11【解析】DE.CB二DE.DA=|DE|DA|cos(DE,DA=|DA|DA|=|DA|2二1DE-DC=|DE|DC|cos(DE,DC-"-*=ft>t|costi3e已w/EDC'一14=|DE|cosZEDC=|DF|行是e点在三上的投影)<1当F与C点重合时,上式取到等号.例2.四边形ABCD是正方形,BE/7AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F.求证：AF=AEo【思路点拨】建立直角坐标系,写出向量AE和AF,证实|AE|二|AF|.

8、1II【证实】如下列图,以点C为坐标原点,以DC边所在直线为x轴,建立直角坐标系,设正方形的边长为1,那么A(-1,1),B(0,1),假设设E(x,y)(x>0),那么BE：由于BEAC,即些江,所以x+y1=0.又由于AC=CE,所以x2+«2=0,Ix2+y2_/=u.2Jx+y-1=0川土/f1+23v2由j,得?,即:,II=(x,y-1),AC=(1Z-1).0,B)资料来源于网络仅供免费交流使用又设F卬,1),由CF=(x',1)和CE=|3共线,得3上12J.1+3x-«2=6解得x'=2-3,所以AF=AE.【总结升华】通过建立坐标系

9、,将几何问题代数化,根据向量的相关运算,使问题得以解决.举一反三:类型向量隹解析几何中的应用例3.2021秋黑龙江泰来县月考)点(一3,),点Q在肚,点A在y车耻且PA."QM=2AQ.当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.【思路点拨】设Q(a,0),A(0,b),M(x,y)是曲线上任意一点,由PA_5Q;0建立关系式得至ij3a-b2=0.由等式QM=2AQ解出a、b关于x、y的表达式,代入前一个式子化简即得动点M的轨迹方程.【答案】y2=4x【解析】设Q(a,0),A(0,b),M(x,y)是曲线上任意一点,那么PA=(3,b),AQ=(az-b),QM=(x-a,y),“

10、3旨xyia=-_!一空蛆=3a-b2=0x-a=2aQM=2AQ,可得?->y=-2b将代入,化简得y2=4x.所以动点M的轨迹方程为y2=4x.【总结升华】该题的难点是向量条件的转化与应用,解决此题应从向量的坐标运算入手,这也是解决解析几何的根本方法一一坐标法,在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧,先化简后运算.资料来源于网络仅供免费交流使用举一反三：【变式4】ABC的三个顶点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点.(1)求直线DE、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高CH所在直线的方程.(1) Xy+2=0x+5y+8=0,

11、x+y=0(2)x+y+4=0【解析】(1)由得点D(-1,1),E(-3,-1),F(2,-2),设M(x,y)是直线DE上任意一点,那么DMDE.DM=(x+1,y-1),DE=(-2,-2)o11,A(-2)X(x+1)-(-2)(y-1)=0,即xy+2=0为直线DE的方程.同理可求,直线EF,FD的方程分别为x+5y+8=0,x+y=0o(2)设点N(x,y)是CH所在直线上任意一点,那么CNLAB.?.CN.AB=0o又型=(x+6,y-2),空二(4,4).4(x+6)+4(y2)=0,即x+y+4=0为所求直线CH的方程.L胡华】(1)利用向量法来解决解析几何问题,首先要将线段

12、看成向量,再把坐标利用向量法那么进行运算.(2)要掌握向量的常用知识：共线；垂直；模；夹角；向量相等那么对应坐标相等.类型三：向量在物理学中“功的应用例4.如下图,力F与水平方向的夹角为30.(斜向上),大小为50N,一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数产002的水平平面上运动了20m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?【答案】5003-22【解析】设木块的位移为s,£,贝ijW=Fs=|F|忖cos30.=50X20X3=5003(J)o2_1F在竖直方向上的分力的大小为|q二|F|加30.=50*2=25(N).那么f二卜(mg|F|)=0.02x(8x1025)=1

13、.1(N).1贝【Jfs=|f|同cos180.=1.1Xs6x(-1)=-22(J).即F与f所做的功分别是5003j与一22J.资料来源于网络仅供免费交流使用【总结升华】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解,充分借助向量平行四边形法那么把物理问题抽象转化为数学问题.举一反三：【变式1】三个力F1=i+j,F2=4i-5j,F3作用于同一质点,使该质点从点A20,15平移到点B7,0,其是i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,求该过程中,1F2分别对质点做的功；2F2的合力对质点做的功.【的1-28,23：2-5【解析】AB=(7,0)-(20,15)=(-13-15).(1

14、)F做的功W=Fs=F.AB=(1,1).(-13-15)=-13-15=-28,F?做的功W2二F2s=F2AB=(4,5)(13-15)=4x(-13)+(5)义(-15)=75-52二23.(2)F=F1+F2=5i-4j,故合力F做的功W=Fs=(5,-4)(-13,-15)=5X(-13)+(-4)X(-15)=-5o类型四:例5.角为e0（1）（2）（3）向量在力学中的应用如图,用两条同样长的绳子拉一物体,物体受到重力为G.两绳受到的拉力分别为F、F2,夹求其中一根绳子受的拉力RI与G的关系式,用数学观点分析&的大小与夹角0的关系;求的最小值；如果每根绳子的最大承受拉力为|

15、G|,封的取值范围.【答案110增大时,间也增大22I0.,120.【解析】1由力的平衡得Fi+F/G=0,设F,的合力为F,台IZIzu刘卜二一6,出卜1+卜2=卜且|卜1尸|卜如I卜1=2卜用牛且用二用形传之.|G1|F|2|F|2恃匚,|F卜,0e0°,180°,由于函数y=cos0在.£0.,180°上为减函数,.逐渐二逐温咸小,即心增大时,cosr62cos2逐渐增大,.增大时,同也增大.(2)由上述可知,当1=0.时,同有最小值为(3)由题意,.9小/G|2c甲_10<<1,gp<COS<1orKbU°,02

16、2由于y=cos0在0°,180°上为减函数,.,0°40e0°,120.为所求.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【总结升华】生活中“两人共提一桶水,夹角越大越费力“在单杠上做引体向上,两臂的夹角越小就越省力等物理现象,通过数学推理与分析得到了诠释.那么合举一反三：(力的大小为N；假设在图示坐标系中,用坐标表示合力F,那么【变式1】2021春安徽亳州期末)如图,两个力的大小和方向,【答案】41；(5,4).【解析】由题中图可得两个力的大小和方向,可得两个力的坐标为F=(2,3),F=(3,1),-4利用两向量的坐标加法运算,匕+匕=(5,4

17、),从而得g力的坐标(5,4)以及大小41.故填：41；(5,4).类型五：向量在速度中的应用例6.某人骑摩托车以20km/h的速度向东行驶,感到风从正南方向吹来,而当速度为40km/h时,感到风从东南方向吹来,求实集风向及风速的大小.【答案】西南方向202JD口.J-QJ)【解析】设a表示车的速度20km/h,在无风时,此人感受到风速度为一a,实际风时中上人/所感受到的风速为b-a,如图,令也=-a,也=-2a,实际风速为b.由于卜/CD+DA=CA,所以%=b-a,这就是当车的速度为20km/h时,人感受到的由0正南方向吹来的风速.由于CD+DB=CB,所以CB=b,2a,这就是当车的速度

18、为,“40km/h时,人感的风速由题意得NCBD=4547CA_LB加A二AD,所以b£B为等腰三角形,CB=CD,ZCDA=45°,ZACD=45°,所以CD=CB=2DA=202.所以|b|二202km/h,b的方向是西南方向.?答：实际风向是西南方向,风速的大小为2.2km/ho【总结升华】此题主要考查向量在物理学中的应用.此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法那么和三角形法那么来解决,注意画图辅助思考.在此题中,人感到的风速在无风时与车速a互为相反向量,当实际风速为b时,此人感受到的风速是ba,这一点要搞清,速度的合成与分解相当于向量的加法与减法.举一反三：,【变式1】在风速为75(6-2)km/h的西风中,飞机以1