专题16与双变量有关的恒成立问题(原卷版)

1、备战2021高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇专题十六与双变量有关的恒成立问题一、问题指引函数背景下的双变量问题,一直是高考的热点与难点,求解根本方法是利用相关知识转化为一个变量的函数问题.二、方法详解(一)构造齐次式,换元【例】(2021年河南高三期末)函数fxx2axblnx,曲线yfx在点1,f1处的切线方程为y2x.(1)求实数a,b的值；(2)设Fxfxx2mxmR,xi,x20xx2分别是函数Fx的两个零点,求证：FJxx20.一、,一一一一一一._一,一、,一12【类题展木1】【四川省2021届局二期末】函数fx-xaxlnxax2aR有两个不同的极2值点x1,x2

2、,且x1<x2.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：xva2.1【类题展布2】(2021湖北高三期末)函数fx-x2alnx.x(1)讨论fx的单调性；2(2)设gxlnxbxcx,假设函数fx的两个极值点x1,x2x1x?恰为函数gx的两个零点,且yx1x2g'2的范围是In21,求实数a的取值范围.(二)各自构造一元函数【例】(2021河南高三月考)函数f(x)=lnx-ax+1(aCR).(1)求f(x)的单调区间；,x3,一,、(2)设g(x)=mx,右对任意的x1C(0,+8),存在x2C(1,+8),使得f(x1)vg(x2)成44x立,求实数a的取值范围.【类题展

3、本】【广东省2021届高三期末】设函数f(x)(x2axa)ex(aR).(1)当a0时,求曲线yf(x)在点(l,f(1)处的切线方程；(2)设g(x)x2x1,假设对任意的t0,2,存在s0,2使得f(s)>g(t)成立,求a的取值范围.(三)消元构造一元函数【例】函数?(?='爰71y六0,函数？?=?(?(?)1)-?(?)恰有两个零点？和？.(1)求函数?(?物值域和实数？?的最小值；(2)假设？<?,且？?a?A1恒成立,求实数？的取值范围.【类题展示】【四川省2021届高三期末函数？?(?=?§+?ln?.?(1)假设函数？?(?律2,5上单调递增,

4、求实数？的取值范围；(2)当？?=2时,假设方程?(?=?+2?有两个不等实数根？,？,求实数？砌取值范围,并证实？?？<1.(四)独立双变量,化为两边同函数形式【例】(2021深圳市高三期末)函数fxkx1lnx,其中k为非零实数.(1)求fx的极值;(2)当k4时,在函数gx厂2cfxx2x的图象上任取两个不同的点MXi,%、Nx2,y2.假设当0x1x2t时,总有不等式g%gx24x1x2成立,求正实数t的取值范围:k【类题展示】设函数fxlnx-,kR.x(1)假设曲线yfx在点e,fe处的切线与直线x20垂直,求fx的单调递减区间和极小值(其中e为自然对数的底数)；假设对任何x

5、1x20,fx1fx2x1x2恒成立,求k的取值范围.【类题展示】函数？=?+?ln?(I)求函数？?的图象在点(1,1)处的切线方程；(I)假设？C?且？?1)<?对任意？?>1恒成立,求？的最大值；(I)当？?>?R4时,证实：(？?%?>(?)?(五)把其中一个看作自变量,另一个看作参数2【例】【山东2021局二期末】aR,函数fxlnx1xax2(I)假设函数fx在2,上为减函数,求实数a的取值范围；(I)设正实数mim21,求证：对f(x)f(1)上的任意两个实数x1,x2,总有fmix1m?x2mfxm2fx2成立【类题展示】【福建省2021高三期末】函数？

6、?(?=?-?(?=(?+?)ln(?台?)-?(1)假设？?=1,?(?)=?(?)求实数？的值.(2)假设？?？C?,?(?+?(?户？?(0)+?(0)+?求正实数？的取值范围.(六)利用根与系数的关系,把两变量用另一变量表示一一1【例】(2021山西局二期末)设函数f(x)xaInx(aR)(1)讨论f(x)的单调性;k,问：是否存(2)假设f(x)有两个极值点Xi和X2,记过点A(Xi,f(Xi),B(X2,f(X2)的直线的斜率为在a,使得k2a?假设存在,求出a的值,假设不存在,请说明理由.12【类题展布】【玄南管2021局二期末】函数f(X)-x2xalnx,其中a0.2(1)

7、讨论f(x)的单调性；(2)假设f(x)有两个极值点x1,x2,证实：3f(x1)f(x2)2.12【类题展布】【湖南省师范大学附属中学2021届高三考前演练】函数f(x)Inax2x(a0).2x(1)讨论函数f(x)的极值点的个数；(2)假设f(x)有两个极值点x1,x2,证实：f(x1)f(x2)34ln2.三、跟踪练习一一1_1.函数f(x)x-alnx(aR).x(1)讨论函数yf(x)的单调性；1,(2)右0b1,g(x)f(x)一bx,且存在不相等的实数X,x2,使得gxgX2,求证：a0x2日a且XX2X1.b12.12021河北省衡水市高三期末】函数?(?=?ln?.(1)令

8、？?(?=?(?+?假设？?=?(?在区间(0,3)上不单调,求？的取值范围；(2)当？?=2时,函数？(?)=?(?)?的图象与？轴交于两点？,0),?:?,0),且0<?<?,又？(?是一,一.、',一一.?(?)的导函数.假设正常数？摘足条件？?+?=1,?>?很比拟？(?+?与0的关系,并给出理由12 .(2021江办金陵中学局二开学测试)函数f(x)=-ax2+Inx,g(x)=-bx,其中a,bCR,设h(x)=f(x)-g(x),(1)假设f(x)在x=5处取得极值,且f'(1)=g(-1)-2.求函数h(x)的单调区间；(2)假设a=0时,函数

9、h(x)有两个不同的零点xi,X2求b的取值范围；求证：号>1.e23 .【福建省2021高三期中】函数？?(?=?!?-?有两个极值点？,?.(1)求？的取值范围；(2)求证：2?<?+?.4 .【安徽省示范高中皖北协作区2021届高三模拟】函数?=-1?+2?2?ln?(1)讨论函数?的单调性;?+?(2)设？=?(?,万程？=?(其中？为常数)的两根分别为？?<?,证实：？(丁不)<0.注:?(?,?(?分别为？?,？的导函数.5 .(2021江苏徐州一中高三期中)设函数fxxnmlnx1,其中nN,n>4且mr.(2)当n2时,令gx(1)当n2,m1时,

10、求函数fx的单调区间;fx2x2,假设函数gx有两个极值点x1,x2,且4x2,求gx2的取值范围；alnx6 .(2021江办徐州一中局二月考)函数fx,g(x)=b(x-1),其中awqbO(1)假设a=b,讨论F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)函数f(x)的曲线与函数g(x)的曲线有两个交点,设两个交点的横坐标分别为xi,x2,证实：Xix2gx1x2>2.a27.(2021广西南宁二中局二(又)函数fxlnx1axx,12cgxalnxlnx1ax2xx(i)假设a0,讨论函数fx的单调性；1(i)设hxfxgx,且hx有两个极值点为公,其中x1(0,求hkhx2的最小值.e(注：其中e为自然对数的底数)8.(2021云南高三(理)函数fxeexax(a为常数).(1)讨论fx的单调性；fxifx2一(2)fx是fx的导函数,右fx存在两个极值点x1,x2x1x2,求证：f0xx2.12.119 .函数fxlnx-axbx1的图象在x1处的