余数问题教师版

1、(Ca余数问题题(教师版)"知识精讲、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数(bw。，若有ab=qr,也就是a=b凶+r,0年b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当r0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当r0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。、三大余数定理：1 .余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分

2、别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2 。3 .余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23X16除以5的余数等于3X1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23,19除以5的余数分别是

3、3和4,所以23X19除以5的余数等于3%除以5的余数，即2.4 .同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a书（modm）,左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b,模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，则a,b的差一定能被m整除。用式子表示为：如果有a书（modm）,那么一定有ab=mk,k是整数，即m|（ab）a去除1992,得到商是46,余数是r,求a和r.【解析】因为1992是a的46倍还多r,得到19924643.14,彳#1992464314,所以a43,r14.【例2

4、】甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数.【解析】（法1）因为甲乙1132,所以甲乙乙1132乙乙12321088；【解析】则乙（108832）1288,甲1088乙1000.【解析】（法2）将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（111）倍，所以得到乙数10561288,甲数1088881000.【例3】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题一即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是

5、用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数，而273=3X7X13,所求的两位数约数还要满足比37大,符合条件的有39,91.【例4】有两个自然数相除，商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少?【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）+（17+1）=115,所以被除数=2083-115=1968。【例5】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人.如果把

6、书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够.如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够.问：第二组有多少人？【解析】由48412,4859.6知，一组是10或11人.同理可知48316,48412知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人.【例6】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于13678,并且小于13（61）91；又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为78583.【例7】有一个大于1的整数，除45,5

7、9,101所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数.1014556,594514,（56,14）14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,140【例8】22003与20032的和除以7的余数是._2_3_4_5_6一.【解析】找规律.用7除2,2,2,2,2,2,的余数分别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1;2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2;2的个数是3

8、的倍数多2时，用7除的余数为4.因为22003236672,所以22003除以7余4.又两个数的积2除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所以2003除以7余1.故2颉3与20032的和除以7的余数是415.【例9】求2461135604711的余数.【解析】因为246111223.8,1351112.3,604711549.8,根据同余定理（三），2461135604711的余数等于83811的余数，而838192,1921117.5,所以2461135604711的余数为5.【例10】求31997的最后两位数.八1997一-39【解析】即考虑3除以100的

9、余数.由于10042"由于327除以25余2,所以3除以25余8,1020220203除以25余24,那么3除以25余1;又因为3除以4余1,则3除以4余1;即31能被4和25整除，-20,_20-一1997而4与25互质，所以31能被100整除，即3除以100余1,由于1997209917,所以3除以1001765>17/。62。5的余数即等于3除以100的余数，而3729除以100余29,3243除以100余43,3(3)3,所以1719973除以100的余数等于292943除以100的余数，而29294336163除以100余63,所以3除以1001997余63,即3的最

10、后两位数为63.【例11】2200820082除以7的余数是多少？32008。3669+13、669【解析】28除以7的余数为1,200836691,所以22(2)2,其除以7的余数为：166922；2008除以7的余数为6,则20082除以7的余数等于62除以7的余数，为1;所以.2008222008除以7的余数为：213.66,求这个两位数。【答案】79171错写成117,结果商少3而余数恰恰相同，这题【作业2】明明在一次计算除法时，把被除数中的除数是多少？【答案】18【作业3】两数相除，商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是.【解析】因为被除数减去8后是除数的4

11、倍，所以根据和倍问题可知，除数为(415488)(41)79,所以，被除数为7948324【作业4】1013除以一个两位数，余数是12.求出符合条件的所有的两位数.【解析】1013121001,100171113,那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91,因为“余数小于除数”，所以舍去11,答案只有13,77,91。【作业5】求478296351除以17的余数.【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大.可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数.478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,化711）1791.【作业6】一个大于1的数去除290,235,2

12、00时，得余数分别为a,a2,a5,则这个自然数是多少？【解析】根据题意可知，这个自然数去除290,233,195时，得到相同的余数（都为a）.既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0.那么这个自然数是29023357的约数，又是23319538的约数，因此就是57和38的公约数，因为57和38的公约数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19.【作业7】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人.如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够.如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够.问：第二组有多少人？【

13、解析】由48412,4859.6知，一组是10或11人.同理可知48316,48412知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人.【作业8】某个大于1的自然数分别除442,297,210,得到相同的余数，则该自然数为。【分析】首先要清楚一个事实：两个数被同一个数除余数相同，则这两个数相减（大减小）能被这个数整除。知道了这个事实后我们就很容易做这个题了。因为该自然数能整除442297145,也能整除442210232,同样能整除29721087。所以可知这个自然数必定是145,232,87的公约数。而这三个数大于1的公约数只有29。所以可知这个自然数为29。【作业9】两位自然数ab与ba除以7都余1,并且ab,求abba.【解析】abba能被7整除，即（10ab）（10ba）