北师大版八年级下册数学[《分式》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]

1、分式方程分分母.整式方程北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型稳固练习?分式?全章复习与稳固提升【学习目标】1 .理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2 .了解分式的根本性质,掌握分式的约分和通分法那么.3 .掌握分式的四那么运算.4 .结合实际情况,分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握方程的解法,体会解方程中的化归思想.【知识网络】列共实际问I-f实际问题*的解要点一、分式的有关概念及性质1 .分式一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子上叫做分式.其中AB叫做分子,B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除

2、数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当BW0时,分式公才有意义.B2 .分式的根本性质A_AxMAAMBBxM"BBmMm为不等于0的整式3 .最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式,要进行约分化简.要点二、分式的运算1 .约分利用分式的根本性质,把一个分式的分子和分母中的公因式约去,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.2 .通分利用分式的根本性质,使分子和分母同乘以适当的整式,不改变分式的值,把异分母的分式化为同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.3 .根本运算法那么分式的运算法那么与分数的运算法那么类似,具体运算法那

3、么如下：(1)加减运算a土b=a生错误！未找到引用源.；同分母的分式相加减,分母不变,把分子相ccc加减.acad±be-±-=；异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.bdbdacac(2)乘法运算一,一=,其中a、b、c、d是整式,bd#0.bdbd两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母acadad(3)除法定算一丁一=一=,其中ab、c、d是整式,bcd丰0.bdbcbc两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,与被除式相乘(4)乘方运算(3=上分式的乘方,把分子、分母分别乘方.4 .分式的混合运算顺序先算乘方,再算乘除,

4、最后加减,有括号先算括号里面的要点三、分式方程1 .分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2 .分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.3 .分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根-增根.要点诠释：由于解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.要点四、分式方

5、程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解【典型例题】1A.2x11B.2x-1C.1-3x2-x5x3D.2x21【思路点拨】根据分式有意义的条件来判断【答案】D;【解析】一个分式有无意义,取决于它的分母是否等于0.即假设一B是一个分式,那么一有意义BQBW0.而选项D,分母2x2+1>1,所以无论x取何值5x32x21定有意义.【总结升华】分式有意义的条件是分母不为零,无意义的条件是分母为零2、不改变分式的值,把以下各式分子与

6、分母中各项的系数都化为最简整数.14.ab(1)2_3_11.a-b34【答案与解析】(2)0.3x+0.2y0.05x-y'(3)2320.4x一y10-0.6y214._a_b解：(1)2311.a-b344-b1236a16b11,_ab12344a-3b/c、0.3x0.2y(0.3x0.2y)10030x20y(2)=5(6x,4y)6x4y0.05x-y(0.05x-y)1005x-100y5(x-20y)x-20y_2_2_2_2(3)序式二(0.4x0.3y)100=40x30y八工(0.25x2-0.6y2)10025x2-60y2_2_25(8x-6y)2一25(5

7、x-12y)2_2'5x-12y【总结升华】在确定分子和分母中所有分母的最小公倍数时,乘时分子、分母要加括号,注意不要漏乘.类型二、分式运算要把小数先化成最简分数；相1123、计算：+1-x1x1x1x4【思路点拨】此题如果直接通分计算太繁琐,观察比拟发现,前两个分式分母之积为平方差类型一、分式及其根本性质、2021笔口模拟以下各式中,不管字母取何值时分式都有意义的是公式,通分后与第三个分式的分母又符合平方差公式,以此类推可解此题.【答案与解析】解：原式224448+X242.4-.4.4-.81-X1x1x1-x1x1-x【总结升华】此类题在进行计算时采用“分步通分的方法,逐步进行计

8、算,到达化繁为简的目的.在解题时既要看到局部特征,又要全局考虑.举一反三:【变式】计算1111+a(a1)(a1)(a2)(a2)(a3)(a2005)(a2006)aa1a1a2a2a3a2005a20061T2111+-+a2a3a20051a200611a2006a2006一aa2006-a(a2006)a(a2006)-a22006a类型三、分式条件求值的常用技巧44、x+1=4,求4x2的值.xx4x21【思路点拨】直接求值很困难,根据其特点和条件,能够求出其倒数的值,这样便可求2出二之一的值.xx1【答案与解析】解：方法(x4x21)-：-x2=x212112.1=,x+1=.x+

9、-1,而x+_=4xxx42.2.xx1,Lx1-2-15,-42=,xxx11522(方法二：原式:4'X2=1一(xx1)-：xx2Tx【总结升华】1此题运用转化思想将所求分式通过分式的根本性质转化为分式的代数式来求值.2根据完全平方公式,熟练掌握42,xx1»2N间的关系,x利用它们之间的关系进行互相转化.举一反三：【变式】2021春？惠州校级月考假设0vxv1,且升工6,求K-1的值.XX【答案】解：:x+l=6,(x-1)2=(x+工)2-4=36-4=32,x-4二%百,K又<0<x<1,x-=-4M.4a-5b-6cH7a+4b15c=0,求一

10、222-的值.a2b3cX5、设abc=0,且3a+2b-7c=0,【答案与解析】3a2b-7c=0a=c解：解关于a、b的方程组a得<7a4b-15c=0b=2ca=c,把?代入原式中,b=2c2 _2_22.原式=4c-52c1=乌_=.c222c23c212c26【总结升华】当所求分式的分子、公母无法约分,也无法通过解方程组后代入求值时,假设将两个三元一次方程中的一个未知数当作数时,即可通过解方程组代入求值.举一反三：【变式2x2-xy-3y2=0,且x0y,求x2的值.xy-x-y【答案】解：由于2x2xy3y2=0,所以(xy)(2x-3y)=0,所以x+y=0或2x3y=0,

11、又由于x#y,所以x+y#0,2所以2x-3y=0,所以y=2x,3y一x-y2x2x-x32-x-3x3类型四、分式方程的解法6、解方程x-25(x3)(x5)(x3)(x-5)【答案与解析】解：原方程整理得:635(x5)(x-5)-(x3)(x5)(x3)(x-5)方程两边同乘以(x+3)(x+5)(x-5)得:6(x3)-3(x-5)5(x5)去括号,移项合并同类项得：2x=8,x=4.检验：把x=4代入(x+3)(x+5)(x+5)(x5)#0.x=4是原方程的根.【总结升华】解分式方程的根本思想是：设法将分式方程“转化为整式方程,去分母是解分式方程的一般方法,在方程两边同乘以各分式

12、的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意可能会产生增根,所以必须验根.举一反三：【变式】(2021春？靖江市校级月考)假设关于x的方程'=二有增根,求增根J-戈3x3k-3和k的值.【答案】解：最简公分母为3x(x-1),去分母得：3x+3k-x+1=-2x,由分式方程有增根,得到x=0或x=1,把x=0代入整式方程得：k=,1把x=1代入整式方程得：k=3类型五、分式方程的应用C7、(2021?扬州)扬州建城2500年之际,为了继续美化城市,方案在路旁栽树1200棵,由于志愿者的参加,实际每天栽树的棵数比原方案多20%,结果提前2天完成,求原方案每天栽树多少棵？【思路点拨】设原方案每天种树x棵,那么实际每天栽树的棵数为(1+20%),根据题意可得,实际比方案少用2天,据此列方程求解.【答案与解析】解：设原方案每天种树x棵,那么实际每天栽树的棵数为(1+20%),由题意得,卫组9-120°=2工(1+20%)x解得：x=100,经检验,x=100是原分式方程的解,且符合题意.答：原方案每天种树100棵.【总结升华】此题考查了分式方程的应用,解答此题的关键是读懂题意,设出未知数,找出适宜的等量关系,列方程求解,注意检验.举一反三：【变式】某项工程限期完成,甲队独做正好按期完成,乙队独做那么要误期