考点10解三角形应用举例

1、您J圆学子梦想铸金字品牌温馨提示:此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点10解三角形应用举例1. （2010陕西高考理科T17）如图，A,B是海面上位于东西方向相距53J3海里的两个观测点，现位于A点北偏东45。，B点北偏西60。的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60。且与B点相距20J3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【命题立意】本题考查了三角恒等变换、正、余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题思路点拨】解三角形A18Z)nBDnDC、BD2-BC:-

2、2JBZ)xJ&Cxcos60nDCnt规范解答】由题意度ZD4=?0-60=45.XADB=105二sin105-sin450cos600+sin60*cos45y/2L邪点2+V?二X+X2?22A金J金在必配中,由正弦定理得:三AB*sinzlDAS_5(3+/)sin45sinLADBsinl05fl-2 -崛3=】。忑（海里）1+V3年y圆学子梦想铸金字品牌XZD5C=180t-60O-601=601日。二208在9BC+，由余弦定理得CD2=BD1BC2-2xBDxBCxcos60=300+1200-2xl03x20v/3x-=900,2rite，CD=30,则需要的时间型=1（小

3、时）.30答二救援船到达D点需要1小时.2. （2010陕西高考文科T17）在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.【命题立意】本题考查了已知三角函数值求角、正弦定理、余弦定理，考查了解三角形问题的能力,属于中档题.【思路点拨】解三角形4ADCcosADCADCADB解三角形4ABDAB【规范解答】在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,品人A曰ACCAD2DC2AC2100361961由余弦定理得cosADC=,2ADgDC21062ADC=120,ADB=60-11 -在ABD中，AD=10,B=45ADB=60,由正弦定理得sin

4、ADBADsinBADgsinADB10sin60t=10sinBsin455.6.3.（2010江苏高考T17）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：nj）,如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m仰角/ABE=/ADE=该小组已测得一组，的值，算出了tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值.（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m）,使与之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时，-最大?【思路点拨】(1)利用H ,【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用,h分别表示ARAD,BD

5、,然后禾U用AD-AB=DBB解.(2)利用基本不等式求解.【规范解答】(1) H tanADAD H ,同理：abBDtantanh tan一 H H由 AD-AB=DB 得 -tan tanh加/白4x1,2I、/、小，解得：吟记丁仁一，因此，算出的电视塔的高度H是124 m.H(2)由题设知d AB,得tan ,tan dH h H hAD DB dtan(tan tan1 tan tanH H hd dH H hd dhdhd2 H (H h) d H (H h)ddH(H一hl2jiHTH_hr(当且仅当dJh(Hh)J12512155J5时，取等号)故当d55痣时，tan()最大.

6、因为0，则0，由ytanx的单调性可知：当d55J5时，-最大.22故所求的d是55J5m.4. (2010 安徽高考理科 T16)设ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且2_2_sinAsin(B)sin(B)sinB.33求角A的值.uuvr uuv(2)若AABgAC 12,a2用,求b,c (其中b c)【命题立意】本题主要考查三角函数，向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用，考查考生化简、运算、求解能力.【思路点拨】先对sin2Asin(B)sin(B)sin2B化简，求出角A；再根据(2)的条件和余弦定理，33构造方程组求解b,c【规范解答】(1)Qsin

7、2Asin(B)sin(B)sin2B3332 r 1 . 2 - 2 -3一 cos B sin B sin B 一，444z3r1.r、/3-1.2-(cosBsinB)(cosBsinB)sinB2222sinA由题意0a一所以sina显22.餐k(2)vAB-AC=AACpcosj4=c6cos=12fbe=24,322,22-A,2Qabc2bccosAb2一.22.一c2bccos28,bcbc28,3又Qbc,由解得b4,c6.5.（2010福建高考文科T21）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A

8、处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过时与轮船相遇（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（n）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值（出）是否存在v,使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由【命题立意】本题考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能【思路点拨】力、应用意识，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想第一步设相遇时小艇航行的

9、距离为s,利用余弦定理把s表示为关于t的函数，利用二次函数的性质求解s的最小值，并求解此时的速度；第二步利用余弦定理解三角形表示出v与t的关系式，并利用函数知识求解速度的范围；第三步把问题转化为一元二次方程根的分布问题【规范解答】（I）设相遇时小艇航行距离为s海里，则J900r+400-2-30f-20cos（90c-30:）=弧0八-600fM。=900。_|-300故当=1时，=即小强以每小时300海里Vk3；，3的速度航行，相遇时距离最小.得V2400600132F-900 400-t2tt4(10若轮船与小艇在B处相遇，由题意可得：(武广=20：-(309-2，20,(30/)y冈90

10、,-30)化简11_1_675,由于0t,即-2,所以当-2时，v取得最小2tt值10A,即小艇航行速度的最小值为10J13海里/小时.,、.r2400600.1I,22（ -600 ：-1600（9D0-vz）0 I 900-r? 0.（出）由（11）知丫2900,令-uu0,于是有400u2600u900v20,小艇总能t2tt有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根,得：15/3v30,所以的取值范围为15/3,30.解三角形应用题的一般步骤是：一.“建模”：1 .准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、

11、方向角等.2 .根据题意画出图形.3 .把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型.二.“解模”：正确求解.注意：算法要简练，运算要准确.三.“还原说明”：给出应用题的答案6.（2010天津高考文科T17）在ABC中，C空明ABCOSC（I）证明B=C.(n)若COSA=-，求sin4B的值.33【命题立意】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力【规范解答】（I）在ABC中，由正弦定理及已知得sn=co里.于是sinBcosC-cosBsinC=0,sinCcosC即sin(

12、B-C)=0.因为BC,从而B-C=0.所以B=C.(n)由A+B+C=和(I)得A=-2B,故cos2B=-cos(-2B)=-cosA=.3又02B，于是sin2B=Jicos22B=-223从而4.2一2sin4B=2sin2Bcos2B=,cos4B=cos2B9sin22B所以sin(4B)sin4Bcoscos4Bsin333427,318【方法技巧】解题的关键是合理利用三角函数公式对关系式进行恒等变形，要注意根据角的范围来确定三角函数的符号7.（2010福建高考理科T19）某港口。要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30。且与该港口相

13、距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少?（n）假设小艇的最高航彳T速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由【命题立意】本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整【规范解答】（I）为使小艇航行距离最小，理想化的航行路线为OT小艇到达T位

14、置时轮船的航行位移1103_s0AT,即30t10,tvt10V3,从而v30t3(海里/时).3t（n）若轮船与小艇在H处相遇时，在直角三角形OHM运用勾股定理有：（900v2）t2600t4000,等价于AG-40060029002t10.4269(x=-)从而3),v13(233”10d4(m2730(一.32所以当v30时，3,t-也就是说，当小艇以2330海里/小时的速度沿北偏东30方向行走能以最短的时间遇到轮船解三角形应用题的一般步骤是:“建模”:1 .准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等.2 .根据题意

15、画出图形.3 .把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型.“解模”：正确求解.注意：算法要简练，运算要准确.“还原说明”：给出应用题的答案.8. (2010 安徽高考文科 T 16)ABC的面积是30,内角A, B,C所对边长分别为a, b,c, cos A1213uuu uum(1)求 ABgAC.(2)若c b 1,求a的值.【命题立意】 本题主要考查三角函数,向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用,考查考生化简、运算、求解能力.12uur uur【思路点拨】 由cosA 一得sin A的值，再根据 ABC面积公式得bc的值，从而求数量积 ABgAC 13