八年级数学上册几何添辅助线专题

1、Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse角形创造边、角之间的相等条件.8.计算数值法：遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二也可将图对折看,对称以后关系现.角平分线加垂线,三线合一试试看.要证线段倍与半,延长缩短可试验.三角形中有中线,延长中线等中线.遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线D全等三角形问题中常见的辅助线的作法有答案总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二

2、个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线.角平分线平行线,等腰三角形来添.线段垂直平分线,常向两端把线连.三角形中两中点,连接那么成中位线.1 .等腰三角形“三线合一法:合一的性质解题2 .倍长中线：倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3 .角平分线在三种添辅助线4 .垂直平分线联结线段两端5 .用“截长法或“补短法：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6 .图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7 .角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-

3、60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角.从而为证实全等三条边或二个角,从而为证实全等三角形创造边、角之间的相等条件.常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等.1遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折法构造全等三角形.2遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转法构造全等三角形.3遇到角平分线在三种添辅助线的方法,1可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形

4、全等变换中的“对折,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.2可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形.3可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形.4过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移或“翻转折叠5截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证实线段的和、差、倍、分等类的题目.6某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某

5、点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答一、倍长中线线段造全等例1、“希望杯试题,如图ABC中,AB=5AC=3,那么中线AD的取值范围是解：延长AD至E使AE=2AD连BE,由三角形性质知AB-BE<2AD<AB+BE故AD的取值范围是1<AD<4例2、如图,ABC中,E、F分别在ABAC上,DEIDF,D是中点,试比拟BE+CF与EF的/ADBhADC吆ACD叱ADC+GDC=/ADG故AD军ADG故有/BADWDAG即AD平分/BAE二、截长补短1、如

6、图,AABC中,AB=2ACAD平分/BAC,且AD=BD求证：CDLAC解：截长法在AB上取中点F,连FDADB是等腰三角形,F是底AB中点,由三线合一知DF±AB,故/AFD=90°解：倍长中线,等腰三角形“三线合一法)延长FD至G使FG=2EF,连BQEG,显然BG=FC,EG=EFEG<BG+BE在BEG中,由三角形性质知在AFFG中,注意到DE!DF,ADFADC(SAS/ACD=/AFD=90°即：CDLAC2、如图,AD/BCEA,EB分别平分/DAB,/CBACD过点E,求证;AB=AD+BC解：截长法在AB上取点F,使AF=AD,连FEAD

7、且AFESAS故：EF<BE+FC/ADE=/AFE例3、如图,ABC中,BD=DC=ACE是DC的中点,求证：AD平分/BAE./ADE吆BCE=180°解：延长AE至G使AG=2AE,连BGDG,显然DG=AC/GDC=ACD由于DC=AC故/ADCNDAC在人口8与4ADG中,BD=AC=DGAD=AD/AFE+ZBFE=180°故/ECB=/EFBFBWCBE(AAS)故有BF=BC从而;AB=AD+BC03、如图,在ABC内,/BAC=60,/C=400,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是ZBAC,/ABC的角平分线.求证：BQ+AQ=AB+BP

8、解：补短法,计算数值法延长AB至D,使BD=BP,连DP在等腰BPD中,可得/BDP=40°从而/BDP=40°=/ACPADPACPASA故AD=AC又/QBC40°=ZQCB故BQ=QCBD=BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图,在四边形ABCD43,BOBA,AACDBD平分/ABC,求证：.AC=180°PB-PC=PF-PC<CF=AF-AC=AB-AC应用:如图在四边形AHCD中fA!)HHCt点E是朋匕一个动点.假设£H-60%AB=%,且4.俄=8口:判断40卜.*?jHC的关聚并证实你的结论.解：解：补短法延长BA至F

9、,使BF=BCBD阵BDCSAS故/DFB=/DCB,FD=DC又AD=CD故在等腰BFD中/DFB=/DAF故有/BAD吆BCD=180°分析：此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后利用条件和等P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC边三角形的性质通过证实三角形全等解决它们的问题.解：有BC=ADAE连接AC,过E作EFBC并AC于F点那么可证AAEF为等边三角形即AE=EF,NAEF=NAFE=603ZCFE=120又AD/BC,ZB=60°.BAD=120又.DEC=60.AED=.FEC在AADE与AFCE中/EAD=/CFE,AE=E

10、F,/AED=/FEC.：ADE=.：FCEAD=FC解：(补短法)延长AC至F,使AF=AB)AB国AFP(SAS故BP=PF由三角形性质知连PDBC=ADAE点评：此题的解法比拟新奇,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后利用全等三角形的性质解决.、平移变换例1AD为ABC的角平分线,直线MNLAD于A.E为MNh一点,ABC周长记为巳,EBC周长记为R.求证PB>PA.1、如图,在ABC中,/B=60°,ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证：OE=ODdc+ae=acBC,DEIAB于E,DF±AC于F.解：(镜面反射法)延长BA至F,使AF=AC,连F

11、E人口为ABC的角平分线,MNXAD知/FAE=/CAE故有FAECAE(SAS故EF=CE在BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACPBC=例2如图,在ABC的边上取两点DE,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.证实：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.证实角平分线在三种添辅助线,计算数值法/B=60度,贝叱BAC+ZBCA=120度；AD,CE均为角平分线,贝U/OAC+/OCA=60度=/AOE=/COD;/AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;/

12、OAE=/OAF.那么,OAE0AOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/AOF=/AOE=60度.那么/COF=/AOC-/AOF=60度=/COD;又co=co；/ocd=/ocf.故,OCD0AOCF(SAS),od=of；cd=cf.OE=ODdc+ae=cf+af=ac.2、如图,ABC中,AD平分/BACDGLBC且平分1说明BE=CF勺理由；2如果AB=a,AC力,求AE、BE的长.解：垂直平分线联结线段两端连接BD,DCDG垂直平分BG故BD=DCVbd=ce,.DM=EM,.DMNAEMA(SAS),DN=AE,同理bn=ca.延长ND交AB于P,WJBN+BP>P

13、N,DP+PA>AD,相力口得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,.AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等由于AD平分/BACDEAB于E,DF±AC于F,故有ED=DF故RTADBERTADFC(HD故有BE=ORAB+AG=2AEAE=(a+b)/2BE=(a-b)/2应用:FE=FD1、如图,OP是/MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答以下问题：12如图,在ABC中,/ACB是直角,/B=60°,AD、CE分别是/BAC、/BC

14、A的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；如图,在ABC中,如果/ACB不是直角,而1中的其它条件不变,请问,你在1中所得结论是否仍然成立?F假设成立,请证实;有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线,底边中线,底边高线例：,如图,AB=AC,BEUAC于D,求证：/BAC=2/DBC证实：方法一作/BAC的平分线AE,交BC于E,那么第23题图解：1FE与FD之间的数量关系为FE=FD2答：1中的结论FE=FD仍然成立.证法一：如图1,在AC上截取AG=AE,连结FG./1=/2,AF为公共边,.AEF三AGFZAFE=NAFG,FE=FG./B=600,AD

15、、CE分别是/BAC、.2.3=60.AFE=.CFD=.AFG=60.CFG=60Z3=/4及FC为公共边CFG=.CFDFG=FD图1/1=/2=1/BAC2又=AB=ACAE!BC/2+/ACB=90°vBDLAC ./DBGb/ACB=90° ./2=/DBC ./BAC=2/DBC方法二过A作AE!BC于E过程略方法三取BC中点E,连结AE过有底边中点时,常作底边中线例：,如图,ABC中,AB=AC,D为BCLAB于E,DF,AC于F,求证：DE=DF证实：连结AD.:D为BC中点,BD=CDFE=FD证法二：如图2,过点F分别作FG_LAB于点G,FH_LBC于

16、点H/B=60°,AD、CE分别是/BAC、/BCA的平分线可得/2+/3=60=F是MBC的内心ZGEF=60叼N1,FH=FG又HDF=B1.GEF=.HDF.可证.EGF三.DHF.B图2又=AB=ACADF分/BAC.DELAB,DF±ACDE=DF将腰延长一倍,构造直角三角形解题例：,如图,ABC中,AB=AC,在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE=AF,求证：EF±BC证实：延长BE至ijN,使AN=AB,连结CN,那么AB=AN=AC./B=/ACB,/ACN=/ANC连2DE求证：DELBC证实：证法一过点E作EF/BC交AB于F,那么/AF

17、E=/B/AEF=/C.AB=AC./B=/C ./AFE=/AEF.AD=AE ./AED=/ADE又/AF曰/AER/AEM/ADE=180° .2/AER2/AED=90°即/FED=90°.DELFE又:EF/BC.DELBC证法二过点D作DN/BC交CA的延长线于N,过程略证法三过点A作AM/BC交DE于M过程略常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形等边三角形例：,如图,ABC中,AB=AC,/BAC=80°,P为形内一点,假设/PBC=10°/PCB=30°求/PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形,连结CEWJ/B

18、AE=/ABE=60°AE=AB=BE.AB=AC.AE=AC/ABC=/ACB./AEC=/ACEvZEAC=/BAC-/BAE=80°60°=20°E丁./ACE=-180°-/EAC=80/ACB=-180°-/BAC=5C° ./BCE=/ACE-/ACB=80°-50°=30° /PCB=30° ./PCB=/BCE/ABC=/ACB=50°,/ABE=60°./B+/AC拼/ACm/ANC=180°.2/BCA2/ACN=180°丁.

19、/BC4/ACN=90°即/BCN=90° .NCLBC,.AE=AF ./AEF=/AFE又./BAC=/AEF+/AFE/BAC=/ACN+/ANC ./BAC=2/AEF=2/ANC ./AEF=/ANC .EF/NC.-.EF±BC常过一腰上的某一点做另一腰的平行线例：,如图,在ABC中,AB在AC延长线上,且BD=CE,求证：DF=EF证实：证法一过D作DN/DNB=/ACB/NDE=/E,vAB=AC,.B=/ACB.B=/DNBBD=DN又=BD=CEDN=EC在DNFffiAECF中/1=/2/NDF=/EDN=EC.DN图AECFDF=EF证法二

20、过E作EM/AB交BC延长线于M,那么/EMB=B过程略常过一腰上的某一点做底的平行线例：,如图,ABO,AB=ACE在AC上,D在BA延长线上,且AD=AE,解法二:解法三: ./EBC=/AB/ABC=10oZPBC=10o ./PBC=ZEBC在PBCffizEBC中/PBC=ZEBCBC=BC/PCB=/BCE.PB登AEBC.BP=BE.AB=BE.AB=BP/BAP=/BPA/ABP=/ABC-/PBC=50°10°=40°丁./PAB=1(180°/ABP)=70°2以AC为一边作等边三角形,证法同一.以BC为一边作等边三角形BC

21、E连结AE,那么EB=EC=BC,/BEC=/EBC=60°,.EB=EC.E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上EA所在的直线是BC的中垂线.EA!BC/AEB=1/BEC=30°=/PCB2由解法一知：/ABC=50°丁./ABE=/EBC-/ABC=10°=ZPBCvZABE=/PBC,BE=BC,/AEB=/PCB.AB草APBC.AB=BPBAP=/BPAvZABP=/ABC-/PBC=50°-10°=401c1./PAB=(180°/ABP)=1(180°-40°)=70°=60&

22、#176;-50°解：连结CD1.如图,求/A+ZB+ZC+ZD+ZE的度数./ECD+ZBDC=ZB+ZE=180°-ZBQE=180°-ZCOD.A+/B+ZACE+ZADB+/E=ZA+ZECD+ZBDC+/ACE+/ADB=/A+(/ECD+ZACE)+(/BDC+/ADB)=ZA+ZACD+/ADC=180°2.如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F.求证：AF=EF.解：延长AD至G,使DG=AD,连结BGBD=DC,/BDG=/ADC .BGDACADBG=AC=BE,/G=/CAD ./G

23、=ZBEG=ZAEF ./AEF=/CADAF=EF3.E是正方形ABCD边CD上的中点,点F在BC上,且/DAE=/FAE.求证：AF=AD+CF.解：过E作EGXAF于G /D=90°,/AGE=90°AE平分/DAF,ED=EG ED=ECEG=EC ./EGF=Z0=90°EF=EF EGFAEOF(HL).GF=F0ED=EG,AE=AE,/D=ZAGE=90°ADEAAGE(HL),AD=AGAF=AG+GF=AD+FO即AF=AD+FC4.：在ABC中,/BAC=90°,AB=AC,BE平分/ABC,CELBE.求证：CE=1BD.2证实：延长BA交CE的延长线于FFBE