(甘志国)蒙日圆及其证明

1、蒙日圆及其证明甘志国 ( 已发表于 河北理科教学研究， 2015(5)：11-13)22高考题 (2014 年高考广东卷文科、 理科第 20题)已知椭圆 C : x2 y2 1(a b 0) 的 a2 b2 一个焦点为 ( 5,0) ，离心率为 5 3(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若动点 P( x0, y0 )为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程x2 y2 答案： (1) x y 1；(2) x2 y2 1394 这道高考题的背景就是蒙日圆 . 普通高中课程标准实验教科书数学2·必修· A 版 (人民教育出版社， 2007

2、 年第 3版， 2014 年第 8 次印刷 )第 22 页对画法几何的创始人蒙日 (G.Monge，1745-1818)作了介绍 . 以上高考题第 (2) 问的一般情形是22定 理 1 曲 线 : x2 y2 1 的 两 条 互 相 垂 直 的 切 线 的 交 点 P 的 轨 迹 是 圆 a2 b2x2 y2 a2 b2 .定理 1 的结论中的圆就是蒙日圆 . 先给出定理 1 的两种解析几何证法：定理 1 的证法 1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为 0 时，可得 点 P 的坐标是 ( a,b) ，或 ( a, b) .当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0

3、时，可设点 P 的坐标是(x0 ,y0)(x0 a, 且 y0 b) ， 所 以 可 设 曲 线 的 过 点 P 的 切 线 方 程 是y y0 k(x x0)(k 0).22x2 y2 1由 a2 b2 1，得y y0 k(x x0 )(a2k2 b2 )x2 2ka2(kx0 y0)x a2(kx0 y0)2 a2b2 0 由其判别式的值为 0，得(x02 a2)k2 2x0 y0k y02 b2 0(x02 a2 0)因为 kPA,kPB 是这个关于 k 的一元二次方程的两个根，所以kPA kPBy02 b222 x0 a由此，得kPA kPB1x02 y02 a2 b2进而可得欲证成立

4、 . 定理 1 的证法 2 点 P 的坐标是 ( a,b) ，当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为 或 ( a, b) .0 时，可得0 时，可设点 P 的坐标是(x0,y0)(x0a,且 y0b) ，所以可设两个切点分别是A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2y1y2 0).xa12x yb12y 1,PB: a22a b ax2x yb22y 1.所以：kPAkPBb2x12b2x22a y1a y2a y1 y24 b4x1x2 ,k k4 OA OBy1 y2y1y2x1x2 x1x2所以b44 kOAkOBakPA

5、kPB22因为点 (xi,yi)(i 1,2) 既在曲线 :x2 y2 1上又在直线a2 b2AB: x02x y02y 122ab上，所以22 xiyia2b24 2 2 a4(y0 b2 )222a b x0 y0kOAkOBy1y2x1x2yb02yyixi4b4(x0a2 ) 04 2 2b (x0 a )b44aa (y0b ) kPAkPBkPAkPB22y0 b2a2x0得直线 AB : x02x y02y 1，切线 PA: a 2b2由此，可得PA PBx02222y0a2 b22-1· A 版进而可得欲证成立 . 再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理

6、. 引理 1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书数学·选修(人民教育出版社， 2007 年第 2 版，2014 年第 1 次印刷 )第 76 页 )从椭圆的一个焦点发出的光 线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图 1 所示 ).图1证明 如图 2 所示，设 P为椭圆 (其左、右焦点分别是 F1,F2 )上任意给定的点，过点l( 34).先证明 l 和 相切于点 P ，只要证明 lP 作 F1PF2 的外角平分线所在的直线得PF PF2 ，还PF1 PF2 PF1 PF F1F F1P PFPF1 PF2再过点 P作 F1 PF2的平分线 PA( 12)，

7、易得 PA l ，入射角等于反射角，这就证得了引理 1 成立 .引理 2 过椭圆 (其中心是点 O ，长半轴长是 a )的任一焦点 F 作椭圆 的任意切线 l 的 垂线，设垂足是 H，则 OH a.证明 如图 3 所示，设点 F ,F 分别是椭圆 的左、右焦点， A是椭圆 的切线 l 上的 切点，又设直线 FH,F A交于点 B.由引理 1，得 FAH lAF BAH (即反射角与入射角的余角相等 )，进而可得 FAH BAH ，所以点 H 是 FB 的中点，得 OH 是 BFF 的中位线 . 又 AF AB ，所以 11OH 2(FA AB) 2(FA AF ) a.引理 3 平行四边形各边

8、的平方和等于其两条对角线的平方和 .证明 由余弦定理可证 (这里略去过程 ).引理 4 设点 P 是矩形 ABCD 所在平面上一点，则 PA2 PC 2 PB2 PD 2 .证明 如图 4 所示，设矩形 ABCD 的中心是点 O 由引理 3，可得2 2 2 2 2 2 2 2PA2PC 22(OA2OP 2)2(OB2OP2)PB2PD2即欲证成立注 把引理 4 推广到空间， 得到的结论就是： 底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和 相等定理 1的证法 3 可不妨设 a 0,b 0.当a b 时，易证成立 .下面只证明 a b的情形 .如图 5所示.设椭圆的中心是点 O，左、右焦点分别是 F1

9、, F2 ，焦距是 2c ，过动点 P 的 两条切线分别是 PM,PN .图5连结 OP ，作OG PM,OH PN ，垂足分别是 G,H .过点 F1作F1D PM ，垂足为 D， 由引理 2 得 OD a .再作 F1K OG 于 K .记 OF1K，得 DG F1K ccos .222由 Rt ODG ，得 OG 2 OD 2 DG 2 a2 c2 cos2 .又 作 F2E PN,F2L OH ， 垂 足 分 别 为 E,L . 在 Rt OEH 中 ， 同 理 可 得 OH OE HE a2 c2 sin2 .(1) 若 PM PN ，得矩形 OGPH ，所以OP OG OH (a2

10、 c2 cos2 ) (a2 c2 sin2 ) a2 b22 2 2(2)若 OP a2 b2 ，得OP 2 (a2 c2 cos2 ) (a2 c2 sin2 ) OG 2 OH由 OG PM ，得 OP 2 OG 2 GP 2 ，所以 GP OH同理，有 OG HP ，所以四边形 OGPH 是平行四边形，进而得四边形 OGPH 是矩 形，所以 PM PN .由(1),(2)得点 P 的轨迹方程是 x2 y2 a2 b2.定理 1的证法 4 可不妨设 a 0,b 0.当a b 时，易证成立 .下面只证明 a b的情形 .如图 6所示 .设椭圆的中心是点 O，左、右焦点分别是 F1,F2 ，

11、焦距是 2c ，过动点 P 的两 条切线分别是 PA, PB ，两切点分别为 A,B.分别作右焦点 F2关于切线 PA,PB 的对称点 M,N ，由椭圆的光学性质可得三点F1,A,M 共线（用反射角与入射角的余角相等 ）.同理，可得三点 F1,B,N 共线.MF1 NF1 .2a ， 所 以及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得PF12PM2PF12PF2由O是 F1F2的中点，2 2(OF2 2 OP 2) 2(c2 OP2)(1)若 PA PB，得 MPF1NPF1 2( APF2BPF2) 180 ，即三点 M ,P,N共线.又 PM PF2 PN ，所以 PF1 MN

12、，进而得2 2 2 24a2 MF12 PF1 2 PM 2 2(c2 OP2)OP 2 a2 b22 2 2(2)若 OP2 a2 b2 ，得PF1 2 PM 2 2(c2 OP2) 2(c2 a2 b2) 4a2 MF1 2所以 PF1 PM同理，可得 PF1 PN .所以三点 M,P,N 共线.1得 APBAPF2BPF2( MPF2NPF2) 90 ，即 PA PB.2 2 2 2 2由(1),(2)得点 P 的轨迹方程是 x2 y2 a2 b2.定理 1 的证法 5 (该证法只能证得纯粹性 )可不妨设 a 0,b 0.当 a b 时，易证成立 .下面只证明 a b 的情形 .如图 7

13、所示，设椭圆的中心是点 O，左、右焦点分别是 F1, F2 ，焦距是 2c ，过动点 P 的 两条切线分别是 PA,PB ，切点分别是 A,B.设点F1关于直线 PA, PB的对称点分别为 F1 ,F2 ，直线 F1F1与切线 PA交于点 G，直线F1F2 与切线 PB 交于点 H .图7得 AF1 AF1 , BF2 BF1 ，再由椭圆的定义， 得 F1 F2 F2 F2 2a ，所以 OG OH a.2 2 2 2因为四边形 PGF1H 为矩形，所以由引理 4 得 OF12 OP2 OG2 OH 2 2a2，所以 OP a2 b2，得点 P 的轨迹方程是 x2 y2 a2 b2.读者还可用

14、解析几何的方法证得以下结论：22定理 2 (1)双曲线 x2 y2 1(a b 0) 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆a2 b22 2 2 2x y a b ；2(2)抛物线 y2 2px 的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.2 2 2定理 3 (1) 椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的两条斜率之积是 b2 的切线交点的轨迹方 a b a22程是 x2 y2 2 ；a2 b2(2)双曲线2x2ay2b2y2 1(a 0,b 0) 的两条斜率之积是 b2 的切线交点的轨迹方程是 b2a222ax22 by22 2.定理 4过椭圆22 2 2x2 y2 2(a b 0)上任一点 P

15、(x0, y0 )作椭圆 x2 y2 1的两条 a 2 b2a2 b2切线，则(1)当 x0a 时，所作的两条切线互相垂直；(2)当 x0a时，所作的两条切线斜率之积是b2 .2.a定理 5(1)椭圆22ax22 by221(a b 0) 的两条斜率之积是 (0) 的切线交点的轨迹是：当1 时，即圆 x2 y2 a2 b2(但要去掉四个点 ( a,b),( a, b)；1时，2即椭 圆 x 2 2 b2 ab22y2a1(但要去掉四个点( a,b),( a, b) )；b2当 b2 时， 即两条直线aby b x 在椭圆a2x2a2 y b21(a b 0) 外的部分 (但要去掉四个点 ( a

16、, b), ( a, b)；b2当 0b2 时， 即双曲线a2y22bax2222 1在椭圆 x 2 y b2 2a 2ab21(a b 0)外的部分 (但要去掉四个点 ( a, b), ( a, b) )；22 y1在椭圆 x2a2b2x22by2 1(a b 0) 外当 2 时， 即双曲线 2 2 2 a 2 b a b a的部分 (但要去掉四个点 ( a,b),( a, b) ).22(2)双曲线 x2 y2 1(a b 0) 的两条斜率之积是 ( 0) 的切线交点的轨迹 是： a2 b2当1时， 即圆 x2 y2 a2 b2；当当b2b2 时， 即椭圆 a2x a2 b2 a2y21 ；22 ab220时， 即双曲线 x 22y 2 1 ；2 b2a2 b2a当2(3)抛物线 y2 2px 的两条斜率之积是( 0) 的切线交点的轨迹 是：当0时， 即直线 x 2p ；当0 时， 的方程为 x pb2b20 时， 不存在 .a2(北京市海淀区 2015 届高三第一学期期末文科数学练习第 14 题) 已知22O :x2