2019北京中考专题复习--几何综合

1、你的态度决定你的能力几何综合几何综合·专题精讲Page 7 of 25知识框架几何综合题型一般以基本图形（正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基本量之间的数量关系的探究过程。涉及初中数学九大几何模型：1、中点类辅助线2、角平分线、垂直平分线类辅助线3、相似模型4、旋转之手拉手模型5、旋转之对角互补模型6、旋转之半角模型7、旋转之构造等边三角形8、旋转之费马点模型9、最短距离问题解题思路：从复杂的图形中“抽”出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应用相关几何模型，找到解题思路。知识梳理见中点 -倍长中线：凡是出现中线

2、或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。在 ABC 中 , AD 是 BC 边中线。方式1：直接倍长，（图 1）： 延长 AD 到 E，使DE=AD ，连接BE长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF例：如图，ABC 中，E、 F 分别在 AB、 AC 上，DE DF，BE+CF 与 EF的大小 .方式3：平行线间线段有中点D 是中点，试比较例：已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且BE=AC，延方式2：间接倍长1） （图2）作CF AD 于 F，作BE AD 的延长线于E, 连接 BE2）

3、 （图3）延长MD 到 N，使DN=MD ，连接 CD如图： AD BE， F为 DE 中点。可构造8字全等 ADFHEF例：如图，在矩形ABCD 中，BD=BE， F为 DE 中点。试探究AF 与 CF之间的位置关系。ABCD 中， BC=2AB ， M 为 AD 中点，CE AB求证：EMD=3 MEA。见多个中点构造中位线：已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；已知一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线；已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB=CD， E、 F 分别是BC、 AD的中点，BA、 CDEF的延长线G、 H。求

4、证：BGE= CHE。连接顶点与中点，构造三线合一： 直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍Rt ABC 中， D 为斜边 AB 的中点，连接CD，则得CD=AD=BD ，从角平分线、垂直平分线类辅助线角平分线 ：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的题目辅助线的作法，一般有四种。 由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，利用角平分线性质。 以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形。 当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一 ” 过角的一边上的点，作另一边的

5、平行线，构成等腰三角形 “ 角平分线 +平行，必出等腰交 AD 的延长线于点M.垂直平分线：a、对称性；b、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。例：如图，Rt ABC中，ACB=90°，AD平分BAC， 作 AD的垂直平分线EF交 AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H1）依题意补全图形2）求证：BAD= BFG3）试猜想AB， FB和 FD之间的数量关系并进行证明你的态度决定你的能力平行 A 字型、 8 字型：相似模型几何综合·专题精讲Page 5 of 25斜交 A 字型、 8 字型：共享型（母子型）你的态度决定你的能力几何综合·专题

6、精讲Page 13 of 25双共享型：双 A 字型：旋转之手拉手模型 手拉手全等特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论： （ 1） ABC AB C （ 2）BOB = BAB （ 3） OA平分 BOC例： 如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD 与 BCE ， 连结 AE 与 CD ，证明： （ 1）（ 2）ABE DBCAE DC3）AE 与 DC 之间的夹角为604）5）6）7）AGB DFBEGB CFBBH 平分 AHCGF / AC手拉手相似特点：由两个相似三角形所组成，并且一组等角的顶点为公共顶点结论： （ 1）AOC BOD （ 2）A

7、EB= AOB例： 如图，两个正方形ABCD 与 DEFG,连结CE、 AG,二者相交于点H。求： （ 1） AG=CE （ 2） AG 与 CE 之间的夹角为多少度？（ 3） HD 平分 AHE旋转之对角互补模型条件 】 ：AOB= DCE=9°；0OC平分AOB1：CD=C；E OD+OE=2 OC；S DCE S OCDS OCE OC2你的态度决定你的能力当DCE的一边交AO的延长线于D时：几何综合·专题精讲1CD=C；E OE-OD= 2 OC；S OCE S OCD 1 OC2 120°)：AOB=2 DCE=120°；OC平分 AOB：CD

8、=CE；OD+OE=OC；S DCES OCD S OCE 3 OC24对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；注意OC平分AOB时，CDE= CED= COA= COB如何引导？你的态度决定你的能力几何综合·专题精讲Page 25 of 25旋转之半角模型角含半角要旋转：构造两次全等【条件】 ：正方形ABCD；EAF=45°；【结论】 ： EF=DF+BE；CEF的周长为正方形ABCD 周长的一半；也可以这样：【条件】 ：正方形ABCD；EF=DF+BE；【结论】 ：EAF=45&#

9、176;；：正方形ABCD；EAF=45： EF=DF-BE；若 DAE 旋转到 ABC 外部时，结论BD 2 CE2 DE2仍然成立旋转之构造等边三角形等边三角形是一个具有丰富性质的完美图形,这些性质为我们解几何题提供,所以寻找、发现等边三角形是解一些几何题的关键.例： 在四边形ABCD 中， ABC=60 °， AB=BC， ADC=30222证明： AD CD BD 。分析： 待证结论让我们联想到勾股定理，需要通过添加辅助线将AD 、 CD（作为直角边）和BD（作为斜边）集中到一个直角三角形中。例 : 如图，ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD =CE，连

10、接BD，AE相交于点F（ 1 ）BFE的度数是（ 2）如果 AD 1 ，那么 AFAC 2 BF（ 3）如果 AD 1 时，请用含n 的式子表示AF， BF的数量AC n关系，并证明例 : 如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE， AE， BD交于点 F（ 1 ）求AFB的度数2）求证：BF=EF3）连接CF，直接用等式表示线段AB ， CF， EF的数量关系旋转之费马点模型“费马点 ”是指 位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若给定一个三角形 ABC 的话，从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A、B、 C 的距离之和比从其它点

11、算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.问题： 如图 1，如何找点P 使它到 ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？图文解析：如 图 1，把APC 绕 C 点顺时针旋转60°得到APC， 连 接 PP则CPP为等边三角形，CP= PP， PA =PA，PA+PB+PC= PA +P B+ PP B C点A可看成是线段CA 绕 C 点顺时针旋转60°而得到BA为定长。B、 P、 P、 A 四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小。APC= A PC=180°- CPP=180°-60°=120°，BPC =

12、180° - PPC=180° -60° =120° ，APC=360°- BPC- APC=360° -120° -120° =120°.因此， 当 ABC 的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°， 所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换 例：四边形ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形，

13、M 为对角线BD（不含B 点） 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转600 得到 BN， 连接EN、 AM 、CM.1）求证: AMB ENB；2）当M 点在何处时，AM BM CM 的值最小，并说明理由；最短距离问题三角形两边之和大于第三边型1.直线l 和 l 的异侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，2 .直线l 和 l 的同侧两点PA+PB最小。3 .点 P是MON 内的一点，分别在使 PAB的周长最小。两点之间的距离线段最短型A、 B，在直线l 上求作一点P，使OM ， ON 上作点A， B。使 PA+PB最小。你的态度决定你的能力4 .点 P， Q为 MON 内的两点，分别在O

14、M， ON 上作点A， B。使四边形PAQB的周长最小。点到直线的距离垂线段最短型5 . .如图，点A是 MON 内的一点，在射线OM 上作点P，使PA与点P到射线ON 的距离之和最小。典例精讲【 2018 西城期末】如图1，在Rt AOB 中，AOB=90°，OAB=30°，点C在线段 OB 上，OC=2BC， AO 边上的一点D 满足OCD=30°将OCD 绕点O 逆时针旋转 度(90°< <180°)得到OC D ， C， D 两点的对应点分别为点 C ， D ，连接AC ， BD ，取( 1)如图2，当C D AB 时，几何

15、综合·专题精讲AC 的中点M，连接OM =°，此时 OM 和 BD 之间的位置关系Page 15 of 25你的态度决定你的能力2）画图探究线段OM 和 BD 之间的位置关系和数量关系，并加以证明几何综合·专题精讲Page 35 of 252018海淀期末】在ABC 中， A 90°，AB AC（ 1）如图1， ABC 的角平分线BD， CE 交于点Q，请判断“QB2QA”是否正确：（填“是”或“否”） ；2）点P 是 ABC 所在平面内的一点，连接PA， PB，且PB2 PA如图2，点P 在 ABC 内， ABP 30°，求PAB 的大小；如

16、图3，点P 在 ABC 外，连接PC，设APC ， BPC ，用等式表之间的数量关系，并证明你的结论1图2图32018昌平期末】已知，ABC 中，ACB=90°，AC=BC，点 D 为 BC边上的.（ 1）以点 C 为旋转中心，将ACD 逆时针旋转90°，得到BCE，请你画出旋转后的图形；（ 2）延长AD 交 BE 于点 F，求证：AF BE；（ 3）若AC=5 ， BF=1，连接CF，则 CF 的长度为.备用图【 2018丰台期末】如图，BAD=90°，AB=AD， CB=CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA， DA 交于点M，

17、 N，与BA， DAE， F，连接AC.1) 在FCE 旋转的过程中，当 FCA= ECA时， 如图 1， 求证：AE=AF；2)在 FCE 旋转的过程中，当FCAECA 时，如图2，如果B=30°，CB=2，用等式表示线段AE， AF 之间的数量关系，并证明.2018门头沟期末】如图27- 1 有两条长度相等的相交线段AB、 CD，它们相交60°，为了探究AD、 CB 与 CD（或 AB）之间的关系，小亮进行了如下尝试：1）在其他条件不变的情况下使得AD BC ，如图27- 2，将线段AB 沿 AD 方向平移 AD 的长度， 得到线段DE, 然后联结BE, 进而利用所学知

18、识得到AD、CB 与 CD（或 AB）之间的关系：； （直接写出结果）2）根据小亮的经验，请对图27-1 的情况（ AD 与 CB不平行）进行尝试，写出 AD、 CB 与 CD（或 AB）之间的关系，并进行证明；图 27-1图 27-23）综合（1） 、 （ 2）的证明结果，请写出完整的结论: _【 2018 怀柔期末】在等腰ABC 中，AB=AC，将线段BA 绕点 B 顺时针旋转到BD，使BD AC于 H，连结 AD 并延长交BC的延长线于点P.( 1) 依题意补全图形；( 2)若 BAC=2，求 BDA的大小(用含 的式子表示)；( 3) 小明作了点D 关于直线BC 的对称点点E， 从而用等式表示线段DP 与 BC 之间的数量关系. 请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与 BC 之间的数量关系.你的态度决定你的能力2018朝阳期末】【 2018平谷期末】如图，在Rt ABC 中，BAC=90°，AB=AC在平面内任取一点D，连结AD（ AD< AB） ，将线段AD 绕点 A 逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE， CE， BD（ 1）请根据题意补全图1；（ 2）猜测BD 和 CE 的数量关系