人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典!)

1、（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系;不等式的主要性质:对称性：a b（3）加法法则:（4）乘法法则:b,c0, c开方法则:不等式的基本知识ac（2）传递性：ab,bbc ；0 aca b,ab 0bn(n N* 且 n 1)b 0 na nb(n2-应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、元二次不等式的解法元二次不等式 ax2 bx c 0或ax2设相应的一元二次方程 ax2 bx c 0 ab, cbda b, cd（同向可加）acbc（同向同正可乘* 且 n 1)(6)（作差一一变形一一判断符号bx c 0 a 0的解集

2、:乘方法则结论）0的两根为xx2且x1x2,b2 4ac,则不等式的解的各种情况如下表:,兀一次方程ax2 bx c 0a 0的根后两相异实根Xi,X2（Xi x2）后两相等实根bXi X22a无实根ax2 bx c 0 (a 0)的解集xx x1 或 x x2b xx2aRax2 bx c 0 (a 0)的解集xx1 x x2分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母f (x)g(x) 0g(x) 0般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。f(x)f(x)0 f (

3、x)g(x) 0;0g(x)g(x)3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式fxA在区间D上恒成立，则等价于在区间D上fx minA若不等式fxB在区间D上恒成立，则等价于在区间DfxmaxB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式 Ax+By+C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（x, y）代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同，所以 只需在

4、此直线的某一侧取一特殊点（ x0,y。），从Ax+By0+C的正负 即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域 .（特殊地，当 Cw0时，常把 原点作为此特 殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数.线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解.由所有可行

5、解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by=0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式ab ab21,若a,bCR,则a2+b2R2ab,当且仅当a=b时取等号.a b2 .如果a,b是正数，那么 dab（当且仅当a b时取”号）.2a b变形： 有:a+b2、-ab； ab04针-4x + 106 .解不等式(x 1)(x 2)2 0o7 .解不等式-51

6、x2 2x 328 .不等式 ax bx 12 0 的解集为x|-1vxv2,贝U a=, b=9 .关于x的不等式ax b 0的解集为(1,),则关于x的不等式axb 0的解x 2集为10 .解关于x的不等式ax2 (a 1)x 1 0题型四：恒成立问题11 .关于x的不等式a x2+ a x+10 恒成立，则a的取值范围是 12 .若不等式x2 2mx 2m 1 0对0 x 1的所有实数x都成立，求m的取值范113.已知x 0, y 0且一 x围.-1,求使不等式x y m恒成立的实数 m的取值范围。 y（三）基本不等式. ab b 2题型五：求最值14 .（直接用）求下列函数的值域（1）

7、 y=3x 2+会（2） y=x+1nxx15 .（配凑项与系数）一， 5（1）已知x - ,求函数y 4x 2 的取大值。44x 5(2)当时，求y x（8 2x）的最大值。16.（耐克函数型）求 yx2 7x 10（x1）的值域。注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f (x) x 的x单调性。17.（用耐克函数单调性）求函数 yx2 418.（条件不等式）(1) 若实数满足a b 2,则3a 3b的最小值是 .19(2) 已知x 0, y 0 ,且1 ,求x y的最小值。x y(3) 已知x, y为正实数，且x 2+y2- =1,求x/l + y 2的最大值.1

8、(4) 已知a, b为正实数，2b+ab+a=30,求函数y = 的最小值. ab题型六：利用基本不等式证明不等式ca19 .已知a,b, c为两两不相等的实数，求证： a2 b2 c2 ab bc20 .正数 a, b, c满足 a+b+c=1,求证：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc1.1.1._21.已知 a、b、c R,且 a b c 1。求证： 一1 1 一 18a b c题型七：均值定理实际应用问题:22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方

9、米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。（四）线性规划题型八：目标函数求最值23.满足不等式组2xy307xy80,求目标函数kx,y 03x y的最大值已知实系数一元二次方程x2 （1 a）x a b 1 0的两个实根为 x1、x2 ,并且24.b0 x12, x22 .则的取值范围是a 1x 03x 4y 42225.已知*满足约束条件：y 0，则xy 2x的最小值是26.已知变量x, y满足约束条件x 2y 3 0x 3y 3 0.若目标函数 z ax y （其中a0）仅 y 1 0在点(3, 0)处取得最大值，则 a的取值范围为 。y 1,27

10、 .已知实数x, y满足 y 2x 1,如果目标函数z x y的最小值为 1,则实数m等于 x y m.()题型九：实际问题28 .某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本 20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过 350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习一一不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习一不等式1. ；2. p q;443.当 0 x 1或 x 时，1+10gx 3 210gx 2 ；当 1 x 时，1+10gx 3 qp。5.6. x | x 1或 x 2；7. ( 1,1)U(2

11、,3)；28. 不等式 ax bx 120 的解集为x|-1 x 2,则 a =-6, b=_69. (, 1) (2,).10. 解：当a = 0时，不等式的解集为xx 1 ;2分11当21俄寸，a(x- -)(x- 1)0；当a0aa1不等式的解集为xx 1或x 1 ； 6分11当0a1时，11时，1,不等式的解集为x - x 1 ; 10分aa当a=1时,不等式的解为 612分11. 0 x0 时，y=x+11 2lx-1 =2;当x0时,1x = 2y=x+i=(x-) 2.3a 3b当3a3b时等号成立，由a b2及3a3b 得 a b1即当a1 时，3a3b的最小值是6.(2)解:

12、Qx10,y 0,- x91, y当且仅当9x , 一时，上式等号成立，又y(3)x41 + y2 =x1 + y 22下面将x,解:十 分别看成两个因式:2 y 21x 2+上+22(4)的件30-2b解：法一：a=b+ 1由 a0 得，0V b 15 ab 18法二：由已知得:19.20.21.证明:2x4,y9x一 10 y10 1612时，x ymin1630-2b ab=.b+ 1-2t 2+ 34t311 t1671. . y）/当且仅当t=4,即b = 3, a=6时，等号成乂。 1830-ab=a + 2b / a + 2b2/2 ab30-ab22 ab贝U u2 + 2，2 u-300,-5/2 u3J2/ab03卡，ab 18, :丫)已知正数已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2ab bccaa,a、Q a、b,b、b、c满足 a+ b + c= 1,求证：(1 a)(1 b)(1 c)8abcc R ,且a b c 1 o求证:1c R , a b c 1 o - 1 a2-ab。上述三个不等式两边均为正，分别相乘, c2 bc .o同理一22.解8。当且仅当a若设污水池长为 x 米（米）水池外圈周壁长:，1