13第十三章数论余数的性质

1、龙校点招积分考试强化提升核心团队第十三章数论余数的性质概念若整数A除以大于0的整数B,商为整数，且余数为零，则 A能被B整除， 或者说B能整除A;若余数是C （不为0）,则说A除以B余数是Co余数问 题主要分为两类题型：1 .基本余数问题2 .同余问题：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期 余数重要性质在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生 余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。余数有如下一些重要性质（a, b, c均为自然数）：（1） 余数小于除数。（2） 被除数=除数X商十余数；除数二（被除数-余数）+商；商=（被除数-余数）+除数。（3） 如果a,

2、 b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如, 17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。（4） a与b的和除以c的余数，等于a, b分别除以c的余数之和（或 这个和除以c的余数）。例如，23, 16除以5的余数分别是3和1,所以 （23+16）除以5的余数等于3+1=4注意：当余数之和大于除数时，所求 余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23, 19除以5的余数分别是3 和4,所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。（5） a与b的乘积除以c的余数，等于a, b分别除以c的余数之积 （或这个积除以c的余数）。例如，23, 16除以5的余数分别是3和1

3、,所 以（23X 16）除以5的余数等于3X1=3。注意：当余数之积大于除数时， 所求余数等于余数之积再除以 c的余数。例如，23, 19除以5的余数分别 是3和4,所以（23X19）除以5的余数等于（3X4）除以5的余数。例题1 .某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质 数？把它们写出来.2 .两数相除，商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415,则 被除数是.3 .（真题）1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则 a的最小值是4 .在几进制中有125 M125 =16324 ?5 .学生在操场上列队做操，只知人数在 90110之间。如果排成3排则不

4、多 不少；排成5排则少2人；排成7排则少4人，则学生人数是多少？（）A.102B.98C.104D.1086 .三位数的自然数N满足：除以6余3,除以5余3,除以4也余3,则符合条件的自然数N有几个？A.8 B.9 C.15 D.167 .甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。8 .有一个整数，用它去除70, 110, 160得到的三个余数之和是50。求这个 数。9 .为帮助果农解决销路，某企业年底买了一批水果，平均发给每部门若干筐 之后还多了 12筐，如果再买进8筐则每个部门可分得10筐，则这批水果共 有多少筐：A. 192 B. 198 C. 200 D. 21

5、210 .甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘 36人。两代表团坐满若干辆 车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参 观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还 可拍几张照片？11 .（真题）用一个自然数去除另一个自然数，商为 40,余数是16.被除 数、除数、商、余数的和是 933,求这2个自然数各是多少？12 .万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？13 .在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少

6、 个？（余数可以为0）14 .一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和 等于它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？15 .自然数123456789是质数，还是合数？为什么？16 .三个连续自然数的乘积等于 39270,那么这三个自然数的和是多少？17 .一个数是5个2, ,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数当然有许多因 数是两位数，这些两位数中，最大的是几？18 .有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.19 .A、B都是整数，A大于B,且AX B=2009,那么A B的最大值为，最小 值为。20 .从

7、20以内的质数中选出6个数，写在一个正方体木块的六个面上，使两个相对面的和都相等，所选的 6个数是。21 .五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是22 .一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数23 .求31997的最后两位数24 .已知a =200820082008 ,问：a除以13所得的余数是多少？ *=f=i '2008 个 200825 .（真题）一个自然数被7, 8, 9除的余数分别是1, 2, 3,并且三个商数的和是570,求这个自然数.26 .（真题）一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商 与余数的和等于它除以19后所得到的商与

8、余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？27 .三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7倍，求这三个质数.28 .有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.29 .将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：12345678910111213. 20072008,试求这个多位数除以 9的余数.2830 .有三张卡片，它们上面各写着数字 1, 2, 3,从中抽出一张、二张、 张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你 将其中的质数都写出来.31 .三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.32 .

9、（真题）用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9个数字最多能组成多少个质数？33 .有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好 是三个数字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？34 .有两个自然数相除，商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2113 ,则被除数是多少？35.（真题）已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10,那么这样的自然数共有多少个?36.有一个整数，除39, 51, 147所得的余数都是3,求这个数.37.有一个整数，用它去除 70, 110, 160所得

10、到的3个余数之和是50,那 么这个整数是.38.用自然数n去除63, 91, 129得到的三个余数之和为25,那么n=.39.一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？40.甲、乙、丙三数分别为 603, 939, 393.某数A除甲数所得余数是 A除乙数所得余数的2倍，a除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求a 等于多少？41 . 22003与20032的和除以7的余数是.42 . 22008 +20082除以7的余数是多少?43 .有一串数：1, 1, 2, 3, 5, 8,从第三个数起，每个数都是前两 个数之和，

11、在这申数的前2009个数中，有几个是5的倍数？44 .著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21,这用数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？45.将12345678910111213 依次写到第1997个数字，组成一个1997位数,那么此数除以9的余数是46.（真题）有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031, 第一个数各个位的数字之和是10,第二个数的各个位数字之和是 8,求两个 三位数的和.47.设20092009的各位数字之和为 A, A的各位数字之和为B, B的各位数字 之和为C , C的各位数字之和为D ,那么D =?48.从1到2008的所

12、有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个?49.一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？50 .能否找到这么一个数，它加上 24,和减去30所得的两个数都是完全平 方数？51 .有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数, 则这五个数中最小数的最小值为.52 .（真题）把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的 两位数.如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少？53 .将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数 （这个数也叫原 数的反序数），新数比原数大8802.求原来的四位数.5

13、4 .有3个不同的数字，用它们组成 6个不同的三位数，如果这 6个三位数 的和是1554,那么这3个数字分别是多少？55 .有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886,求所 有这样的6个三位数中最小的三位数.56 .（真题）a, b, c分别是0 ：9中不同的数码，用a, b, c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是 2234,那么另一个三位数是几？57 .在几进制中有4 M13 =100?58.算式1534 M25 =43214是几进制数的乘法?59.在6进制中有三位数abc,化为9进制为cba ,求这个三位数在十进制中 为多少？60.学校新买来118个乒乓球，67

14、个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班？答案与解析1 .有六个这样的数，分别是11, 13, 17, 23, 37, 47.2 .因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为(415 -4-8 -8) + (4 +1) =79 ,所以，被除数为79x4 +8 = 324.3 .先将1016分解质因数：1016 =23 M127 ,由于1016 xa是一个完全平方数，所以至少为24 M1272 ,故a最小为2 M127 =254 .4 .注意(125)10 x(125)10 =(15625)10 ,因为156

15、25 <16324 ,所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324,所以n <10 .再注意尾数分析，(5)10父(5)10 =(25)1。，而16324的末位为4,于是25 -4=21进 到上一位.所以说进位制n为21的约数，又小于10,也就是可能为7或3.因为出现了 6,所以n只能是7.5 .根据题中“如果排成3排则不多不少”这一条件可知学生人数是 3的倍数, 所以排除B、C选项；选择A进行代入试错，102并不能满足条件“排成5 排则少2人"，所以排除A选项，因此，本题选择D选项.6 .根据剩余问题口诀，可知余数同为 3,取除数4、5、6的最小公倍数60为周期，则

16、其通项为N=60n+3 n为整数；100? 60n+3? 1000,则 97? 60n? 997,可知2? n? 16,此范围内可取值的数量为15。因此，本题选C7 .因为甲二乙X 11+32,所以 甲 +乙=乙 X 11+32+乙=乙>< 12+32=1088,所以 乙二(1088-32) + 12=88,甲=1088-乙=1000。答：甲数是1000,乙数是88。8 .先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为 50+ 3=16, 2,所以三个 余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除 数不应大于70,所以除数在1770之间。由题意知( 7+110+

17、160) -50=290应能被这个数整除。将290分解质因 数，得到290=2X 5X29, 290在1770之间的约数有29和58。因为110+ 58=1, 52>50,所以58不合题意。所求整数是29。9 .由第二个条件可知，这批水果筐数的总数加 8能被10整除，首先派出B 和C,再选取A作为试错的对象加以验证，如果 A为正确答案，则部门数为 20,带入第一个条件，满足要求，本题选择 A10 .甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数(简称甲数)除 以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以 36余2

18、5;甲代表团的每个成 员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数X乙数”张照片， 因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数X乙数” 除以36的余数。因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数X乙数”除以36的余数等于11 X 25除以36的余数。（11X25） +36=7,2311 .本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y ,可以得到x=40y 16x y 40 16 = 933,x=856解方程组得f ,即这两个自然数分别是856, 21.y = 2112 .因为是质数所以个位数不可能为偶数 0, 2, 4, 6, 8也不可能

19、是奇数5.如果末位数字是3或9,那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整 除，这就不是质数了 .所以个位数只能是7.这个三位质数可以是167, 257, 347, 527或617中间的任一个.13 .我们知道18, 33的最小公倍数为18, 33=198,所以每198个数一次.1198之间只有1, 2, 3, , , 17, 198（余O）这18个数除以18及33所得的余数相同，而999+ 198=5,9,所以共有5X 18+9=99个这样的数.14 .设这个三位数为s ,它除以17和19的商分别为a和b,余数分别为m和 n ,贝U s =17a +m =19b +n .根据题意可知a +

20、m =b +n ,所以s _(a +m尸s(b +n5 即16a =18b ,得8a =9b .所以a是 9的倍数，b是8的倍数.8 1止匕时，由 a+m =b+n 知 n-m =a-b = a a =a .9 9由于s为三位数，最小为 100,最大为 999,所以100 W17a+m W999 ,而1 <m <16 ,所以 17a +1 <17a +m <999 , 100 <17a +m <17a +16 ,得到 5 <a <58 ,而 a是 9 的 倍数，所以a最小为9,最大为54.1当a =54时，nm=-a=6 , 而n W18 , 所

21、以mW12, 故此时s最大为 917 M54 +12 =930 ;当a =9时，n_m=1a=1,由于m ±1 ,所以止匕时s最小为17 M 9+1 =154 . 9所以这样的三位数中最大的是 930,最小的是154.15.1+2+3+, +8+9= 10X9 + 2=45,45 是 3 和 9 的倍数，所以 123456789是 3和9的倍数,是合数。16.39270=2 X3X5X7X11X 17=33X 34 X 35,33+34+35=102.17 .从 99 开始分解质因数，99=3X 3X11, 98=2X 7X7,97 是质数，96=2X 2 X2X2X2X3,最大 9

22、6.18 .(法 1) 393 =36,147 -3 =144 ,(36,(144) =12 ,12的约数是1,2,3,4,6,12 ,因为余数为3要小于除数,这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数 的差，也就是说它是任意两数差的公约数.51 39 = 12, 147 39 =108 ,(12,108)=12,所以这个数是 4,6,12 .19 .最大可以为41,此时，所以的最小值为8.20 .分析：20 以内的质数有：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.显然2不能入选，否则会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还 剩

23、下3, 5, 7, 11, 13, 17, 19这7个数。从中选择6个，相当于从中剔除 1个。由于这7个数的和为，是3的倍数，而选出的6个数之和也是3的倍数， 所以被剔除的那个数也是3的倍数，只能是3。所以选出的6个数是：5, 7, 11, 13, 17, 19.21 .令和最小，则考虑高位最小，考虑个位关系在1, 3, 5, 7, 9上。一位数不可能，两位数高位为1时不可能，高位为2时，可以找到24, 25, 26, 27, 28,则其和是13022 .本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数， 即得到一个除数

24、的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也 可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数，而273=3X 7X 13,所求 的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39, 91.23 .即考虑31997除以100的余数.由于100 =4 X25 ,由于33 =27除以25余2,所以39除以25余8,310除以25余24,那么320除以25余1;又因为32除以4余1,则320除以4余1;即320 -1能被4和25整除，而4与25互质，所以320 1能被100整除, 即320除以100余1 ,由于1997 =20 X99 +17 ,所以31997除以1

25、00的余数即等于 317除以100的余数，而36 =729除以100余29, 35 =243除以100余43,317 =(36 ) 2 X 35 ,所以317除以100的余数等于29 M29M43除以100的余数，而29 M29 X43 =36163除以100余63,所以31997除以100余63,即31997的最后两 位数为63.24 . 2008 除以13 余 6 , 10000 除以 13 余 3 , 注意到 20082008 =2008 =<10000 +2008 ;200820082008 =20082008 父10000 +2008 ;2008200820082008 =20

26、0820082008 父10000 +2008 ;根据这样的递推规律求出余数的变化规律:20082008 除以 13 余 6 M3+6 13=11 , 200820082008除以 13 余11 m3 +6 39 =0 ,即 200820082008是 13 的倍数.而2008除以3余1 ,所以a =200820082008除以13的余数与2008除以13的=*= = 12008 个 2008余数相同，为6.25 .这个数被7, 8, 9除的余数分别是1, 2, 3,所以这个数加上6后能被7, 8, 9整除，而，所以这个数加上6后是504的倍数.由于这个数被7, 8, 9除的三个商数的和是57

27、0,那么这个数加上6后被7, 8, 9除的三个商数 的和是570 ,那么这个数加上6后被被7, 8, 9除的三个商数的和是570 +1 +1 +1 =573, 而 504 T9 +504 +8 +504 +7 =7父8+7 M9+8 M9 =191,573 +191 =3 ,所以这个数加上 6等于504的3倍，这个数是504 M3 6 =1506 .26 .设这个三位数为s,它除以17和19的商分别为a和b,余数分别为m和 n ,贝U s =17a +m =19b +n .根据题意可知 a +m =b +n , 所以 s -(a +m )=s -(b +n ),即 16a =18b , 得8a

28、 =9b .所以a是9的倍数,b是8的倍数.此时，由 a+m=b + n知n_m二a七_一为二'. 99由于s为三位数，最小为 100,最大为 999,所以100 <17a +m <999 , 而1 <m <16 ,所以 17a +1 <17a +m <999 , 100 <17a +m <17a +16 ,得到 5 <a <58 ,而 a是 9 的倍数，所以a最小为9,最大为54.mM12 ,故此时s最大为1当 a =54 时，n m =- a =6 ,而 n M18 ,所以 917 父54 +12 =930 ;当a =9时

29、，n_m=1a=i,由于m之1 ,所以止匕时s最小为17父9+1 =154 . 9.所以这样的三位数中最大的是 930,最小的是154.27 .设这三个质数分别是a、b、c ,满足abc =7(a+b+c),则可知a、b、c 中必有一个为 7,不妨记为a ,那么bc=7+b+c,整理得(b1)(c1) = 8 ,又 8 =1父8 =2父4 ,对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5,所以这三个质数可 能是3, 5, 728 .这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由 于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三 个数中的任意两数的差，也就

30、是说它是任意两数差的公约数.101 45 =56,59 -45 =14 , (56,14) =14, 14 的约数有 1,2,7,14 ,所以这个数可能为 2,7,14 .29 .以19992000这个八位数为例，它被 9除的余数等于 (1 +9 +9 +9+2 +0 +0+0献9除的余数，但是由于 1999与(1 +9 +9+9 )被9除 的余数相同，2000与(2+0+0+0 9除的余数相同，所以19992000就与 (1999 +2000微9除的余数相同.由此可得，从1开始的自然数12345678910111213,20072008被9除的余数 与前2008个自然数之和除以9的余数相同.

31、根据等差数列求和公式，这个和为：+2008 )父2008 =2017036它被9除的2余数为1 .另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将 原多位数分成 123456789 ,101112131415161718 ,199920002001200220032004200520062007 2008 等数，可见它被 9 除的余 数与2008被9除的余数相同.因此，此数被9除的余数为1.30 .抽一张卡片，可写出一位数 1, 2, 3;抽两张卡片，可写出两位数 12, 13, 21, 23, 31, 32;抽三张卡片，可写出三位数 123, 132, 213, 231, 312,

32、321,其中三位数的数字和均为 6,都能被3整除，所以都是合数.这 些数中，是质数的有：2, 3, 13, 23, 31.31 .设这三个质数分别是a、b、c,满足abc =11（a+b+c）,则可知a、b、c 中必有一个为11,不妨记为a ,那么bc =11 +b +c ,整理得（b-1）（ c-1 ） =12 , 又 12 =1 M12 =2 M6 =3 M4 , 对应的 b =2、 c =13 或 b =3、 c=7 或 b=4、 c=5 （舍去），所以这三个质数可能是2, 11, 13或3, 7, 11.32 .要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这

33、样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用.有1、4、8、 9可以组成质数41、89,而6可以与7组合成质数67.所以这9个数字最 多可以组成6个质数.33 .两位数中，数字相同的两位数有 11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如 33 =1 +32 =2 +31 =3 +30 M=16 +17 ,共有16种形式，如果把每个数都这样 分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999,每

34、个数都是111的倍数，而111=37X3,因此把 这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因 数是37或37的倍数，但只能是37的2倍（想想为什么？ ）3倍就不是两位 数了.把九个三位数分解：111 =37父3、222 =37父6 =74父3、333 =37父9、 444 =37 父12 =74 父6 、555 =37 4 5 、666 =37 父18 = 74 父 9、777 =37 父21 、888 =37 X24 =74 X12、999 =37 父27.把两个因数相加，只有（74 +3）=77和（37 +18）=55的两位数字相同.所以满 足题意的答案是74和3,

35、 37和18.34 .被除数+除数+商+余数=被除数十除数+17+13=2113所以被除数十除数 =2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数二(2083-13) +(17+1)=115,所以被除数=2083-115=1968.35 .本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目.由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件.这样 题目就*$化为1998有多少个大于10的约数，1998 = 2父3%37 ,共有(1+1) X (3+1) x(1+1)=16个约数，其中1, 2, 3, 6, 9是比10小的约数，所以 符合题目

36、条件的自然数共有11个.36 .(法 1) 39 3 =36 , 147 3 =144 , (36,144) =12 , 12 的约数是 1,2,3,4,6,12 , 因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12 ;(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数 的差，也就是说它是任意两数差的公约数.51 39 =12 , 147 39 =108 ,(12,108)=12,所以这个数是 4,6,12.37 . (70 +110 +160)-50 =290, 50 +3 =162 ,除数应当是 290 的大于 17 小于 70的约数,只可能是29和58, 110得58=15

37、2, 52>50,所以除数不是58.70 +29 =212 , 110+29 =323 , 160 -29 =515 , 12 + 23 +15 =50 ,所以 除数是2938 .n 能整除 63 +91 +129 -25 = 258 .因为 25 + 3=81 ,所以 n 是 258 大于 8 的约数.显然，n不能大于63.符合条彳的只有43.39 .这个自然数去除 90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90 +164 =254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数 相同，因此这个自然数是254 -220 =34的约数，又大于10,这个自然数只能 是17

38、或者是34.如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、 16,不符合题目条件；如果这个数是 17,那么他去除90、164、220后所得 的余数分别是5、11、16,符合题目条件，所以这个自然数是 17.40 .根据题意，这三个数除以 a都有余数，则可以用带余除法的形式将它们 表示出来：603A =Ki ri 939-：- A =心 口 393, A = K3 值由于ri =22,2 =23 ,要消去余数r ,r2 ,3,我们只能先把余数处理成相同 的，再两数相减.这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4.于是我们可以得

39、到下面的式子：603一： A =Kiri 939 2，A=2K22r2 393 4-一 A = 2K34r3这样余数就处理成相同的.最后两两相减消去余数，意味着能被A整除.939 M2 -603 =1275 , 393 父4 -603 =969 , (1275,969 )=51 =3父17 .51的约数有1、3、17、51,其中1、3显然不满足，检验17和51可知17 满足，所以A等于17.41 .找规律.用7除2, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ,的余数分别是2, 4, 1, 2,4 , 1, 2, 4, 1, , 2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1; 2的个数 是3的倍

40、数多1时，用7除的余数为2; 2的个数是3的倍数多2时，用7 除的余数为4,因为2 2003 = 23履67;所以22003除以7余4.又两个数的积除以7 的余数，与两个数分别除以 7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所 以20032除以7余1.故22003与20032的和除以7的余数是4+1=5.42 . 23 =8除以 7 的余数为 1, 2008 =3X669 +1 ,所以 2 2008 = 23湖9+1 =(23)66隈2 , 其除以7的余数为：166隈2=2 ; 2008除以7的余数为6,则20082除以7的 余数等于62除以7的余数，为1；所以22008 +20082除以7的

41、余数为：2+1=3 .43 .由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以 5的余数之和再除以5 的余数.所以这串数除以5的余数分别为：1, 1, 2,3,0, 3,3,1, 4,0,4, 4,3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 0,可以发现这串余数中，每 20个数为一个循环，且一个循环中，每 5个数中 第五个数是5的倍数.由于2009 +5 = 4014,所以前2009个数中，有401个是5的倍数.44 .斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数 的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2

42、、1、0、1、1、2、0,第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于 2008除以8 的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数， 为0.45 .本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和.19共有9个数字，1099共有90个两位数，共有数字：90 X 2 = 180 （个）, 100999共900个三位数，共有数字：900 M 3= 2700 （个），所以数连续写， 不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数， （1997 -9 -180）+ 3=602.2,即

43、有602个三位数,第 603个三位数只写了它的 百位和十位.从100开始的第602个三位数是701,第603个三位数是9, 其中2未写出来.因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9 个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702-9 = 78 （组），依次 排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-2=7 .46 .本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来 构造出原三位数.因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法 的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8,所

44、以等式一边除以9的余 数为8,那么口 1031除以9的余数也必须为8, 口只能是3.将31031分解 质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即 31031 =31 1001 =143 217所以两个三位数是143和217,那么两个三位数的和是 36047 .由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与a、b、C、D除以9都同余，而2009除以9的余数为2,则 20092009除以9的余数与22009除以9的余数相同，而26 =64除以9的余数为1, 所以22009 =26咫"=(26；34父25除以9的余数为25除以9的余数，即为5.另

45、一方面，由于20092009 <100002009 =108036 ,所以20092009的位数不超过8036位， 那么它的各位数字之和不超过9 X8036 =72324 ,即A <72324 ;那么A的各位数字之和B <9M5=45, B的各位数字之和C <9X2=18, C小于18且除以9 的余数为5,那么C为5或14, C的各位数字之和为5,即D =5 .48 .完全平方数，其所有质因数必定成对出现.而72 =23 M32 =2父6父6 ,所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于 2 M31M31=1922<2008<2M32M32=2048 ,

46、所以 2父12、2M 22、,、2M312都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个.49 .设这个数减去63为 A2 , 减去100为 B2 , 则 22A -B =(A+B/AB )=100 63 =37 =37父1 ,可知A +B =37 , 且AB=1 ,所以A=19 , B=18 , 这样这个数为 182 +100 =424 .50 .假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、B2,那么这两个完全平方数的差为54 =(A +B JA-B ), 由于(A +B )和(A-B )的奇偶性质相同，所以 (A +B j A -B )不是4的倍数，就是奇数，不可能是像 54这样是偶数但不是4

47、的倍数.所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到 的.51 .考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题， 设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是 对称的.设中间数是 X,则它们的和为5x,中间三数的和为3x.5x是平方数，设 5x=52xa2,则x=5a2, 3x =15a2 =3黑502是立方数，所以a2至少含有3和5 的质因数各2个，即a2至少是225,中间的数至少是1125,那么这五个数中 最小数的最小值为1123.52 .设原来的两位数为0b,交换后的新的两位数为 后，根据题意，ab -ba =(10a +b) -(1

48、0b -a) =9(a -b) =45 , a -b =5 ,原两位数最大时，十位数 字至多为9,即a =9, b=4,原来的两位数中最大的是 94.53 .设原数为abcd ,则新数为dcba ,dcba -abcd =(1000d +100c+10b+a) (1000a+100b+10c+d) =999(d a)+90(c b)根据题意，有 999(d a)+90(c b) =8802 , 111M(da)+10 父(cb) =978 =888+90 .推知 d a =8 , c b =9 ,得至 lj d =9 , a =1 , c=9, b=0,原数为 1099.54 .设这六个不同的三位数为 abc, acb, baG bca,cab, cba ,因为 abc =100a+10b+c , acb =100a+10c+b , 它们的和是：222 M(a +b +c) =1554 ,所以a+b +c=1554 +222 =7 ,由于这