2020届高三一轮复习立体几何大题

1、1 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，ACB 90o, BAC 30o,BC 1, AA16,M 是棱 CC1 的中点 .（1） 求证：A1BAM ；（2） 求直线 AM 与平面AA1BB1 所成角的正弦值2 图，三棱柱ABC A1B1C1 中，侧棱AA1 平面 ABC， ABC为等腰直角三角形，BAC 90 ，且AB AA1,E,F 分别是CC1,BC 的中点（ 1 ）求证：B1F 平面 AEF ；（ 2）求锐二面角B1 AE F 的余弦值.3 四棱锥P-ABCD中，直角梯形ABCD中，ADCD，ABCD，APD=60°，PA=CD=2PD=2AB=2，且平面PDA平面ABC

2、D， E 为 PC的中点（）求证：PD平面ABCD；（）求直线PD与平面BDE所成角的大小34 如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ， PA 平面ABCD ， E,F 分别是 AB,PC 的1AB AD 1 21)求证：EF / /平面 PAD2)若PDA ，求直线AC 与平面PCD所成角的正弦值45 如图，在四棱柱ABCD- PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB/ DC，ABC 45o， DC 1 ，AB 2， PA 1 (1) 求 PD与 BC所成角的大小；(2) 求证：BC平面PAC；(3) 求二面角A- PC-D的大小6如图，在三棱柱ABC A1 B1C1中，

3、四边形AA1C1C 是边长为4的正方形，平面ABC 平面AA1C1C ，AB 3, BC 5AA1 平面 ABC ；C A1B1 C1 的大小；D 是线段 BC 的中点，请问在线段AB1上是否存在点E ，使得 DE 面AA1C1C ？若存在，请说明点E 的位置；若不存在，请说明理由 .7 如图： 在四棱锥P ABCD 中， 底面ABCD为菱形，DAB 60 ， PD 平面 ABCD ， PD AD 1 ，点 E, F 分别为AB和 PD 的中点.（）求证：直线AF 平面 PEC ;（）求PC与平面 PAB所成角的正弦值8 如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，ADE 90

4、 ， AF/ DE ， DE DA 2AF 2.（ ） 求证： AC/ 平面 BEF ；（ ） 求平面 BEF 与平面 ABCD 所成角的正切值9 直三棱柱ABC A1B1C1 中，AA1 AB AC 1 ， E ， F分别是 CC1 、 BC 的中点，AE A1B1 ， D 为棱A1B1 上的点.1）证明：DF AE ;2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC所成锐14D 的位置，若不存在，说明理由?若存在，说明点141(1) 因为C1C平面ABC， BC AC，所以以C为原点，射线CA,CB,CC1分别为x 轴， y 轴， z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,1,

5、0),A 1( 3 ,0,6 ),A(3 ,0,0),M(0,0,6)2所以 A 1BA1B(3,1,6),AM(3,0, 6),47AM n |6| AM | n |6 .所以 A 1B AM=3+0-3=0, 所以A 1B AM ，即A1B AM.(2) 由 (1) 知 AB =(- 3 ,1,0),A1A =(0,0,-6 ), 设面AA1B1B的法向量为n=(x,y,z), 则 3x y 0,16z 0.不妨取 n=(1,3 ,0), 设直线AM与平面AA1B1B所成角为 , 则 sin |cos<AM, n> | |所以直线AM与平面AA1B1B 所成角的正弦值为2(1)

6、连结 AF ， F 是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，AF BC .又 三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱，面 ABC 面 BB1C1C ，AF面 BB1C1C ，AFB1F .633设ABAA1 1 ，则B1F , EF, B1E.1222222B1F2 EF 2B1E2，B1. FE F 4 分又 AF EF F ，B1F平 面AEF .6 分( 2) 以 F 为坐标原点，FA, FB 分别为 x, y轴建立直角坐标系如图，设 AB AA1 1 ，2221则 F (0,0,0), A( ,0,0), B1(0,1), E(0, ) ，2222AE ( 222122, ) ， AB1

7、(,1) .221228 分B1F 平面 AEF ，2可取平面AEF 的法向量mFB1 (0,1) .2设平面B1 AE 的法向量为n (x, y,z) ，n AE 0, ,n AB1 022x222xyy12 z 0,2z022x2y z 0,2x2y 2z 0,可取 n (3, 1,2 2) .设锐二面角B1 AE F 的大小为，则10分|m|n|cos |cos m,n |02 (B1 AE F 的余弦值为0 32 ( 1) 1 2 22)2 1232 ( 1)2 (2 2)26.612分3 解： ( 1 ) Q PA 2, PD 1, PAD 60o,AD2 PA2 PD2 2PA P

8、D cos PAD 3，AD 3，PA2 AD2 PD2PD AD ，又 QPD 平面PDA，平面PDA IPD 平面 ABCD平面 ABCD AD ，平面 PDA 平面 ABCD ， L L 62) Q AD CD ， 以 DA, DC , DP 分别为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系D(0,0,0),P(0,0,1),E(0,1,21),B( 3,1,0)uuru1 uuurDE (0,1,2),DB( 3,1,0) ，设平面BDE 的一个法向1ry z0r量为 n (x, y, z) ，则2 ，令 x 1 ， n (1, 3,2 3)3x y 0uuur r 2 333142L L

9、 12cos DP,n，设直线PD 与平面 BDE 所成的角为， sin ， 直线 PD 与平面BDE 所成的角为60o.： ( 1 )证明：取PD 中点 M ，连结 AM , FM11MF /CD,MF CD， AE/ /CD, AE CD22MF /AE, MF AE四边形 AEFM 为平行四边形所以 AM /EF,AM 平面 PADEF /平面PAD2）连结AM ,CM ，由条件知AM PD ， CD 平面 PADCD AM , PD CD D所以 AM 平面 PCD ，ACM 就是直线AC 与平面 PCD 所成的角经计算得AM 2,CM 3, AC 5 sin ACM AM 10AC

10、55（）取的AB 中点H，连接DH，易证BH/CD，且BD=CD1 分所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC/DH所以PDH为 PD与 BC所成角2 分因为四边形，ABCD为直角梯形，且ABC=45o，所以DA AB又因为AB=2DC=，所以2AD=1，因为 Rt PAD、 Rt DAH、 Rt PAH都为等腰直角三角形，所以PD=DH=PH= 2 ，故PDH=60o 4 分II ）连接CH，则四边形ADCH为矩形， AH=DC 又 AB=2，BH=1在 Rt BHC中，ABC=45o ，CH=BH=，1 CB= 2AD=CH=，1 AC= 2AC2+BC2 =AB2 BC AC又 PA平面

11、 ABCD PA BC 7 分PA AC=A BC平面 PAC 8 分AD、 AB、 AP为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A（0， 0， 0）， P（0， 0， 1）， C（1， 1， 0）， D（1， 0， 0），AP=（0， 0， 1）， PC =（1 ， 1， -1）设 m=（a ， b， c） 为平面PAC的一个法向量，9分m PC 0c0abc0设 a 1 ，则 b 1 ，m=（1 ， -1 ， 0） 10 分同理设n=（x， y， z） 为平面PCD的一个法向量，求得n=（1 ， 1， 1） 11 分cos m, nmnmn11100122所以二面角

12、A-PC-D 为 60o12 分6（ ）因为四边形AA1 C1 C 是边长为4 的正方形，所以AA1 AC ，1 分ABC 平面AA1C1C 且平面ABC 平面AA1C1C AC ，2 分AA1 平面 ABC3 分A 为坐标原点，以AC, AB, AA1x, y, z轴建立空间直角坐标系如图所示：（图略）A,B,C,A1,B1,C1点坐标分别为：A(0,0,0) ； B(0,3,0) ； C(4,0,0) ； A1(0,0, 4)； B1(0,3, 4)； C1(4,0,4)5 分3D(2, ,0) 2CA1B1的法向量m (x', y', z')4x 4z 0m A1

13、C , 且 m A1B1 ，所以'6 分3y'0x' 1 ，所以 m (1,0,1)，又易知平面A1B1C1 的法向量为n (0,0,1)7 分2cos mn 2所以二面角C A1B1 C1 的大小为458 分|m|n|2E(x1, y1, z1) ；平面AA1C1C 的法向量u (x, y, z) x101E 在线段AB1上，所以假设AEAB1，所以y1 3 (01)z143E(0,3 ,4 )，所以 DE ( 2,33,4 )10分2AA1C1C 的法向量易知u (0,3,0) 1DE/ 面 AA1C1C ，所以DE u 0，所以11 分2E 是线段AB1的中点12

14、分P7 证明： （）取PC 上的中点H ，则 FH / AE,FH AEEBAF / EH , AF 面 PEC,EH 面 PECAF / 平面 PEC 5 分DE ，知 DE DC所以以 D 为坐标原点，分别以DE， DC,DP 为 x轴，y轴，z轴 建立坐标系 6 分3131P(0,0,1),A(2, 2,0),B(2 ,2,0),C(0,1,0)设平面 PAB 的法向量为n=( 1,x, y)n PA 0则有n PB 031xy02 2n=(1,0,3 1xy02223)10分则有 sin cosPCnPC n4212分14解：( ) 证明：方法一：设8AC I BD O，取BE中点G

15、，连结FG、 OG ，1则OGDE 且 OGDE， AF/ DE，DE2AF ，2AF OG 且 AF OG ，AFGO 是平行四边形，FG / AO .FG平面 BEF ，AO平面BEF，AO/平面BEF ，即AC/平面 BEF .方法二：ADE 90 ，DE ADABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，平面ABCD I 平面 ADEF AD ， DE 平面ADEF ， DE 平面 ABCD轴建立空以点 D 为坐标原点，DA、 DC、 DE 所在的直线为x 轴、 y 轴、 zr间直角坐标系，设平面BEF 的一个法向量为n ( x, y, z ) ，r uuruurn FE 0 FE ( 2, 0, 1) 2x z 0则 r uur，而 uur，n FB 0 FB (0, 2, 1) 2y z 0r令 x 1 ，则 y 1 ， z 2， n (1, 1, 2 ).uuur r uuru r uuur AC