函数单调性的判断或证明方法

1、函数单调性的判断或证明方法（1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是 取值，设汨eD ,且可之；作差， 求佃） ；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；定号，判断/（氏）-/（/）的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论;下结论，根据函数单调性的定义下结论。例1.判断函数网=ax工+ 1在（1, +8）上的单调性，并证明.解：设1X1X2,则 f（x i）f（x 2）=再+ 1 -通+1 白应（弓 + 1）- ax2 （x +1）厘（演专）=Si+D+D-.1 1X1X2,1. Xi X20, X2+ 10.当 a0 时，f（X 1） f（X 2）0

2、, 即 f（X 1）f（X 2）,，函数y = f（X）在（一1, 十 ）上单调递增.当 a0 , 即 f（X 1）f（X 2）,函数y = f（X）在（一1, 十 ）上单调递减.+ 0）例2.证明函数I在区间（-电一加和（亚+0）上是增函数；在一石,0犷口（0,而上为减函数。（增两端，减中间）证明:设。2近则用）-他）=吟-黄心-狈曦）因为画石 所以工1F 0,01 a , 所历W0/ M 11令 2,解得X的取值范围为（-电T；由于 （-电-1是内层函数-2的一个单调减区间，于（-电-1便是原函数的一个单调区间;根据复合函数“同增异减”的复合原则知,（-电-1是原函数的单调减区间。4y -

3、例5求函数 / X 2的单调区间.解原函数是由外层函数4y = -2笈和内层函数H二X 一工一2复合而成的;4易知 （电。）和都是外层函数H的单调减区间;d,解得X的取值范围为（T，2）结合二次函数的图象可知不是内层函数u二1,-X-2的一个单调区间，但可以把区间（一12）划分成内层函数的两个单调子区间（一中和gz,其中（一中是其单、由、中）、调减区间，2是其单调增区间;于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知,曰厚椅2是原函数的单调增区间,g，2）、上是原函数的单调减区间。同理，令/f - 20,可求得（一电7）是原函数的单调增区间，Q叫是原函数的单调减区间。综上可知，原函数的单调增区间是

4、电7和口单调减区间是曰）和亿域(5)含参数函数的单调性问题n 0力0已知函数/型当”8时，讨论函数/单调性。例.设工+ 1(先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.)解：由题意得原函数的定义域为(一且了二dx+i ax+a+b-ab-a工+1工+ 1工+ 1 ,口 8时，即3-&。时,/m0,试判断 了。)的单调性，并说明理由.解析:设小跖e R,且看I1，则 H o,故/8-工1) o. 工9 / (四)=(彳厂 X) 0 .故/在(3 , + 00)上为增函数.例2.设f(x)定义于实数集上，当 X:口时，/炽)1,且对于任意实数x、V,有小+#/力，求证：/在RLh为增函数。证明：在)=埴加)中取=A = ,得/=(0)若八0) = 0,令K0,尸=0 ,则八工)=0 ,与/:1矛盾所以/10-0,即有八)=1当工。时，八力10 .当犬 口/w=时，1而二所以0当犬=口时，/囚