因式分解掌握方法与技巧

1、因 式 分 解一、因式分解的技巧：1 .首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提 取公因式，再考虑其他方法。2 .当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。(1)当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式a2 b2= (a+ b) ( a b)。(2)当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。(3)当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。a.当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。b.当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。3 .以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆(

2、添)项后 再分解。二.因式分解的方法：(一)提公因式法方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因 式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例 1. 一下；，"' "7分析：此多项式各项都有公因式x,因此可提取公因式 X。(二)应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。例 2.产一一二：分析：此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。解：原式= (x + 2y) + N-y)他+ 2y)-gy)例3.一冶 1K， 一1一,丁 一分析：此

3、多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公 式分解。解：:一' 1 -''(三)分组分解法方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的 是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因 式的目的。下面介绍八种常见的思路：1 .按公因式分组：例 4. J，：二：! I分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第 1、2项有公因式m,第3、 4项有公因式p,可将它们分别分为一组。解：J 一 .： ：一2 .按系数特点分组：例 5.-二分析：观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1:2,所以可考虑将第一、二项和第三、四项

4、分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。解：- 13 .按字母次数特点分组：例 6.：小二' I'分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。解：匕 一4 .按公式特点分组：例 7. 一，HL，,t ；-，.二1 ；分析：此题可将第2、3、4项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上 运用平方差公式。解：J 一 , 二 -二5 .拆项分组：例 8. 一.，：'十 二；分析：为了便于运用乘法公式，可将-3拆成-4 + 1,再适当分组，达到因式分 解的目的。解 J一一.一'一'+：= (x-l)a -(y + 2)a=(K T) +

5、 (y + 2) (x -l)-(y + 2)'= fx-l + y + 2)x 1 y-2)二(x + y + l)x - y - 3)7 .换元分组：例9. -J： 一 二一：分析：观察代数式中的x+y , xy可考虑用换元法，使之结构简化，再分组解：设x + y =m, xy 二n ,则原式=(m-2Mm-2) + (口-1/-tn - 2mn - 2m + 4n + n - 2n + 1=fm2 - 2mli + n2) +(-2m + 2口) +1=(m - nj - 2(m - n) + 1=- n - I)2=(x +y - xy -= (xy-x) +(-y + l)2

6、= xy-l)-(y-l)a=(y 7(区=(厂1沁-1)”（四）待定系数法方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数, 求出字母系数，从而把多项式因式分解。例10. 卡因：.J-；：一】分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式解：二.一 ,二二(x i + ax + b)(区口 + ex + d=k* +(a+c)x5 +(ac + b + d)xa +(ad + bc)z+bd利用恒等式的性质可得:a + c = -1丁+d 丁解之得ad + bc = -6bd = -4 *a = 1b = 1c = -2d = -4 :,原式=(/ +x+ljir

7、 -2x-4（五）十字相乘法:ac方法介绍：对于 mx 2+px + q形式的多项式，如果 ab=m, cd=q + bd = p,则多项式可因式分解为：（ax + d） （bx + c）。例11.分解因丸7?-19x-6分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分解因式：7v21-3 解：原式二(7x + 2)(x-3)(六)巧用换元法：方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次， 化繁为简的目的。1.取相同部分换元例包. 一 一 ：- - 1分析：若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将 m2 5m看作一个整体，这样乘积得到的式子就

8、简化了。解：i：i.-：二 二- -T-"三、分解因式：1、X4 -2x3 -35x22、3x6 -3x23、25(x2y)24(2yx)24、x24xy1+4y25、x5 -x3,2,2,426、x 17、ax -bx bx+ax+b a8、x -18x +819、9x4 -36y210、(x+1)(x + 2)(x+3)(x+4)-24(1)(x + p)2 (x+ q)2;( 2)16(a b)2 9(a+ b)2 ;1. 2x2 -11x -21 = 2. 5x2 -7x - 6 =3. 15x2 x-2 =4. 6x2 - 25x 4 =5. x -4 x -5 -42 =

9、6. x -5 2 - 5 -x -42 =7. x2 -7x -30 =_2_ _2_ _2_ _ _2_ _8. 9x -30x 25 =9. 7x -19x-6 =10. -20x 9x 20 =11. 36x39x 9 =12.9x4-35x2 -4 =13. 9x4-37x2 +4 =14.7(x -1 )2+ 4(1 -x jy + 2)-20 y + 2)2=223._2. 2315. xy -2xy -3x - y - 2y -1 = 16. 20a bc - 9a b c - 20ab c =33.3 一 217. x 一2 x 一1)i：x 一2)i：x 一1 =18. a

10、 -4ab - a - 2b 二,2 22, 22219. 1 -a -b a b =20 x y-zy z-y =323.2.21. x - y)-4 x 7 a b =22. a b -ab -a1 =_33_222223. (x-1j(x+2)十(1x)(2+x)=24.x2y2 9x2 4y2+36 =2222225. a -2b -2a8b = 26. x - y 2yz- z =27. a4 -2a2b2 +b4 =28. (1-xyj -(x- y 2 =2.22229. a b c -2ab -2bc 2ac =30. 4 a b J -4a -4b 1 =222231. x

11、- y -2yz - z =32. a - ab - 2a b 1 = .22.2233. ab 2bc -ac -b -c =34. b - x a a 2b =22235. x 2xy -2x -2y 1 =36. xy -2xy - y x 2y -1 =一 222.2237. 4x y - a - b 4xy 2ab =38. x 14x 49 =22 239. 9x2 6x 1 =40. 9x2 -66x 121 ;2_2_241. -36x -1-12x=42. 9a - 24ab 16b =43. 25 x2 /xy 4 y2 =44. 9x2 -24xy2 16y4 =45. a4 +2a2b2 +b4 =46. (a + 2bf +10(a + 2b )+25 =47. 49(a-b 2-42(a-b X+9x2