相似三角形的判定+性质+经典例题分析98516

1、、比例性质相似形（一）板块一、课前回顾- 5 - / 111. 基本性质2. 反比性质：acad bc （两外项的积等于两内项积） bda cb d （ 把比的前项、后项交换 ）b da c3. 合比性质ba dc abb c dd （分子加（减）分母 , 分母不变）如果 a c e b(b d f n 0) ，那么 n谈重点 ：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法（2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立5. 黄金分割：1 内容 2 尺规作图作一条线段的

2、黄金分割点经典例题回顾：例题 1已知 a、b、c 是非零实数，且abc求 k 的值 .b c d a c d b a dabc例题 2已知 1 1 1 ，求 y x 的值。 x y x y x y板块二、新课讲解知识点一、相似形的概念 概念： 具有相同形状的图形叫 相似图形 谈重点：相似图形强调图形 形状相同 ，与它们的 位置、颜色、大小 无关相似图形不仅仅 指平面图形 ，也包括 立体图形相似 的情况 我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中 一个图形 可以看作是由 另一个图形放大或缩小 得到的 若两个图形 形状与大小都相同 ，这时是相似图形的一种特例 全等形 4. 等比性质：（ 分子分母分

3、别相加，比值不变 . ）知识点二、平行线分线段成比例定理 定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1l 2l 3。则 AB DE ， AB DE ， BC EF ，BC EF AC DF AC DF 推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边。4 推论： 如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边（或其延长线 ），那么所截得的三角形与原三角形相似推论4 的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DEBC， ABC ADE ；知识

4、点三、相似三角形的判定 判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似 符号语言： 拓展延伸： （ 1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 （2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。 例题精讲【重难点高效突破】例题 1如图，直线 DE分别与 ABC的边 AB、AC 的反向延长线相交于 AD AE出 吗？请说明理由。 （用两种方法说明）BD CED、 E，由 EDBC可以推C例题 2（射影定理） 已知：如图，在 ABC中， BAC=90°，ADBC于 D.2求证：（1） AB2 BD BC；（2） AD2 BD CD；（3） AC2 CD CB例题 3如图， AD 是 RtABC斜

5、边 BC上的高， 说你的理由 .DEDF，且 DE 和 DF分别交 AB、AC 于 E、F.则 AF BE 吗？说 AD BD例题 4如图，在平行四边形 ABCD中，已知过点 B 作 BECD于 E,连接 AE， F为 AE上一点，且 BFE=C1）求证： ABF EAD；2）若 AB=4， BAE=30°，求 AE 的长；3）在（ 1）（2）条件下，若 AD=3，求 BF的长。即时训练 】、选择题1如图， ABC经平移得到 DEF，AC、 DE交于点 G，则图中共有相似三角形（）A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对4、如图，直线 l 1 l 2，A.5 2 B.4 11

6、题图）1，则 AE EC是（AFFB=23，BCCD=2ABCD的边 BC的延长线上的一点，4 题图）5. 如图，E 是平行四边形连结 AE交 CD于 F，则图中共有相似三角形对 C.3 对 D.4A.1 对 B.2题图） （ 8 题图 ）2如图，已知 DEBC， EFAB，则下列比例式中错误的是（）A AD AE B CE EA C AB AC CF FBDE ADBC BDDEF CF .AB CB3. 在矩形 ABCD中， E、 F分别是 CD、BC上的点，若AEF=90°，则一定有（）A ADE AEF B. ECF AEF C. ADE ECF D. AEF ABFDE B

7、C等于（）6. ABC中， DE BC，且 ADDB=21，那么A.2 1 B.1 2 C.2 3 D.3 2ABC相似，7. 如图，P是 RtABC的斜边 BC上异于 B、C的一点，过点 P 做直线截 ABC，使截得的三角形与 满足这样条件的直线共有（ ） A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条8. 如图，已知 DE BC， EF AB，则下列比例式中错误的是（）A. AD AE B. CEEA C.DEAD D.EFCFAB AC CFFBBCBDABCB9. 下列说法：其中正确的是( )所有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都相似；所有等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相

8、似 .A. B. C. D. 、解答题1、如图， ABC中， BD是角平分线，过 D作DEAB交BC于点E，AB=5cm， BE=3cm，求 EC的长.- 7 - / 11AD的垂直平分线交 BC的延长线于点 E，交 AB与 F，试判定 BAE与2. 如图，在梯形 ABCD中， ADBC， BAD=90°，对角线 BDDC.(1) ABC与 DCB相似吗？请说明理由 .(2) 如果 AD=4， BC=9，求 BD的长 .3. 已知：如图，在正方形 ABCD中， P 是 BC上的点，且 BP=3PC， Q是 CD的中点 . ADQ与 QCP是否相似？为什么？4. 如图，已知 AD为 A

9、BC的角平分线， ACE是否相似，并说明理由。1 分钟可到达 B 点；动5. 如图，在矩形 ABCD中， AB=5cm，BC=10cm，动点 P在AB边上由 A向 B作匀速运动， 点 Q在 BC边上由 B 向 C作匀速运动， 1 分钟可到达 C点，若 P、Q 两点同时出发，问 经过多长时间，恰好有 PQBD？6. 已知：如图所示， D是AC上一点， BEAC，AE分别交 BD、BC于点 F、G， 1=2.则 BF是 FG、EF的比例BC、CD于点 E、 F.中项吗？请说明理由 .7. 如图， CD是 Rt ABC的斜边 AB上的高， BAC的平分线分别交AC?AE=AF?AB吗？说明理由AC于

10、 E、F.则 AAFD BBED吗？说说8. 如图， AD是 Rt ABC斜边 BC上的高， DEDF，且 DE和 DF分别交 AB、 你的理由 .相似形（二）板块二、新课讲解知识点 1相似三角形的判定判定定理 （2） ：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理 （3） ：三边对应成比例，两三角形相似知识点 2直角三角形相似的判定在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似母子形ADA 型， X 型交错型 旋转型例题精讲【重难点高效突破】例题 1如图在 4×4 的正方形方格中， ABC和 DEF的顶点都在长为 1的小正方形顶点上（1）填空： ABC=， BC=（

11、2）判定 ABC与 DEF是否相似？并说明理由。例题 2. 如图，在 ABC中，已知 BD、CE是 ABC的高，求证： ADE ABC。例题 3如图，已知 ABBD，CDBD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点 P在 BD上由 B 点向 D点移动，当 BP等于 多少时， ABP与 CPD相似？例题 4. 已知：如图，在 ABC中， C 90°， 于 E，点 E 不与点C 重合，若 AB10，AC8，P是 AB上一点，且点 P不与点 A重合，过点 P作 PE AB交 AC 设 AP x，四边形 PECB的周长为 y，求 y与 x 的函数关系式例题 5 在三角形 与 BE 相

12、交于点 N， 求证：（ 1） DECE CD （2） BCE ADM； （ 3）AM BE.ABC中， AB=AC， ADBC于点延长 AM交 BC于点 G， AD与 BE相交于点 F， AD ;D， DEAC于点 E，M为 DE的中点， AM随堂演练】A组1 下列命题中正确的是（ ）三边对应成比例的两个三角形相似 二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 一个角对应相等的两个等腰三角形相似 C 、 D 、CD与 BE相交于点 O，下列条件中不能使 ABE和ACD相似的是 （B. ADC= AEBD. AD AC=AEABA、B 、2如图，D、E 分

13、别是 AB、AC上两点，A. B=CC. BE=CD， AB=AC3如图，在正方形网格上有 6 个斜三角形： ABC，BCD，BDE，BFG，FGH，EFK.其中中，与三角形相似的是（ ）（A） （B） （C） （D） ABDE与 BC不平行，当 ABACABCD中， AB=10，AD=6，E 是 AD的中点，4如图，时， ABC与ADE相似。5如图，长是（平行四边形 ）A 5 B 8.2 CAB上取一点 F，使 CBF? CDE，则 BF 的3 题图）4 题图）6.4 D 1.85 题图）5如图，四边形 ABCD是平行四边形，AEBC于 E， AFCD于F.- 9 - / 11(1) ABE

14、与 ADF相似吗？说明理由 .(2) AEF与 ABC相似吗？说说你的理由6已知：如图，在正方形么？ABCD中， P是 BC上的点，且 BP=3PC，Q是 CD的中点 . ADQ与 QCP是否相似？为什7如图，在正方形 ABCD中， E为 AD的中点， EF EC交 AB于 F，连接 FC AB AE , AEF EFC吗若相似，请证明；若不相似，请说明理由。若ABCD为矩形呢？板块三、课后作业- 11 - / 111如图，正方形 ABCD中，点 E，F 分别为 AB，BC的中点，AOAF 与 DE相交于点 O，则 AO 等于(DOA25532如图，直线 EF交 AB、AC于点 求证： AE

15、CE=DE EF3已知：如图， 在梯形 ABCD中， 证： AB·CDBE· EC4如图所示， AB是O 的直径，D求证： AD· BCOB·BD5如图所示，在 O中， CD过圆心 O，且 CD AB于 D，弦 CF交AB于 E求证： CB2 CF· CE6已知 D是 BC边延长线上的一点， BC 3CD， DF交 AC边于 E点，且 AE2EC试求 AF与 FB的比7已知：如图，在 ABC中， BAC90°， AH BC于 H，以 AB和 AC为边在 RtABC外作等边 ABD 和 ACE，试判断 BDH与 AEH 是否相似，并说明

16、理由相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解知识要点：相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【重难点高效突破】例题 1.(1)两个相似三角形的面积比为 s1 :s2 ，与它们对应高之比 h1 :h2 之间的关系为 (2)如图，已知 DEBC，CD和 BE相交于 O，若 S ABC :S COB 9:16，则 AD:DB=(3) 如图，已知 ABCD,BO:OC=1:4,点 E、F 分别是 OC，OD的中点，则 EF:AB的值为(4)如图，已知 DE FG

17、 BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则 S ABC : S四边形DFGE : S四边形FBCG ( )A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D.1:8:36(5) 梯形 ABCD中， AD BC，( AD<BC)， AC、 BD交于点 O,若 S OAB 6 S ABCD , 则 AOD与25 BOC的周长之比为 。例题 2. 如图，在 ABC中， DEBC， 且 SADE : S四边形 BCED1: 2，BC 2 6。 求 DE 的长。例题 3. 如图所示，已知 DE BC，且与 ABC的边 CA、 BA的延长线分别相交于点 上，且 AF：FB=AG：GC，求证：

18、 AFG AED。例题 4. 如图，矩形 EFGH内接于 ABC， AD BC于点 D，交 EH于点 M，BC 20 ， AM8 ，2SABC100 2。求矩形 EFGH的面积。例题 5. ABC中， D为 AB上一点，若 ABC=ACD，AD=8，DB=6，求 AC的长。例题 6. 已知，如图 ABC中， BAC=900，AB=AC=1,D为 BC上一动点（不与 B,C 重合）， ADE=45°（1）求证 ABD DCE（2）设 BD=x,AE=y, 求 y 与 x 的函数关系式（ 3）若 ADE为等腰直角三角形时，求 AE 的长例题 7、如图,在等腰梯形 ABCD中,ADBC,A

19、D=3，BC=7，B=60°，P为下底 BC上一点（不与 B、C 重合）， 连结 AP,过 P点作 PE交 DC于E,使得 APE=B.（1）求证： ABP PCE；（ 2）求等腰梯形的腰 AB 的长；（3）在底边 BC上是否存在一点 P,使得 DE EC=5 3，如果存在 ,求出 BP的长,如果不存在 ,请说明理由 .随堂演练】1. 两个相似三角形的面积比为 4： 9，那么它们周长的比为 .2若 x：y：z=3：5：7，3x2y4z9则 xy z的值为.3. 如图， APD 90°， APPBBCCD，则下列结论成立的是()A . PABPCA B. PABPDAC . ABCDBAD