分类讨论思想在中学数学中的应用

1、湖北师范大学文理学院2018 届学士学位论文（设计）分类讨论思想在中学数学中的应用1、前言每一条数学的结论都有让能够它成立的条件，每种数学方法也同样有它的使用范围及其限制，在我们日常学习生活中所碰到的数学的问题之中，有部分的问题的结论并不是唯一确定的；有部分的问题，它的结论在解题过程中不能以统一的解题方法进行求解，还有部分的问题所给出的已知量是用字母的形式代替的，当其字母的取值的不同，最终也会导致问题的最后结论，所以，对于以上的几种问题类型，我们要采取化整为零的解题策略，将原问题分成多个小问题进行解决，这种解题方法策略就是分类讨论.分类讨论思想是指解决某个问题时，没有办法用同样的一种方法进行解

2、决，而需要一个标准将问题分成多个能用不同的方式进行解决的小问题，将分成的小问题进行解决，从而使原来的问题得以解决，这就是分类讨论的思想. 在碰到需要分类讨论的问题时， 要结合题意用能够实施的标准进行分类，然后在划分的每一个子类中逐步进行讨论y ax2 bx c是一次函数还是二次函数. 对于这一道题，它的分类讨论的标准就是a 0 或 a 0 . 这题的分类思路就是根据二次项系数与零的关系依据继而分类 . 在 a 0这一类里还可以再一次的进行分类，可以分为a 0和 a 0这两类，这两类的分类标准就是按照a的正负与其函数的图象的开口方向是上或下的关系.32、分类讨论的基本概念2.1 分类讨论的原则实

3、施分类讨论的因数有很多也都不相同，进行分类讨论也要遵循一些既定的原则.一般都有下面这几个原则：1 、 解题时必须要依据同一个 标准进行分类，不能 同时使用多个不同的分类标准来进行分类，不然就很容易会出现混乱、出现重复而且非常容易出错.2、在一个分类下的各个子分类不可以存在相同的部分，要做到每个子分类相互排斥，类似于每个子分类相互之间的交集为空集.3、分类之后进行检查时要注意前后是不是相呼应，分类的一些细节进行整合后要和原来的题目相称，类似于每个子分类的并集就是原来题目.2.2 分类讨论的基本步骤一般的我们对一道数学题进行分类讨论时，第一步是确定我们所要讨论的对象和对象的全体范围；第二步是确定分

4、类的表准，要合理的，正确的进行分类，也就是标准要求统一，分得的类别要求不能重叠，不能遗漏；第三步就是将分类对象进行逐步的分类讨论，要分级进行，得到每一类的小结果；第四步是将第三步的结果进行归纳总结，得出最终结论.例 1：函数y ax2 1 ， a 0 的图象和x轴有没有交点？解析：对于这一题这个函数与x轴有没有交点与二次项系数a的正负有关，即当a0 时，函数y 图象开口方向是向上的，与x轴没有交点；当a0 时，函数y 图象开口方向是向下的，与x轴有两个交点.综上所述，当 a 0时， y与 x轴没有交点；当 a 0时， y与 x轴有两个交点.总结 ：例 1 很明显要用分类讨论的方法来解题，所以做

5、这题时，要按照分类讨论的基本步骤来解答，先确定所要讨论的对象a ，再确定分类标准a的正负，然后逐步进行分类讨论，得出a 0时没有交点，a 0时有两个交点.湖北师范大学文理学院2018 届学士学位论文(设计)3、分类讨论在中学数学中的应用3.1 、分类讨论在数与代数中的应用3.1.1 、在含有绝对值或偶次方根的代数式中的应用在数学中因为绝对值运算和偶次方根运算的结果一定是非负的，所以在一些情况下我们要对绝对值里面和偶次方根里面的数或代数式进行分类讨论，例如下面的例2 和例3 两道例题.例 2：若a b b a, 且 a 4, b 3则 a b 2的值为多少？解析：因为a 4 , b 3；所以 a

6、 4, b 3 .由于 a b b a ，所以 b a 0 ，即 b a .故当 b 3时， a 4， a b 2 1；当 b 3时， a 4， a b 2 49.综上所述a b 2 1或 49.例 3：化简3mn 2 .解析：因为算术平方根开出的结果都是正数，所以要对3m n 进行讨论.原式3mn .当3mn 即mn 时，原式3m n .3当3mn 即mn 时，原式n 3m .3点评 ：绝对值概念和算术平方根概念是需要分类讨论的概念，通过分类讨论可以快速的、简洁的得到正确的、完整的的结果，若不进行分类讨论，就会很容易出现错误.1.1.2 、与函数及图象、最值有关的应用对于某些函数，例如：分段

7、函数，它在定义域内，对于自变量x不同，函数有着不同的对应关系，对于这种函数我们在进行研究时要对它进行分类讨论；还有对于只有函数解析式难以画出图象的函数，求它的最大( 小 ) 值时也要进行分类讨论.例 4：已知函数f x |x| 2x 1，2 x 2 .2(1) 用分段函数的形式表示函数f x .(2) 画出函数f x 的图象 .(3) 写出函数f x 的值域 .解析：因为函数f x 在其定义域的范围内，无法用同样的解析式表达，所以要对其进行分类讨论. 即7例5：点x, y 在曲线2xy 1上移动时，求x2 xy y2 的最大值和最小值.解析：当x 0,y 0时， x 21 y且 0 y 1 .

8、 所以22 x xy y252 37y 10y 4 7 y7753故当 y 0时有最大值4，当y 5 时有最小值3 .77x 0, y 0 时， x 2 y 1 ，且 0 y 1. 所以x2 xy y2 3y2 6y 4 3 y 1 2 1 .故当 y 0时有最大值4，当y 1时有最小值1.x 0,y 0时同 x 0,y 0时结果一样；当 x 0,y 0时同 x 0,y 0时结果一样；综上所述，x2 xy y2有最大值4，最小值73 .点评 ：分段函数是一个典型的分类讨论思想在函数中的应用示例，分段函数在定义域的范围内，对于自变量x的不同的取值，函数有着不同的对应关系，所以在解答分段函数类型的

9、题时，要合理的使用分类讨论思想；而对于一些难以画出函数图象的函数和概念函数，对于此类函数的最值问题也要进行合理的分类讨论.1.1.3 、在含有参数的不等式中的应用 对于一些含有参数的不等式，其最终结果会因参数的改变而产生变化，所以我们在研究这一类的题型时要应用分类讨论思想例 6：解关于x的不等式：mx2 m 1 x 1 0， (m R) .解析：当m 0 时，原不等式将变为1 0不符舍 .当 m 0时，原不等式为一元二次不等式，即m 1 2 4mm2 2m 1 m 1 2 0.所以当 m 0，0时 m 1；此时不等式无解；当 m 0，0时，0 m 1 时，不等式解为1 x 1 ；m1m 1 ，

10、0 时，不等式解为1 x 1 ；m当m0，0时m 1矛盾，舍.1当m0，0时，不等式解为1x或x 1 .m点评 ：此题因含有参数m ，使此题情况复杂多变，要多次运用分类讨论思想进行多级多次分类，若不按分类讨论的步骤逐步分类很容易造成错误、混乱.1.1.4 、在含参方程中的应用方程是数学的一个重要的组成部分，方程中含参方程是方程的重要部分. 含参方程和含参不等式一样，因含有参数，参数取值不同，最终结果也会不同. 所以对于研究含参方程，我们要合理使用分类讨论思想.例 7： 关于x的含参方程mx2 2 m 3 x m 2 0至少有一个整数解，且 m是整数，求解 m 的值 .解析：当m 0时，原方程变

11、为一元一次方程6x 2 0，湖北师范大学文理学院2018 届学士学位论文(设计)此方程解为x 1 非整数，3当 m 0时 , 方程是一元二次方程，因为它至少有一个整数根，表明了判别式4 m 3 4m m 2 4 9 4m 为 完全平方数，所以 9 4m是 完全平方数.2 m 3 2k 1 3 kx1、 2令 k2 9 4m，则k 为正奇数，因为m 0，所以 k 3；m43 k2.9 k22m所以x141，x24113k 23k要让x1 为 整数 ，而 k 为 正奇数 ，所以只能k 1 即 m 2 ；要让x2为整数，k可取 1、 5、 7，即m 2、 -4、 -10；综上所述，m 的值为2、 -

12、4 、 -10.点评 ：此题因二次项系数含有参数，故要先讨论二次项系数是否为零的情况，再讨论根是整数的情况.通过以上几种分类讨论思想在数与代数中的应用，我们可以看出分类讨论思想在中学数学代数方面运用很广. 在代数中，特别是含有参数的题型中，我们往往要使用分类讨论，还有像解一元二次方程实际上也运用了分类讨论思想. 接下来我将要讨论分类讨论思想在几何中的几种运用.3.2、 分类讨论在三角形中的应用3.2.1 、在等腰三角形中的应用对于等腰三角形的题目，无论是边还是顶角、底角，在其不确定的情况下都会对最终结论造成影响，因此要对其边或角进行分情况求解.例 8： 一个 等腰三角形的某一个外角100 ，

13、则这个 三角形的顶角和底角为多少度？解析：若此三角形 的顶角的外角是100 ，则 顶角 为 80 ，底角为50 .若此 三角形 的底角的外角是100o，则底角 为 80o，顶角为20 .例 9：若实数x, y满足 |x-5|y-7 0，则以 x,y的值为 等腰三角形的两边长，求等腰三角形的周长解析：由题可知可x 5, y 7；若以 x的值为底边，y的值为腰，则三角形的周长L 5 7 7 19 ；若以 x的值为腰，y的值为底边，则三角形的周长L 5 5 7 17 ；综上所述，此等腰三角形的周长为17 或 19.点评 ：例 (7) 是等腰三角形中的角不确定，所以要进行分类讨论，而例(8) 是因为在

14、等腰三角形中，底边和腰无法分辨时导致三角形无法确定，故要进行分类讨论. 由此可见，在等腰三角形中，边或角的不确定，就要对它进行分类讨论.3.2.2 、在直角三角形中的应用在直角三角形中，若题干没有给出哪个角是直角或哪个边是斜边，对于这一情况需要进行分类讨论.例 10：如下图，在Rt ABC 中 ACB 90 , B 30 , 边 BC 3. 点 D 是边 BC 上的一个动点(不和点B 与点 C 重合 )，过点D 作 DE BC 交 AB 于点 E ，将 B沿着直线DE 翻折， 点 B 落在射线BC 上的一点F 处 . 若 AEF 为直角三角形时，BD的长是多少？解析： 当 EFA 90 时；A

15、C BC tan30 3；FC AC tan30 1 .11故 BD DF BF BC FC 1.22当 EAF 90 时，点F 在 C的右侧；AC BCtan303；FC AC tan30 1 .11故 BD DF BF BC FC 2 .22综上所述，BD 的长为 1 或 2.点评 ：在直角三角形中直角的不确定会影响解直角三角形的结果，对于这种情况就要用到分类讨论思想.分类别讨论直角的可能性，这样解题会得出完整的、正确的答案，否则结果很容易出现遗漏.3.2.3 、与相似三角形有关的应用 对于两个三角形相似，因图形的不确定因素，就要对其进行分类讨论例 11： 如下图， 在 Rt ABC 中，

16、 C 90 , BC 6cm， AC 8cm， 现有一 动点 P 从点 A开始向点C 运动，它的运动速度是2cm/s，有一动点Q由点C出发向点B运动，它1cm/s，连PQ，经过多长时间PCQ和ACB相似？解析：设经过t 秒的时间两三角形相似.由题意可知CQ=t ， AP=2t， PC=8-2t.当CPQ= A时，CPQCAB；可得CQ CPCB CAt 8 2t12即；解得 t .685当 CPQ A，CPQCBA；CQ CPt 8 2t32可得, 即；解得 t .CA CB86111232综上所述，经过12 s或 32s后PCQ与ACB相似.511点评：此题就是因为图形的不确定而引起结果变化

17、，对此就要运用分类讨论思想， 进行分级分类，逐步讨论分类讨论在几何中的应用不仅仅只有三角形还有其他的图形，本文在此就不作一一阐述. 一般的，在几何中，若几何图形不确 定时，应合理应用分类讨论思想3.3、 因公式适用条件而导致分类讨论数学上的每个数学公式定理都有它的适用条件，这就要求我们进行解题时要弄清题中条件，要根据条件来进行分类.例12：设an 全部 是由正数组成的 等比数列，前 n 项和是Sn ，证明：lgSn lgSn 2 lgSn1；是否存在常数c 0，使得 lg Sn c lg Sn 2 c lg Sn 1 c 成立？13湖北师范大学文理学院2018 届学士学位论文（设计）解析：设a

18、n 的公比是q ，则a10,q 0；q 1时 ， Sn na1，则SnSn 2 Sn 1 na1 n 2 a1 n 1 a1a1 0 ；故 SnSn2 Sn21，则lgSn lgSn2 2lgSn1，即原式成立.q 1 时，Sna1 1 qn ，则1qSn Sn 2Sn 1a12 1 qn 1 qn 2a12 1 qn 1 21 q21q2na1 q0 .19故Sn Sn 2Sn2 1 ，则原式成立.综上所述，lgSnlgSn 2lgSn1 恒成立 .2n假若lg Snc lg Sn 2 clg Sn 1 c成立，则必有Sn c Sn 2 cSn 1 c 2 成立，所以我们只用证明后者成立即可

19、.q 1 时，Sn na1，则SncSn 2cSn 1cna1c n 2a1c n 1a1ca120 .Sn c Sn 2 cSn 1 c 2，原式不成立.q 1 时，Sna1 1 qn ，则1qSnc Sn 2 cSn 1c 2a1 1 qn ca1 1 qn 21q1qca1 111qn12q ca1q a1 c 1 q .a1qn0 ，故a1 c 1 q 0，即 ca1 ；则1qnSn c Sn 1a1q1a1qq 0；所以对数式无意义，故原式无意义综上所述，不存在常数c使 lg Sn c lg Sn 2 c lg Sn 1 c 成立 .点评 ：对于等比数列，公比是1 和公比不是1 会影

20、响等比求和的通项公式的假设，所以此题要根据它的公比为不为1 来进行分类讨论.4、分类讨论思想结合其他数学方法的应用数学中解题方法策略有很多种，解题时往往不只使用一种方法策略，而经常将几种或多种方法结合起来，分类讨论也是如此.4.1 、分类讨论思想与数学归纳法的结合应用在数学研究中分类讨论思想常常与数学归纳法结合起来运用，把问题分类别使用归纳法 .例 13：已知 x10，x11 ，且 xn 1xn x2n23n N ，试证：数列xn 或者对任意n3xn21n的正整数n 都满足xn xn 1 ，或者对任意的正整数n 都满足 xn xn 1 .解析：先作差xn xn2 3xn 1 xn2xn3xn

21、12xn 1 xn22xn 1 xn 1 xn3xn2 13xn2 1.由题设可知xn 0 n N ，所以xn 1 xn 与 1 xn 的符号相同.故要分 0 x1 1 及 x1 1 两种情形讨论.(1) 若 0 x1 1 时，可用数学归纳法证明1 xn 0.n 1 时，显然成立. 假设 n k 时，有 1 xk 0 ，则1xk 11xk xk2 33xk2 11 xk 33xk2 10，所以对n N ， 1 xn0，由 式可知xn 1xn.(2) 若x1 1 ，同 (1) 类似可证xn 1xn .点评 ：这题因为要比较xn和1 的大小关系，所以使用数学归纳法时要分0 x1 1和x11两种情况

22、进行归纳.4.2 、分类讨论思想与赋值法的结合应用例 14: 使用 n 个数（允许重复）组成一个长为N 的数列；且N2n . 求证：可在这个数列中找出若干个连续的项，它们的乘积是一个完全平方数.解 析 ： 设 n 个 数a1,a2,a3, ,an 组 成 的 长 为 N 的 数 列 为b1,b2,bn . 这 里bia1,a2, ,an ， i 1,2, ,N .建立映射Bb1,b2,bNv1,v2, ,vn .其中vjc1,c2,cn . 对于每个j 1 j n ，我们赋值0, 若 ai在 b1,b2, ,bj中出现偶数次,ci1, 若 ai在 b1,b2, , b j中出现奇数次.如果有某

23、个vj0,0, ,0 ，那么，在积b1,b2,bj中，每个ai 都出现偶数次，所以积为完全平方数.如果每个vi0,0, ,0 ，那么，由于c1,c2, ,cn ci0或 1,i 1,2, ,n ，这个集合恰有2n 1 个元素，由题设N 2n 2n 1 ，所以必有h 和 k 1 k h N 满足vh vk . 这时，在乘积b1,b2, ,bk和 b1,b2, ,bh中每个ai出现的次数具有相同的奇偶性，从而它们的商，即乘积ak1ak2ah中每个ai出现偶数次. 即ak1ak 2ah为完全平方数.5、分类讨论思想的延展分类讨论是一种很重要的解题的方法策略 ， 但是分类讨论和其他的数学解题方法一样也

24、不是万能的，在准备使用分类讨论思想解决一些问题时，不要盲目的进行分类讨论，要充分把题中潜在的简单性及特殊性挖掘出来，能避免分类讨论，或者简化分类讨论过湖北师范大学文理学院2018 届学士学位论文（设计）程 . 接下来本文对于避免或简化分类讨论的几种方法进行简单的举例说明5.1 、绝对值平方法代数式中出现参数以及实数绝对值等概念，使得引起分类讨论，若采取合理方法，此类也可避免或简化分类讨论.例15：若x 0，1 ， a 0且 a 1，比较| loga 1 x |与 | loga 1-x |的大小 .解析：因在实数集中，| k |2 k2 .故可比较| loga 1 x | 和 | loga 1

25、x |2的大小，即|loga 1 x |2 |loga 1 x |2log2a 1 x log2a 1 x0 x 1,21lga1lg 1 x lg 1 x lg 1 x lg 1 x lga0 ，故 0 x2 1 , 即 1 1x20 lg 1x20 ，又由于1 x0 01x11x 1x1101 lg 0.11x21 1x 1x21x1x 1x故 lg 1 x2 lg 1 x 0，即 1x|loga 1 x |2 |loga 1 x |2 0 |loga 1 x |2 |loga 1 x |2.故 |loga 1 x | |loga 1 x |；点评 ：此题若进行分类讨论会很复杂，而将绝对值

26、进行平方，就能将解绝对值问题转换成平方问题，从而避免或简化分类讨论，使题目变得简单.5.2、 分离变量法在含参方程中的一些题目，如果把方程转化成函数 ， 进行变量分离，也可以避免分类讨论 .例16：一个未知数是x的方程 x2 a 2 x 4 0在 0 x 1 内有解，求出m 的取值 范围 .解析：因m 2 x x2 4 ；故 m x 4 2,x 0,1 .x4令 f x x2；x则原来的问题就变成了求f x 的值域；44因为 x 4 4 ，等号当且仅当x 4 时成立，即x 2 ,xx4又因为 x 在定义域内是减函数，x所以 x 4 1 4 5 . x1所以函数f x 的值域为7, ；即 m 7

27、 .点评 ：此题若用分类讨论进行解题，一般的做法是先设出两根，在根据两根在数轴上的位置进行分类，而将方程转化成函数，进行分离变量，就可以避免分类讨论，使解题更简便 .5.3、 换元法对于一些含参方程或函数中，使用换元法能够避免进行分类讨论，从而使解题变得简便 .例17：已知f x log2 x 1 g x2log2 2x n . 假设 x 0,1 ，恒有 f x g x ，问实数 n 的取值范围.解析：因f x g x 在 x 0,1 恒成立；所以 2log2 2x n log2x 1 成立 2x nx1 成立，即n 2x x 1 成立故可令 m 2x x 1 ，则m2 x 12x12而 x 0,1 x 1 1, 2 ， 11，,2 ；4所以 m 的最大值是1，即 n 1 时， f x g x 恒成立 .点评 ：此题若用分类讨论思想会比较复杂，而使用换元法能避免分类讨论，使解答变得简单容易.6、总结本文通过探讨分类讨论思想在数与代数、几何等方面的应用，更深入的体现了分类讨论思想的要求、标准以及分类讨论的步骤和方法，注意合理的分类，对全体对象的分类一定要不重不漏，每进行