高二数学点到直线的距离公式

1、课题：7.3两条直线的位置关系(四)一点到直线的距离公式教学目的：1 .理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2 .会用点到直线距离公式求解两平行线距离3 .认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题 -教学重点：点到直线的距离公式教学难点：点到直线距离公式的理解与应用 .授课类型：新授课-课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直 线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的 思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离.在引入本节的研

2、究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直 线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一 种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问 题的能力.在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解 教学过程：一、复习引入：1 .特殊情况下的两直线平行与垂直.当两条直线中有一条直线没有斜率时：当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90。，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为 。时，一条直线的倾斜角为 90。，另一条直线的倾斜 角为0° ,两直线互相垂直-2 .斜率存在时两直线

3、的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即 l1l2= ki=k2且bi #b2已知直线11、l2的方程为11： Ax + B1y+C1=0,ll / 12的充要条件是AiBiCiA2B2两条直线垂直的情形： 如果两条直线的斜率分别是 k1和k2 ,则这两条直线垂直的充要条件是k1k 2= -1.已知直线11和|2的一般式方程为11： Ax + B1y+C1=0,I2 ： A2X+B?y+C2 =0 ,则 li _L 12 y A1A2 +B1B2 = 0.3 .直线li到12的角的定义及公式：直线ll按逆时针方向旋转到与1

4、2重合时所转的角，叫做li到12的角.li到3Tl2 的角。：0° V 9 < i 8 0° ,如果 i +kik2 =0,即 kik2 = i,贝U日=.如果2一一 一匕 一 ki + k1k2 # 0, tan 日=i k2kl4 .直线li与l2的夹角定义及公式：l1到l2的角是», l2到L的角是兀-3，当l1与l2相交但不垂直时，3和兀-01仅有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线li，l 23T时，直线l1与l2的夹角是二.夹角豆：0 ° vaw90° .如果2一-一 k 一G 一 k1 +k1k2 =0,即

5、k1k2 = -1,则 a =一.如果 1 十k1k2 # 0, tan« .21+k2kl5 .两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组:Ax + B1y +C1 =0 一1是否有惟一解A2x +B2y +C2 =0、讲解新课：1 点到直线距离公式:点P(x。, y。)到直线l : Ax + By + C = 0的距离为：d =|Axo + By。+ CA B2(1)提出问题在平面直角坐标系中， 如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是l : Ax + By +C = 0,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？(2)解

6、决方案方案一：根据定义，点 P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长 设点P到直线l的垂线段为 PQ垂足为Q,由PQ，l可知，直线PQ的斜率为-(Aw0),根据点斜式 A写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点 Q的 坐标；由此根据两点距离公式求出I PQI ,得到点 P 到直线l的距离为d.此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别 一种方法-方案二：设 院0, Bw0,这时l与x轴、y轴都相交，过点 P作x轴的平行线，交l于点R(xi，y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2),。°Ax0 +By2 +C =0-By 0 - C- Ax0 - C;, y2 二-所

7、以，| PR | = I x0 x1Ax0By0 +CAI PS| = | y0 -y2 I =Ax0 + By0 + CBI RS| =2_ 2PR PS_a2_b2|abAx0 + By0 + C I由三角形面AB积公式可知：d - | RS| = | PR | | PS| -所以d =Ax0 +By0 +C|, A2 B2可证明，当 A= 0或8=。时，以上公式仍适用2.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线11和12的一般式方程为11 ： Ax + By + C1 = 0 ,C1 C212: Ax +By+C2 =0,则 11 与 12的距离为 d = 1.A2 B2证明：设P0(Xo

8、，yo)是直线Ax + By+C2 =0上任一点，则点 R到直线|AXo +By° +C1Ax + By +C1 = 0的距离为d = J-f-a A2 B2又 Ax0 By。 C2 =0C1 -C2即 Ax0 +By0 - -C2 , d= ,1 22,A2 B2三、讲解范例：例1求点F0(-1,2)到下列直线的距离.(1) 2x + y -10 =0; (2) 3x = 2 -. 22M(1) + 210l解：(1)根据点到直线的距离公式得d=( ) 人=2年221225(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d =|2(-1)|=2 - 33评述：此例题(1)直接应用了点到直线的

9、距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式例 2 求两平行线 11 ： 2x+3y8 = 0, 12： 2x+3y 10=0 的距离.解法一：在直线11上取一点R4, 0),因为11 / 12,所以点P到12的距离等于11与12的距离. 于是2 4-3 0 10. 22 32解法二：11 / 12又 C1 = -8,C2 = -10.由两平行线间的距离公式得-8-(-10)2 3,223213四、课堂练习：课本P53练习1 .求原点到下列直线的距离：(1)3 x + 2 y 26=0; (2) x= y解：(1) d =-261c 777；八、,=2J13.

10、(2) ,一原点在直线 y = x上，d= 0,322 22 .求下列点到直线的距离:(1)A( 2, 3), 3x + 4 y + 3= 0; (2)B (1, 0), J3x+ y J3 = 0；3 3) C (1, 2), 4 x + 3y = 0.解:3M(-2)+4父3+39J3-V3=Q,；=；(2) d 二 ,32425( 3)2 14 13 (-2)2423254 .求下列两条平行线的距离：(1)2 x + 3y-8 = 0, 2x + 3y+18=0,(2)3 x + 4 y = 10, 3x + 4 y = 0.解：(1)在直线2x + 3y-8 = 0上取一点P( 4 ,

11、 0),则点P到直线2 x +_ 口-2M 4+18 r-3 y + 1 8的距离就是两平行线的距离，d= 一=203 -.2232(2)在直线3x + 4 y=0上取一点 O (0, 0),则点O到直线3x + 4 y =一 1010的距离就是两平行线的距离，d =2-3242五、小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式-六、课后作业：课本P53习题7.313.求点R5, 7)到直线12x+5y 3=0的距离.解:12 父(-5) +57-328,122521314.已知点值：(1) d=4,A( a , 6)到直线3 x 4 y = 2的距离d取下列各值，求 a的(2) d>4 -解：3a -4x6-2,32 (乂)246=4 ,斛得a = 2或a =33a 4 6-2(3) d =,32(-4)246> 4 ,解得a v 2或a >3(15) 知两条平行线直线li和12的一般式方程为li ： Ax + By + Ci = 0 ,l2： Ax+By+C2 =0,则 l1 与 12的距离为 =Ci - C2证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+ By+C2 =0上任一点，则点 R到直线Ax + By +Ci =0的距离为d =Ax。 By。Ci又 Ax0 B