12-13学年高一数学 2.3.3 直线与平面垂直的性质2课件 新人教A版

1、23.3直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质 要点一证明直线与直线平行 性质定理可用来判定两直线是否平行，定理揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间的转化 例1 如右图所示，已知异面直线a、b与AB垂直相交于A、B，且a、b分别垂直于平面、，c，求证：ABc. 【分析】由题目可获取以下主要信息： ABa，ABb，a、b异面； a，b. 解答本题可先利用线面的性质得线线，再证平行 【证明】过点B引直线aa，a与b确定的平面设为，因为ABb，aa，ABa，所以ABa， 又abB，所以AB. 因为b，c，所以bc 因为a，c，所以ac，又aa，所以ac 由可得c，又AB，所以ABc. 【

2、规律方法】判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特征几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系 变式1如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交求证：EFBD1. 证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD， DD1平面ABCD，AC平面ABCD， DD1AC. 又ACBD，DD1BDD， AC平面BDD1， 又BD1平面BDD1，ACBD1. 同理可证BD1B1C，又ACB1CC， BD1平面AB1C. EFAC，EFA1D，又A1DB1C. EFB1C. 又ACB1CC，EF平面AB1C， EFBD1.

3、 要点二证明直线与直线垂直 要证线线垂直，只需证线面垂直，只需考虑应用线面垂直的定义或判定进行证明，从而得出所需结论即： 因此在解题时应充分体会线面位置关系的相互转化在解题过程中的灵活应用 例2 空间四面体ABCD中，若ABCD，ADBC，求证：ACBD. 【分析】作AO平面BCD，将线线垂直转化为线面垂直来证明 【证明】如图，作AO平面BCD于O，O为垂足 AO平面BCD，AOCD. 又ABCD且ABAOA， CD平面ABO， BOCD.同理得BCDO. BOCD，DOBC，O为ABC的垂心， COBD，又AO平面BCD， AOBD.又AOCOO， BD平面ACO，BDAC. 【规律方法】欲

4、证线线垂直，先证线面垂直，进而由线面垂直的性质得出线线垂直 变式2如右图，PA平面ABC，ABC是以角C为直角的三角形，现在过P点作平面PBC的垂线应如何作？ 解：PA平面ABC，PABC. 又BCAC，PAACA，BC平面PAC.过A作AEPC，则BCAE，而PCBCC，AE平面PBC. 在平面PAC中，过P作PQAE，则PQ平面PBC. 要点三线面垂直性质的综合应用 直线与平面垂直实质上取决于线与线的垂直，反过来，线面的垂直又得到线线的垂直，这是线面垂直的实质 垂直于同一平面的两条直线平行，它与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”相互结合，在证明线面垂直的问题

5、中发挥着重要作用 例3 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC. 求证：(1)MNAD1； (2)M是AB的中点 【分析】要证明线线平行， 要先证线面垂直， 即证AD1平面A1DC. 【证明】(1)四边形ADD1A1为正方形， AD1A1D. 又CD平面ADD1A1，CDAD1. A1DCDD，AD1平面A1DC. 又MN平面A1DC，MNAD1. 【规律方法】若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质 变式3如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的中点，D是VA上的点，若DE平面VBC，试确定D点的位置 解：VC平面ABC，AC平面ABC， VCAC，又AB是圆O的