02-3数列极限存在的条件

1、§3数列极限存在的条件主要内容：单调有界定理柯西准则要求：掌握单调有界定理证明和计算极限的方法技巧。难点：运用柯西准则证明极限存在或不存在方法的掌握单调有界定理：任何单调有界数列都有极限。例1设an=1+二十|+二，a芝2,证明该数列收敛。2-n-例2证明数列.2,22,，2,2"，心2收敛，并求其极限。clf,n=20;a(1)=sqrt(2);plot(0;n,2;2),holdonfori=1:n;a(i+1)=sqrt(2+a(i);plot(i,a(i),'r.'),holdonendaxis(1,n,1,2.2)2.21.81.61.41.281

2、01214161820数列的单调递增是显然的，有界很容易用归纳法证明，而且an*=£2+an利用单调有界定理，设其极限为A,则有A=.,2A,A=21n.,例3证明lim(1+)存在。(c16,n=).：n先看一下数列的变化的图像，该数列单调有界(小于3),所以极限存在，且由图象1n看出：随着n的增大，an=(1+)n逐渐接近一个2.718、的无理数enclf，n=50;x=1:n;f(x)=(1+1./x).Ax;plot(0;n，2.718;2.718)，holdonplot(x，f(x)，'r.')2.82.72.62.52.42.32.22.125101520

3、2530354045501c!%!+)存在的证明Cauchy(17891857)最先给出这一极限，这个极限的证明方法很多。下面给出一个较简单的证法证法先证明：对寸0<a<b和正整数n,有不等式事实上,b-a：(n1)bn.n'An：；1nnAn_1nb-a_(ba)(b+ba+ba+ab-ab-a=bnbn%-banJ<(n1)bn.该不等式又可变形为0菱a<b,n为正整数）1b=1十一，则有n0主acb,就有bn(n,1)a-nbL：an1,(，一1在此不等式中，取a=1十,n-1n1Xn单调增，1_a=1,b=1+,又有2n2n对Vn成立,1土<&qu

4、ot;.2nJX2n2n1,<4.2n；又由X2na<X2n,nXn<4.有界1c由单调有界定理1型1十一）n存在。用e来表示这个极限。Cauchy收敛准则：数列an收敛uVs>0,三N,Wm,naN,n|aman|<由，uWe>0,三N,UnaN,Vp在N,nan4pan<$例4证明：任一无限十进小数a=0.bb2bn(0<1)的不足近似值所组成的数列bin.b2.b1b2.bn.,2,2n,101010101010收敛.其中bji=1,2，9）是0,1，9中的数.1八1""3n1，：.n证/尽b1*b2+.bn口3an=+

5、c,有101010bn+】bn虫】9<1工1)a-a1+an-4pan10"10世10*10n*1010P_I)数列极限习题课按&-N定义证明数列极限p27,2按6N定义证明：3)lim四=05)lim二=0,a>1n_.gnnI®回忆证明1）liman=An_:的；-N叙述2证明liman=A的一般步骤n证明：1）n!12n1r-0I=nnnnna1h三h0使a=1+h2(n-1)h2nnnnan一(1h)n一1nhC：h:.(-2/3)n1=limnV2/3)n133hn'C；h2V®>0,解不等式c(n-1)h2F22得n+

6、1,取N=r+1hhp331求下列极限(-2)n3n（3）!枭（_2尸+3n*p342设liman=an>,limbn=b且a<b则存在N,naN时，an<bnni:证明由liman=an.Ni(a+b)/2naN1时an<2:b由limbn=bnN2,naNni：:4(4)11-n、1解li_mJ1-一)=1保号性n3N,n>N时,1一-：(1-一)：1=n1/2：n1-1/n:：:1n两边夹原则lim；：11=1n广n111,(5)hm-y2n：n(n1)(2n)融-111n1八解02.2220n2(n1)2(2n)2n2证明以下数列发散6(2)n()n(3)

7、cos4回忆收敛数列的性质：有界性n若数列无界，则数列发散(2)对于任意MA0取n=2(M+1),贝Un3=2M+1aMn数列n()n无界，所以数列n(n发散回忆归结原则n(3)取数列nQ=8k，则limcos=cos2k=1k)二4n:二一取nQ=8k+2，贝Ucos-=cos(2W+)=042112n112p391(5)明1孕)=km(1了=kmn(1一)=kme=1单调有界定理证明数列收敛3(2)插，侦c+展，Jc+Jc十二+展，n数列单调递增a1=廿c<Jc+1设n=k时，ak<据+1kn=k1时an1=.anc：:：=(c)22.c1-c：.(c1)2=c1cn1c(3)

8、nac时an=an<ann0<an4单调有界定理，极限存(n1)!n1在cc一liman1=limanA=Alim=05nijn1an1=(1工广1=(1工)n2/(1工)(1【)n1/(1工)n2n2n2n1n2=(1)n(1111c)/(1E)(1")n=an6不妨设（an单调递增，limank=A。只需证明an有界。反证法。假设an无界。则对任意M>0存在n,a>M，因nk)二=nkn=ankanM=ank无界，与limank=A矛盾。k）二a«7由保号性mN,nN时，旦1+han1an+<annnN时，数列an1h1递减，有界，lima

9、”=A存在，再由a”*<a”kF：1h110三AA=(1)A£0=A=01h1h1+h8an有界=存在上确界，记为A由确界定义，对任意&0,manAe，取N=n,nN时,A8<anA<A+8即|anA|<&118取a=1+一，b=1+nn1(11广-(1)n1(n1)(1)n-=(1喜nn1n1n(n1)n1n2(11)n1(1L)n1】=(1)nn3n1nn1n1nn1n(n1)注息2_,.、2,2_，.、2n3n1(n2)(n1)(n3n1)-n(n2)_=2n(n1)(n1)n(n1)32一32n4n4n.1-(n4n4n)八20n(n1

10、)an=(11广1n(1U=d广2n1n1n1=an1递减1、n1、n11、2(1)：(1)=anma=(1；)=4nn11c10因为由p37例4的证明，(1+)n递增，且e<3n|e(1*n|=e-(11)n，：(1【广1-(1】)nnnnn1n1=(1)ne/n：3/nnn第二章数列极限总练习1(1)limMn3+3n=lim3骸1+n3/3nn)二n)：:3333nnnn=%s0n_n_2_2_3_3_4_4_n_4_43nnn(12)12nCn2Cn2Cn22Cn2=3limnT二/、12(3)limnPn!不等式：1i<(n1)时(ni+1)i芝n证明n(ni1)i=i2(n1)in=i(i_n)_(i_n)=(i_n)(i-1)由图，1<i<(n_1)时(ni十1)i芝n利用这个不等式(nn!)2=n.(12n)2=n(1、)2萨1广(1)nnn=n1lim0n''nn!3limann_):=a则数列（an的前n项算术平均值构成的数列和几何平均值构成的数列极限都是a4(2)ya=Va1"1由3题lim=1n:(3)"n=寸234,123n-1由3题limnn=lim=1nF：n十一1(4)1nn!L1.123n.1.13题lim=lim=