03第三节分部积分法

1、第三节分部积分法分布图示分部积分公式几点说明例1例2、例3例4例5例6、例7例8例9例10、例11例12例13例14、例15例16例17例18分部积分的列表法例19例20、丸例21例22内容小结课堂练习习题4-3内容要点分部积分公式：udv=uv-vdu(3.1)uvdx=uv-uvdx(3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算.一般地，下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m,n都是正整数).xnsinmxnx.esinmxmxnxarcsinmxxncosmxnxecosmxxn(lnx)nxarccosmxxnarctanm.例题选讲例1(E01)求不定积分

2、xcosxdx.解一令u=cosx,xdx=dI)=dv,22sinxdx,2'22xcosxdx=cosxdxx!=cosx2显然，u,¥'选择不当，积分更难进行.解二令u=x,cosxdx=dsinx=dv,xcosxdx=xdsinx=xsinx-sinxdx=xsinxcosxC.例2(E02)求不定积分fx2exdx.解u=x2,exdx=dex=dvf2V9V9YV9VV9Y¥¥_xxjxxxxjxxxxedx=xde=xe-2xedx=xe-2xde=xe-2（xe-e）C.注：若被积函数是藉函数（指数为正整数）与指数函数或正（余）弦

3、函数的乘积，可设备函数为u,而将其余部分凑微分进入微分号,使得应用分部积分公式后，藉函数的藉次降低一次.例3(E03)求不定积分(xarctanxdx.解令u=arctanx,xdx=d=dv,2xarctanxdx=arctanxd'x2)x2!=arctanx-<2J22xd(arctanx)=22xarctanx22dx1x2x21arctanx-一12211x22x=arctanx21(x-arctanx)C.例4(E04)求不定积分(x3lnxdx.解令u=lnx,x3dx=d¥=dv,3.xx3Inxdx=lnxd一1x4lnx-441x3dx4-1x4ln

4、x4C.416注：若被积函数是藉函数与对数函数或反三角函数的乘积，可设对数函数或反三角函数为u,而将藉函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，对数函数或反三角函数消失.例5(E05)求不定积分(exsinxdx.exsindx=sindex=exsinxexd(sinx)=exsinxjexcosxdx=exsinx-cosxdex=exsinx-(excosx-exdcosx)=ex(sinx-cosx)-exsinxdxxxe/Iesindx=;（sinx-cosx）C.注：若被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积,u,dv可随意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的u,以便经

5、过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分.例6(E06)求不定积分sin(lnx)dx.解sin(lnx)dx=xsin(lnx)_xdsin(lnx),、，、1，=xsin(lnx)-xcos(lnx)-dxx=xsin(lnx)-xcos(lnx)，ixdcos(lnx)=xsin(lnx)-cos(lnx)-sin(lnx)dxx.isin(lnx)dx=2【sin(lnx)-cos(lnx)C.灵活应用分部积分法，可以解决许多不定积分的计算问题.下面再举一些例子，请读者悉心体会其解题方法.例7(E07)求不定积分secxdx.食军sec3xdx=secxdtanx=se(xtaix

6、-se(xtanxdx=secxtanx-secx(sec2x-1)dx=secxtanx-secxdxisecxdx=secxtanxln|secxtanx|-secxdx由于上式右端的第三项就是所求的积分|secxdx,把它移到等号左端去，再两端各除以2,便得sec3xdx=1(secxtanxTn|secxtanx|)C.2例8求不定积分严Mx.11-x解'"in衣dx=-2jarcsinJxd出x、1-x=-2一1xarcsin、x2I-"1xdarcsin,x=一21xarcsinVx+j乂xdxx.1-x-2、-1-xarcsin,x2xC.例9求不定积

7、分fxarctanxdx.1x22x=arctM、kp?i='E'SJ5+x2一=,1xsec2tdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln(x+V?)+C.tan21二原式=Ji+x2arctanxln(x+71十x2)+C.例10(E08)求不定积分e声dx2arctanx-*1x2d(arctanx)=,1-x2arctanx-"1=.1“x2arctanx-1dx.1x21.，dxx=tant,1x21令t=寸又则x=t2,dx=2tdt,于是xttttedx=2etdt=2tde=2te-2edt=2te2etC=2et(t-1)C=2e1/3

8、2t21edx=3tedt=3te(.x-1)C.11求不定积分ln(1Ex)dx.令t=vx,则x=t2,ln(1.x)dx=ln(1t)dt2=t2ln(1t)-t2dln(1t)=t2ln(1t)-2dt1t12解法2=tln(1t)=(x-1)ln(11/3f-dx.3x1先分部积分，后换兀du-(t1)dtg=t2ln(1t)；tln(1t)C.设u=e1/3x123=x3,dv=§rdx,则x1/332/3edx,v=x2于是x1/3!dx.32/3x1/31I=xe_e再设=t3,则dx=3t2dt,于是e%t)=3(t22t2)etC.代入上式，得.32/3x1/33

9、.3：2c3x1/33x1/3巾I=xe-(.x2.x，2)e-C=3(.x-1)eC.22解法2先换元，后分部积分.设x=t例15(E10)已知f(x)的一个原函数是e,求fxf(x)dx.,dx=3t.dt，贝UI=3t2dt=3tetdtt再设u=t,d=etdt,贝UI=3te-33dt=3tet3ec=3(3.x1)ex"3c.例13求不定积分f(x)arCSin(x)dx.,2xx2解令t=1x测dx=-dt,于是其中C=C1-1.于是原式=_tarcsintdt=arcsintd(*-t2)=j'1-t2arcsint一'寸-t2dt.一1t2=1-t2

10、arcsint-tG=2x-x2arcsin(1-x)xC.dx.72,(xa)用分部积分法，当n>1时有例14(E09)求不定积分In其中n为正整数.2x.-dxndxx(x2a2)n，Lx2a2)n()(x2a2)x1a.2(n-1)T-dx,(x2-a2)nJ(x2a2)nJ(x2a2)n萨才"1)(3一如),x、二_(2n3)f以此作递推公式，并由|1=arctan+c,即可得In.aa解xf(x)dx=xd(x)=xf(x)f(x)dx,F_一2根据题意Jf(x)dx=e+C,再注意到(f(x)dx)=f(x),2两边同时对x求导，得f(x)=/xe',一一一

11、2顼2顼2一xf(x)dx=xf(x)-f(x)dx=-2xe-eC.3例16求不定积分sinxxCOSxSinx,e2dx.解先折成两个不定积分，再利用分部积分法.原式=esinxxcosxdx-/xndx=xdesinx-esinxdcosxcosxsinxsinxsinx,esinx,sinx1sinx=xeedxedx=xeeC.cosxcosx例17求不定积分sinxln(tanx)dx.解sinxln(tanx)dx=-ln(tanx)dcosx=-coxln(tx)n，icoxdln(ta)n一、1=-cosxln(tanx)dx=-cosxln(tanx)ln|cscx-cot

12、x|C.sinx,-八x2ex18求不定积分一dx.(x2)选u=x2ex,于是xedx=x2exd(x2)2=x2exx2d(x2ex)=x2ex2xexx2exdxx2x22x2x=-Xexexdx=_xexdexx2x22x2xxe_x_xxe_x_x=xe-edx=_xe-eC.x2x22注：本题选u=x2ex比选u=x2更能使解题方便.(x2)2例19计算不定积分fxlnxdx.解vlnx不易求积分，只能放在左列，而x放在右列，列表如下：()lnXrxxinxdxTnx2x21x2dx2112(9xx21 211=xInx一xdx=x2 22,12Inx一一xc.4例20计算不定积分inxdx.解vinx可看作乘积形式1列表如下：inx,将inx放在左列，1放在右列,()Inx.1(-)1，xx1inxdx=xlnx-xdx=xlnx-xcx例21计算不定积分fxsinxdx.解二函数x和sinx都是易求原函数的函数，都可放右列，但考虑到左列的函数应是求导后逐渐简单的，故x放左列，sinx放右列列表如下：()0>sinx-xcosxsinxc.ex和ixsinxdx-xcosx-1(-sinx)c例22计算不定积分