18-19第3章33333最大值与最小值

1、3.3.3最大值与最小值学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值.(重点、难点)自主预习探新知1. 函数的最大值与最小值如果在函数定义域I内存在X0,使得对任意的xI,总有f(x)vf(X0)(f(X)>f(X0),则f(X0)为函数f(x)在定义域上的最大值(最小值).2. 求函数y=f(X)在区间a,b上的最值的步骤第一步，求f(X)在区间(a,b)上的极值;第二步，将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(X)在区间a,b上的最大值与最小值.基础自测1. 判断正误：(1) 函数的最大值一定是

2、函数的极大值.()(2) 开区间上的单调连续函数无最值.()函数f(X)在区间a,b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.()13【解析】(1)x.反例：f(X)=3X32X2+2x+1在0,10的最大值是f(10),而不是其极大值f(1).(2) V.因为函数是单调函数，故无极值，乂因为是开区问，所以最值不可能在区间端点上取到，故正确.(3) x.反例：f(X)=X2在1,1上的最大值为f(0)=0,不在区间端点取得.【答案】(1)XV(3)x2. 已知函数y=X3X2X,该函数在区间0,3上的最大值是.【解析】y'=3x2-2x1,由y'=0得3x22x-1=0,缶1彳寸

3、X1=3，X2=1.f(0)=0,f(1)=1,f(3)=279-3=15,该函数在0,3上的最大值为15.【答案】15合作探究玫重难类型求函数的最值例H求函数f(x)=2x312x(x£-1,3)的最值.思路探究求f'xL研究f(x)在1,3上的极值，并与f(-1),f(3)比较确定最值.【自主解答】fx)=6x2-12=6(x22)=6(x+寸2)(x一寸2).由f(x)=0得x=2或x=J2.当x变化时，f'x),f(x)的变化情况如下表：x-1（-1,匝）（也,3）3fx）-0+f（x）10-疝/18由上表知函数f(x)的最小值是一8也，最大值是18.规律方法

4、求一个函数在闭区间上的最值，只需先求出函数在闭区间上的极值，然后比较极值与区间端点处的函数值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.跟踪训练1. 求函数f(x)=x(1-x2),x0,1的最值.【导学号：95902236【解】易知f'x)=1-3x2.令f'x)=1-3x2=0,则x=我.第2页当x变化时，f'xLf(x)的变化情况如下表:x01。'搴3悍1)1f'x)+0一f(x)0/0由上表知f(x)的最大值为誓，最小值为0.类裂钊含参数的函数最值问题a为常数，求函数f(x)=x3+3ax(0<x<1)的最大值.思路探

5、究此题是求函数在闭区间上的最值问题，要注意对参数a进行分类讨论.【自主解答】f'x)=3x2+3a=3(x2-a).若a<0,则f'x)v0,函数f(x)单调递减，所以当x=0时，有最大值f(0)=0.若a>0,则令f'x)=0,解得x=由侣.因为x0,1，所以只需考虑x=寸的情况.(1)0<Va<1,即0<a<1时，当x=4a时，f(x)有最大值«、倡)=2a/k(如下表所小)x(0,扃而1)fx)+0一f(x)/2aVa/(2a>1时,即a>1时,f'x)>0,函数f(x)在0,1上单调递增,当

6、x=1时，f(x)有最大值,f(1)=3a1.综上可知，当a<0时，x=0时，f(x)有最大值0.当0<a<1时，x=山时,f(x)有最大值2aa.当a>1时，x=1时，f(x)有最大值3a1.规律方法求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论，由丁函数的最值只能在极值点或端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理.跟踪训练2. 已知函数f(x)=g(x)h(x),其中函数g(x)=ex,h(x)=x2+ax+a.(1) 求函数g(x)在(1,g(1)处的切线方程；当0<a<2时，求函数f(x)在x

7、2a,a上的最大值；【导学号：95902237【解】(1)gx)=ex,故g'(爷e,所以切线方程为ye=e(x1),即y=ex.(2)f(x)=eT(x2+ax+a),故f'x)=(x+2)(x+a)ex,令f'x，=0,得x=a或x=2. 当一2a>-2,即0<a<1时，f(x)在-2a,a上单调递减，在a,a上单调递增，所以f(x)max=maxf(2a),f(a).由丁f(-2a)=(2a2+a)e"2a,f(a)=(2a2+a)ea，故f(a)>f(-2a),所以f(x)max=f(a).当一2a<-2,即1<a&

8、lt;2时，f(x)在2a,2上单调递增，在2,一a上单调递减，在-a,a上单调递增，所以f(x)max=maxf(2),f(a).由丁f(2)=(4a)e_2,f(a)=(2a2+a)ea,故f(a)>f(-2),所以f(x)max=f(a).综上得,f(x)max=f(a)=(2a2+a)ea.类割由函数的最值求参数的值(范围)探究问题1. (1)若对任意的x1,2，都有a>x成立，则实数a的取值范围是什么？(2)若对任意的x1,2，都有a<x成立，则实数a的取值范围是什么？【提示】(1)a>2(2)a<1.2. (1)若存在x1,2,使a>x成立，实数

9、a的取值范围是什么？(2)若存在x£1,2,使a<x成立，实数a的取值范围是什么？【提示】(1)a>1(2)a<2.3. 已知函数y=f(x),xm,n的最大值为ymax,最小值为ymin,(1) 若对任意的xm,n,都有a>f(x)成立，实数a的取值范围是什么？(2) 若对任意的xm,n,都有a<f(x)成立，实数a的取值范围是什么？【提小】(1)a»ymax(2)aVymin4. 已知函数y=f(x),xm,n的最大值为ymax,最小值为ymin,(1) 若存在x£m,n,使a>f(x)成立，实数a的取值范围是什么？(2)

10、若存在x£m,n,使a<f(x)成立，实数a的取值范围是什么？【提示】(1)a>ymin(2)a<ymax例田已知f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax3,对一切x(0,+oo),2f(x)>g(x)包成立，求实数a的取值范围；思路探究把a分离出来，转化为求函数的最值问题.【自主解答】由题意知2xln-x2+ax3对一切x(0,+oo)上包成立，33，(x+3(x1)贝Ua<2lnx+x+，设h(x)=2lnx+x+(x>0),贝Uhx)=2.xxx当x(0,1)时，h'x)<0,h(x)单调递减，当x(1,+8)时，h'x

11、)>0,h(x)单调递增，所以h(x)min=h(1)=4,对一切x(0,+8),2f(x)>g(x)何成立，所以a<h(x)min=4.即实数a的取值范围是(一8,4规律方法1. 怛成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.Qf(x)包成立？Qf(x)max；衫f(x)包成立？强f(x)min.对丁不能分离参数的包成立问题，直接求含参函数的最值即可.此类问题特别要小心最值能否取得到”和不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得%”.跟踪训练2. 已知函数f(x)=xcosx-sinx,若存在实数x£0,2g使得f(x

12、)<t成立，则实数t的取值范围是.【角车析】fx)=(xcosx)(sinx)'=cosxxsinxcosx=xsinx.x£0,2务当xe0,兀时，f'x)<0,f(x)在0,兀单调递减.当x四2兀时，f'x)>0,.-.f(x)在&2兀单调递增.f(x)min=f(兀寺一兀，t的取值范围t>Tt.【答案】(一务+8)构建体系当堂达标固双基1.函数f(x)=X312x+8(3<x<3)的值域是.【解析】令f'x)=3x2-12=0,得x=坦，而f(3)=1,f(-3)=17,f(2)=8,f(2)=24,W

13、Jf(x)max=24,f(x)min=8.【答案】8,242.设函数g(x)=x(x21),Mg(x)在区间0,1上的最小值为.【导学号：95902238】【解析】g(x)=x3x,由g'x)=3x21=0,解得*1=写，x2=一手(舍去).33当x变化时，g'x)与g(x)的变化情况如下表:x0(妙31J1gx)一0+g(x)0单调递减极小值单调递增0所以当x=平时,g(x)有最小值g鸣)=-693.3. 函数f(x)=exsinx在区间|0,上的值域为:.f(x)min=f(0)=0,f(x)maxTte2.【解析】f'x)=ex(sinx+cosx),，x|0,2,f'x)>0,，.f(x)在10,须'上是单调增函数,4.函数f(x)=x3x2x+a在区间0,2上的最大值是3,则a的值为.【解析】fx)=3x2-2x1,令f'x)=0,1，、解得x=一项舍去)或x=1,3乂f(0)=a,f(1)=a1,f(2)=a+2,贝Uf(2)最大，即a+2=3,所以a=1.【答案】