1992考研数三真题及解析

1、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分，把答案填在题中横线上.)(1)设商品的需求函数为Q=1005P，其中Q,P分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是.级数z土2产的收敛域为.n4n4交换积分次序(dy"；"f(x,y)dx=.(4) ，0A)一设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且A=a,B=b,C=BQ，则C=.(5) 将C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英文单词SCIENCE的概率为.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出

2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.)设F(x)X2xf(t)dt,其中f(x)为连续函数，则limF(x)等于xaaXX(A)a2(B)a2f(a)(C)0(D)不存在(2)当xt0时,下面四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？()(A)x2(B)(C)、1x2-1(D)设A为mxn矩阵，齐次线性方程组(A)A的列向量线性无关(C)A的行向量线性无关设当事件A与B同时发生时，事件(A)P(C)_P(A)P(B)-1-cosxx-tanxAx=0仅有零解的充分条件是()(B)A的列向量线性相关(D)A的行向量线性相关3必发生，则()(B)P(

3、C)_P(A)P(B)-1(C)P(C)=P(AB)(D)P(C)=P(AUB)o12?(5)设n个随机变量X1,X2，川，Xn独立同分布，D(X1)=b2,X=£Xi,n旧o1n_S?=£(Xi-X)2，则n_1i4(A)S是b的无偏估计量(B)(C)S是O'的相合估计量(即一致估计量)(D)()S是。的最大似然估计量S与X相互独立三、(本题满分5分)Incos(x-1)I、sI.H设函数f(x)=1-sinx改函数在x=1处的定义使之连续.x=1,问函数f(x)在x=1处是否连续？若不连续，修x=1.四、(本题满分5分)计算I=Wdx.e五、(本题满分5分)设z

4、=sin(xy)+8(x,§,求三至，其中(u,v)有二阶偏导数yfxfy六、(本题满分5分)XO求连续函数f(x),使它满足f(x)+2(f(t)dt=x.七、(本题满分6分)2x二求证：当x芝1时,arctanx-arccos2=一1x24八、(本题满分9分)设曲线方程y=e*(x_0).把曲线y=e，x轴，y轴和直线乂=尝(土0)所围成平面图形绕x轴旋转一周，1.得一旋转体，求此旋转体体积V(£)；求满足V(a)=§|jmV(匚)的a.(2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大出该面积.，并求九、(本题满分7分)设矩阵A与B相似

5、，其中-_-200-100A=2x2,B020311-00y求可逆矩阵P,使得PAP=B.十、（本题满分6分）已知三阶矩阵B。0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解x12x2-2x3=0,2xi-x2"x3=0,3xix2-x3=0.求九的值；（2）证明B=0.1、（本题洒分6分）设A、B分别为nn阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=rA0%是否是正定矩阵十二、（本题满分7分）L。知假设测量的随机误差XLN（0,102）,试求100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率a，并利用泊松分布求出a的近似值（要求小数点后取两位有效数字）.附表1234567-e0.368

6、0.1350.0500.0180.0070.0020.001-十三、（本题满分5分）一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望EX和方差DX.十四、（本题满分4分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为f（x，y）二°0xy,其他，求随机变量X的密度fX（x）;（2）求概率PX+Y&.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)【答案】(10,20【解析】根据Q(P)=1005P芝0,得价格P920,

7、又由Q=1005P得Q'(P)=5,5P1005P>1,解得P>10.1005P按照经济学需求弹性的定义，有=PQ(P)_5PQ(P)100-5P,所以商品价格的取值范围是(10,20.(2)【答案】(0,4)【解析】因题设的藉级数是缺项藉级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性首先当X2=0即x=2时级数收敛.当x#2时,后项比前项取绝对值求极限有limn_ac(x2)2(n1)(n1)4n1n4n(x-2)n(x2)2=lim=(x-2)4fn+14当(x-2)4<1,即当0<x2<2=0<x<2或2<x<4时级数绝对收敛.又当x

8、=0和x=4时得正项级数11当PA1时收敛；当P壬1时发散.p十十,，二1，所以正项级数'、1是发散的.n4n综合可得级数的收敛域是（0,4）.注：本题也可作换元（x-2）2=t后，按如下通常求收敛半径的办法讨论藉级数敛性.qQZanxn的相邻n=0a【相关知识点】收敛半径的求法：如果P=四工，其中an,an*是藉级数两项的系数，则这藉级数的收敛半径,0<P<+=cp,R=<E,p=0,0,P=E.f(x,y)dy【答案】（dxf（x,y）dy+dxr【解析】这是一个二重积分的累次积分，改换积分次序时，先表成：原式="f（x,y）dxdy.D由累次积分的内外

9、层积分限确定积分区域D:D=(x,y)0勺<1,而小<。2-y2,y"即D中最低点的纵坐标y=0,最高点的纵坐标y=1,D的左边界的方程是x=jy，即2y=x2的右支，D的右边界的方程是x=2-y2即x2+y2=2的右半圆，从而画出D的图形如图中的阴影部分，从图形可见D=D1+D2,且1K所以0dyf(x,y)dx=0yDi=(x,y)0W£1,0”£x2,D2=(x,y)1一x一一2,0一y一,2一x2.1dxx222Z?f(x,y)dy1dx°f(x,y)dy.(4)【答案】(1)mnab【解析】由拉普拉斯展开式mn=(1)mnA|B=(

10、1)mnab.【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则mn=(-1门AB.1(5)【答案】1260【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可,将给出的七个字母任意排设所求概率为P(A),易见，这是一个古典型概率的计算问题成一行，其全部的等可能排法为7!种，即基本事件总数为n=7!,而有利于事件A的样本点，-,2!2!11260数为2!2!,即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式P(A)=7!二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.)【答案】(B)【解析】方法1：limF(x)为"xa所以可应用洛必达法则.9，,0型的极限未定

11、式，又分子分母在点0处导数都存在，limF(x)xa2.x=limx”xaf(t)dt=a2limx)axf(t)dtaxax)a1a2f(a).故应选(B).方法2:特殊值法.x22dt=2a.a2x取f(x)=2,则limF(x)=limxTxfxa显然(A),(C),(D)均不正确，故选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：i(t)-若F(t)="f(x)dx*(t),P(t)均一阶可导，则F(t"："(t)f(t)l-：(t)f(t)l.1 【答案】(D)OO1OCr【解析】由于XT0时，1cosxx2,如尸1X2,故X2,1COSX,1二2-

12、12是同阶无穷小，可见应选(D).【答案】(A)【解析】齐次方程组Ax=0只有零解ur(A)=n.由于r(A)=A的行秩=A的列秩，现A是mxn矩阵，r(A)=n,即A的列向量线性无关.故应选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组Ax=0,有定理如下：对矩阵A按列分块，有A=(a1,a2,|H,an),则Ax=0的向量形式为X1X2：2.川.Xn=0.那么，Ax=0有非零解U电,口2,巾,ctn线性相关=r：1,：2,IH，：n:n=rA:n.(4) 【答案】(B)【解析】依题意：由“当事件A与B同时发生时，事件C必发生”得出AB=C，故P(AB)P(C);由概率的广义加法公式P(AUB)=P

13、(A)+P(B)P(AB)推出P(AB)=P(A)十P(B)P(AUB)；又由概率的性质P(AUB)1,我们得出P(C)_P(AB)=P(A)P(B)_P(AUB)_P(A)P(B)-1,因此应选(B).(5) 【答案】(C)【解析】根据简单随机样本的性质，可以将X1,X2,HI,Xn视为取自方差为。2的某总体X的简单随机样本，文与S2是样本均值与样本方差.由于样本方差S2是总体方差的无偏估计量，因此ES2=o2,ES#o，否则若ES=。,则(ES)2=。2,DS=ES2(ES)2=0.故不能选(A).对于正态总体，S与X相互独立，由于总体X的分布未知，不能选(D).同样因总体分布未知，也不能

14、选(B).综上分析，应选(C).进一步分析，由于样本方差S2是2的一致估计量其连续函数S=JS2一定也是。的一致估计量三、(本题满分5分)【解析】函数f(x)在x=X0处连续，则要求limf(x)=f(X0).xX)方法1：利用洛必达法则求极限limf(x),因为limf(x)为“0”型的极限未定式，又分子分X：1X10母在点0处导数都存在，所以连续应用两次洛必达法则，有sin(x-1)lncos(x-1)cos(x1)2,.tan(x-1)二xcos2二x1-sin212cos2(x-1)=lim,上J(sin)22=limlimX1XX1-cos22而f(1)=1,故limf(x)=1,所

15、以f(x)在x=1处不连续.一一4.右令f(1)=-，则函数f(x)在x=1处连续.1O方法2：利用变重代换与等价无分小代换，xt0时，cosx祀x;ln(1+x)LIx.求极限limf(x)，令x-1=t，贝U有X1lncos(x-1)lncostln1(cost-1)limf(x)=limlimlimx1x_1.二Xt0二tt)0二t-sin1-cos1-cos22cost-1=limt0_2t24=lim一t0二-1t222一/8dx其中C为任意常数.，如果选择不当可能引起更繁杂的计，积累经验.以下同方法1.四、(本题满分5分)【解析】用分部积分法I=-arccotexde顷-e&quo

16、t;arccotex-(1-e2x)dx1e=-e"arccotexx1ln(1e2x)C注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题算，最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结【相关知识点】分部积分公式：假定u=u(x)与v=v(x)均具有连续的导函数，则uvdx=uv-uvdx,或者udv=uvvdu.五、(本题满分5分)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数，重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，所以本题可以先求竺，再求三(乏).；:x；:y；x1由复合函数求导法，首先求z；,由题设z；=ycos(xy)+%'

17、+中2,再对y求偏导数，即得1.1.Zxy=cos(xy)-xysin(xy)(、)y(My22yy=cos(xy)xysin(xy)12i22yxx1=cos(xy)xysin(xy)_亍任一亍22一亍；.【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u=中(x,y),v=平(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f(平(x,y),甲(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在，且有f2当:x.:vyL、f.A.f,:z:z:u；z:v=r:x:u:x:v:x:z:z.uz:v=r:y:u:y:v:y六、(本题满分5分)

18、【解析】两端对x求导，得f'(x)+2f(x)=2x.记P(x)=2,Q(x)=2x，有通解f(x)=e、p(x)dx(jQ(x)eF(x)dxdx+C)=ex(j"2xe2xdx+C)=Cex+x；,其中C为任意常数.11由原方程易见f(0)=0,代入求碍参数C=.从而所求函数f(x)=e+x-.1 22【相关知识点】一阶线性非齐次方程y'+P(x)y=Q(x)的通解为-P(x)dxy=e!Q(x)e(X)dXdx+CL其中C为任意常数.七、(本题满分6分)1【解析】万法1：令f(x)=arctanx-arccos2_22f(x)=2(1x)(1-x)八w；2r20

19、(x1).1x2(x1)(1x)因为f(x)在1,危)连续，所以f(x)在1,危)上为常数，因为常数的导数恒为0.1 2x二故f(x)=f(1)=0,即arctanx-一arccos221万法2：令f(x)=arctanx-一arccos1x42x_,则f(x)在1,x上连续，在(1,x)内可导,1x24由拉格朗日中值定理知，至少存在一点&w(1,x),使得由复合函数求导法则，得f(x)-f(1)=f()(x-1).f(x)12(1x2)(1-x2)1x22(x2-1)(1x2)2三0(x1),21所以f(x)=f(1).由f(1)=0可碍,当x芝1时，arctanx-一arccos-

20、2【相关知识点】复合函数求导法则如果u=g(x)在点x可导，而y=f(x)在点u=g(x)可导，贝U复合函数y=fg(x)在点x可导,且其导数为A(5)dydydu=dxdudx八、(本题满分9分)【解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求vK),并求出极限iim，v仁).问题(2)是导数在求最值中的应用，首先建立目标函数，即面积函数，然后求最大值.V()=二(1)将曲线表成y是x的函数，套用旋转体体积公式-2-.2X.-2#：'2a0ydx=.0edx=j(1_e),V(a(Ve),lim：V(广皿"1)".由题设知兰(1e&)=兰，得a=l|n

21、2.242过曲线上已知点(x°,yo)的切线方程为yyo=k(xx°),其中当y'(x°)存在时,k=y(x0).设切点为(a,e),则切线方程为ye#=e侦(xa).令x=0,得尸=£遏(1十a),令y=0,得x=1+a.1由三角形面积计算公式，有切线与两个坐标轴夹的面积为S=；(1+a)2e.11因S'=(1+a)e§(1+a)2e=(1a2)e,令S=0,得a1=1,a2=1(舍去).由于当a<1时，S'a0；当a1时，S'<0.故当a=1时，面积S有极大值，此问题中即为最大值.,1故所求切点是

22、(1,e),取大面积为S=22e=2e.【相关知识点】由连续曲线y=f(x)、直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：V=兀jf2(x)dx.九、(本题满分7分)【解析】因为ALB,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数x和y的值.若1-PAP=A，则A是A的特征向量.求可逆矩阵P就是求A的特征向量.(1)因为ALB,故其特征多项式相同，即|人EA=|*EB，即2c2)(x1)，(x-2)=(，1)(，-2)C-y).由于是九的多项式，由Z的任意性，令舄=0,得2(x2)=2y.令九=1,得3(2)=2(1y).由上两式解出y=-2与x=0.I200|10-

23、2由(1)知202L011一0因为B恰好是对角阵，所以马上可得出矩阵A的特征值，矩阵A的特征值是1=T,2=2,，3一一2.一1当7勺=T时，由(一EA)x=0,-2：一300100-1-2t012-1-2000j得到属于特征值舄=-1的特征向量当&=2时，由(2EA)x=0,得到属于特征值舄=2的特征向量当M=-2时,由(2EA)x得到属于特征值舄=-2的特征向量00那么令p=(%,口2,3)=-21一11：i=(0,-2,1/.00100-22_2t01-1,3-110002=(0,1,1)丁.000111：。，_2_2-2t010-3-1-3000：3=(1,0,-1)T.110

24、,有PAP=B.一1十、(本题满分6分)【解析】对于条件AB=0应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组Ax=0的解；另一个是秩的信息即r(A)十r(B)4n.要有这两种思考问题的意识.。2-2'(1)方法1：令A=21丸,对3阶矩阵A,由AB=0,B#0知必有A=0,否则A<0-1解出=1.方法2：因为B#0,故B中至少有一个非零列向量.依题意，所给齐次方程组Ax=0有非零解，得系数矩阵的列向量组线性相关，于是0-2A1人=5(人一1)=0.-V可逆，从而B=A(AB)=A0=0，这与B#0矛盾.故12-2A=2-1舄=0,2 1-1用行列式的等价变换，将第三列加到第二列上，

25、再按第二列展开，有12-2A=2-1L=0,1 1-1以下同方法一.(2)反证法：对于AB=0,若B#0，则B可逆，那么A=(AB)B=0B=0.与已知条件A#0矛盾.故假设不成立，|B=0.【相关知识点】对齐次线性方程组Ax=0,有定理如下：对矩阵A按列分块，有A=(%,a2，川,J),则Ax=0的向量形式为X1；1-X22.山Xnn2.那么，Ax=0有非零解u0(1a2|o(n线性相关=r：1,：2,IHn：n=rA:n.对矩阵B按列分块，记B=(凡E2,日3),那么AB=A(：1,，：3)=5如"：2&3)=(0,0,0).因而AR=0i=(1,2,3),即Pj是Ax=

26、0的解.十一、(本题满分6分)【解析】在证明一个矩阵是正定矩阵时，不要忘记验证该矩阵是对称的.方法1：定义法.因为A、B均为正定矩阵，由正定矩阵的性质，故入丁=A,B=B,那么十A0"At0''A0'CT=i；0广3：丁厂1；0厂C，即C是对称矩阵.设m+n维列向量ZT=(XT,YT),其中XT=(x1,X2,lll,Xm),YT=(y，y2,HI,yn),若Z#0,则X,Y不同时为0,不妨设X#0，因为A是正定矩阵，所以XTAX>0.又因为B是正定矩阵，故对任意的n维向量Y,恒有YTAY芝0.于是ZTCZ=(Xt,Yt)!ia°%X=xtax

27、+YtAY0,：0B加即ztcz是正定二次型，因此C是正定矩阵方法2:用正定的充分必要条件是特征值大于0,这是证明正定时很常用的一种方法因为A、B均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故aT=A,B=B,那么cT'A成0¥B>aTbTA<0=C,即C是对称矩阵设A的特征值是"2ll,人m,B的特征值是乌，皂,川,巴.由A,B均正定，知为>0,当>0(i=1,2,|,m,j=1,2，川,n).因为舄EmA0任-C=赤Em-A据n-B0九En_Bmn=1IH'-'mV1HI，-m,于是，矩阵C的特征值为"j|&,比栏，

28、川Kn.因为C的特征值全大于0,所以矩阵c正定.十二、(本题满分7分)【解析】设事件A="每次测量中测量误差的绝对值大于19.6”，因为XLN(0,102),即EX=卜=0,DX=。2=102.根据正态分布的性质则有：f】“X卜19.6卜p=P(A)=PX19.6=P1>Uu。Jc|X-0|19.6-01车|X|=P'!=P1.96.1010.1I.10X=1-P-1.96一一_1.96=1-"(1.96)-：，(-1.96)110=1-，(1.96)-(1-：，(1.96)=2-2：、(1.96)=2(1®(1.96)=0.05.设Y为100次独立

29、重复测量中事件A出现的次数，则Y服从参数为n=100,p=0.05的二项分布.根据二项分布的定义，pY=k=C：pk(1p)J(k=0,1,2山)，则至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率«为：=PY_3=1-P(Y<3=1-PY=0-PY=1-PY=2)00100111001221002=1-C1000.05（1一0.05）Go。0.05（1一0.05）1000.05（1一0.05）一100QQ10099982=1一0.95一1000.950.050.950.052.2根据泊松定理，对于成功率为p的n重伯努利试验，只要独立重复试验的次数n充分大，而p相当小（一般要求n芝

30、100,p苴0.1）,则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分布，具体应用模式为若YJB（n,p）,则当n充分大，p相当小时当丫近似服从参数为舄=npkkn（np）k_np的泊松分布，即PY=k=Cnp（1p）ep（k=0,1,2）.k!设丫为100次独立重复测量中事件A出现的次数，则丫服从参数为n=100,p=0.05的二项分布.故:'=PY_3=1_PY:3=1_PY=0_PY=1_PY=2()0.()1.()2.1_e=1-厂一喝一_e0!1!2!255=1-e(15土):0.87.2十三、（本题满分5分）【解析】令随机变量1,Xi10,第i个部件需调整，第i个部件不需调整，i=1,2,3.依题意X1,X2,X3相互独立，且X1,X2,X3分别服从参数为0.1,0.2,0.3的01分布，即X101p0.90.1X201p0.80.2X301p0.70.3由题意知X=X十X2+X3，显然X的所有可能取值为0,1,2,3,又X1,X2,X3相互独立所以=PXi=0PX2=0PX3=0=0.90.80.7=0.504,P(X=1=PX1X2X3=1=PX1=1,X2=0,X3