数列与数学归纳法专项训练(含答案)(新)

1、所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。数列与数学归纳法专项训练21 .如图，曲线y x(y 0)上的点P与x轴的正半轴上的点 Qi及原点。构成一系列正三角形OPQ, QP2Q, Q-1RQ设正三角形 Qn1PnQn的边长为an ,n N* （记Q0为O）, Qn Sn,0 . （1）求&的值；（2）求数列an的通项公式an。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2 .设an , bn都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ,都有an,b2,an 1成等差数列,b2,an i,b： 1成等比数列.(1)试问bn是否成等差数列？为什么？(2)如果a1 1,

2、b1 J2,求数列 的前n项和Sn.an3 .已知等差数列 an中，a2 = 8, S6 = 66.(1)求数列 a。的通项公式；2-1(口)设 bn , Tn b1 b2bn，求证：Tn 一 .(n 1)an61an 1314 .已知数列an*a1- ,an2 (n>2, n N )，数列bn，满足bn5an i(n N )(1)求证数列 bn是等差数列；(2)求数列 an中的最大项与最小项，并说明理由;记sn 6 b2bn,求m (n 1)bn sn 15 .已知数列an中，a>0,且an+1=. n , 2n都成立；)，并以&表示数列bn的前n项的(I )试求a的值，

3、使得数列a是一个常数数列；(n )试求a1的取值范围，使得an+1>an对任何自然数( 田)右 a1 = 2)设 bn = | an+1 an| ( n = 1 , 2)3,和，求证：S1<.2任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己391, x),求证ln x 1 x1.一ln n 1n1n 17.已知数列an各项均不为0 ,其前n项和为Sn ,且对任意n(1 P) SnP panp 为大于 1 的常数f(n)1 Cn a1C2 a2Cn an2n Sn(1)求 an;2n 1p 1p 1N ).(2)比较f(n 1)与2f(n)的大小n N ； 2p. p 1(

4、3)求证：(2n 1) f (n) f(i) -1i ip 18 .已知n N ,各项为正的等差数列an满足a2 a621,a3 a5 10,又数列lgbn的前n项和是c，c 1,Snn n 1 lg3 n n 1 o(1)求数列 an的通项公式;(2)求证数列 bn是等比数列;(3)设Cn anbn ,试问数列 Cn有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。9 .设数列an前项和为sn,且(3m)Sn 2manm 3(n N工，其中m为常数，m 3.求证：是等比数列；3-右数列an的公比q=f(m),数列bn满足ba1,bn f(bn 1)(n N ,n 2),求、1 ，一一

5、，证：一为等差数列，求bn. bn10 .已知数列an满足：ai 1,a2 -,且3 ( 1)nan 2 2an 2( 1)n 1 0, 2* n N .(i)求a3, 34, a5, a6的值及数列an的通项公式；(n )设bna2n 1 a2n,求数列bn的前n项和Sn ；11 .将等差数列an所有项依次排列,并作如下分组：(a1),( a2,a3),( a4,a5,a6, a7),第一组1项，第二组2项，第三组4项，第n组2n 1项。记Tn为第n组中各项的和。已知T348,T4 0。(1)求数列an的通项；(2)求Tn的通项公式；(3)设Tn的前n项的和为Sn,求S8。12 .设各项为正

6、数的等比数列an的首项a1 。，前n项和为Sn,且2_ 10 _102 S30 (21)S20 S10 0。(1)求an的通项；(n)求nSn的前n项和Tn。一、一 , 、 113 .设数列an是首项为 0 的递增数列，(n N ), fn(x) sin (x an), x an, an 1 n满足：对于任意的b 0,1), fn(x) b总有两个不同的根。(1)试写出y fi(x),并求出a?；(2)求an 1 an，并求出a。的通项公式；n 1(3)设 Sn a1 a? a3 a4( 1) a。，求 Sn。14 .已知数列a1，a2, , a30,其中aa, ,ao是首项为1,公差为1的等

7、差数列；a1o,a11, ,a2o是公差为d的等差数列；a?o, a21,a3o是公差为d2的等差数列(d o).(I)若a2o 4。，求d；(n)试写出a3o关于d的关系式，并求a3o的取值范围；(出)续写已知数列，使得a3o,a31, ,a4o是公差为d3的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题(2)应当作为特例)，并进行研 究，你能得到什么样的结论？(所得的结论不必证明)15 .一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口 B ,按照某种运算程序：当从 A 口1.一 .1-输入自然数1时，从B 口得到，记为f 1 ；当从A 口输入自然数n n 2时， 33,、

8、，e, 2 n 11、在B 口得到的结果f n是前一个结果f n 1的倍.2 n 13(1)当从A 口分别输入自然数 2 , 3 , 4时，从B 口分别得到什么数？试猜想 f n的关 系式，并证明你的结论；(2)记Sn为数列 f n 的前n项的和。当从B 口得到16112195的倒数时，求此时对应的Sn的值.16 .已知数列an,其前n项和S满足Sn 12 Sn 1(是大于o的常数)，且a1=1, a3=4.(1)求的值；(2)求数列an的通项公式an；(3)设数列nan的前n项和为Tn,试比较Tn与S的大小.217 .定义：若数列An满足An i A2 ,则称数列凡为“平方递推数列” .已知

9、数列侬中, ai 2 ,且an 1 2a2 2a0，其中n为正整数.设bn 2an 1 ,证明：数列bn是“平方递推数列”，且数列lg bn为等比数列；(2)设中“平方递推数列”bn的前n项之积为Tn,即Tn(2ai1)321)|(2an1),求数列an的通项及Tn关于n的表达式；记Cn 10g241Tn,求数列Cn的前n项之和& ,并求使S 2008的n的最小值.18 .在不等边/ ABC设A、B、C所对的边分别为a, b, c,已知sin2A, sin2 B , sin2C依次成等差数列，给定数列cos AcosBcosC,a b c(1)试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认

10、为是正确选项的代号:cos A cosB cosC数列,a b cA.是等比数列而不是等差数列 C.既是等比数列也是等差数列 (2)证明你的判断.).B.是等差数列而不是等比数列D.既非等比数列也非等差数列19 .已知an是等差数列，其前 n项和为8,已知a2=8, §0=185,(1)求数列an的通项公式；(2)设an log2 bn,证明bn是等比数列，并求其前 n项和Tn.20.已知数列an中，a11 , anan 1(n=2, 3, 4,)a n 1(I)求a2、a3的值;(II )证明当 n= 2, 3, 4,时，V2n 1 anv'3n221.已知等差数列an中，

11、a38, 1是其前n项的和且S20610(I)求数列 an的通项公式。(II )若从数列an中依次取出第2项，第4项，第8项，第2n项，按原来的顺 序组成一个新数列bn,求数列 bn的前n项和Tn。22.已知正项等比数列 an 满足条件：ai a? a3 a4a5 121 ；11111aa2a3a4 a525 ,求 an的通项公式an .23.已知函数 f (x) = log 3(ax+ b)图象过点 A (2, 1)和 B(5, 2).(1)求函数f (x)的解析式；f(x)11(2)记an 3, n N* ,是否存在正数k ,使得(1 2)(1 2)a a1(1 一) k <2n 1

12、对一切n N*均成立，右存在，求出 k的最大值，右不存在，请说明 an理由.24.已知 f(x)=log 2(x+m),m £ R(1)如果f(1) , f(2) , f(4)成等差数列，求 m的值；(2)如果a,b,c是两两不等的正数，且a,b,c依次成等比数列，试判断f(a)+f(c) 与2f(b)的大小关系，并证明你的结论。25.已知等差数列an的公差 d>0.Sn是它的前一 1 一 1 一n项和，又一S4与一S6的等比中项是61,1x，'a17 1 , S4与$6的等差中项正 6,求an046120和60,而第二项26. an和bn分别是等比数列和等差数列，它们

13、的前四项和分别为与第四项的和分别是 90和34,令集合A a12 , a2 ,22a3 ,，an,B bi, b2, b3,27.已知曲线C: yN )。从C上的点Qn(Xn,yn)作X轴的垂线，交Cn于点Pn ,再从点Pn作y轴的垂线，交C 于点 Qn1(Xn1,yn1),设 X 1,an Xn 1 Xn,bnynyn 1。(I)求Qi,Q2的坐标;(II )求数列an的通项公式;(III )记数列anbn的前n项和为Sn,求证：Sn答案:1.解：d13-a1, - a122y2 x(y 0)得3 2111a11 a1, I a1420,ai, Snala2an Pn 1(Sn1-an 1,

14、 2 an 1)；代入曲线y2x(y 0)并整理得Sn3 21一.-an 1 -an 1,，于是当 n 2,n N42时，anSnSn 13 213 21( an 1 -an 1) ( an二 an )4242132(an1 an) 4(an1an) (an 1 an) an 1an又 当an 1an3 2 14 2.n 1时，S a2 a2, a2 一(一舍去)423 32* 一 2(n N ).所以数列an是首项为一、330,an 1 an-(n 2,n2； a2 a1-3、，2 公差为2的等差数列，an3故2一 n。32.由题意，得2b2 an an 1 ,(1)2an 1b2|b21b

15、n 1 bn ,（1）因为an 0,bn 。，所以由式（2）得an 1 bjbn1,从而当n 2时，an2代入式(1)得 2bn bn 1bn bnbn 1 ,即2bn bn 1 bn 1n 2 ,故bn是等差数列.由a1 1,b1 、五及式（1）,式（2）,易得a23也卡因此bn的公差d 22从而bnb1,一 2n2得an(3)又a11也适合式(3),得1所以an3.从而Sn解：（I）11n 12na16al5dan22n 4d66a16,d(n) bn2(n 1)an(n 1)(2n 4)Tnb1b2IO bn11111是递增数列Tn4. (D bnanan 1而bnanbnbn 1an

16、1an. (n bn 是首项为b1a1公差为1的等差数列.(2)依题意有an1bnbn52 (n1)1 n 3.5an 1对于函数y1n 3.51x 3.5x> 3.5时,y> 0,y')上为减函数.故当n= 4时，an 11一取最大值n 3.5而函数y1在 xv3.5 时，y<0,x 3.5y'(x 3.5)20,3.5 )上也为减函数.故当n=3时，取最小值,a3 =-1 .(3)Sn(n 1)( 222n 52 )(n1)(n25) , bnn 3.5,limn(n1)bnSn1limn2(n 1)(n(n 1)(n 5)5. ( I )欲使数列an是一

17、个常数数列，则an+i =3_%=日233又依ai>0,可得an>0并斛出：an=_，即ai = an =-22(n)研究 an+i-an= J3 an 户 an 1 =an an 1 ( n>2)23n123 an 3 ani注意到 2 3 anJ3 an 1 >022227'因此）可以得出:an+1an ,anan- 1 ,an- 1an-2）a2al1f 相同的符号要使an+1>an对任意臼然数都成立，只须a2-a1>0即可.由 J3 a1 a1>0,解得：0<a1<3 22（出）用与（11）中相同的方法，可得当日>3时

18、，an+1<an对任何自然数n都成立. 2因此当 a1=2 时，an+1 an<0S= b+b2+bn=| a2- a1| + |a3- a2| + + | an+1an|=a1 - a2+ a2- a3+ an- a+1=a1 an+1=2 an+1又：an+2= '3an 1 < an+1,可解得 an+1>V,22，,一3 1故 Sn<2 =2 21.16.(1)令 1 - t ,由 x>0, 1- t>1 , xxt 11原不等式等价于1 1 lnt t 1 t令 f(t)=t-1-lnt ,1 , f (t) 1 一当 t (1,)时

19、，有 f (t) 0, 函数 t.f(t)>f(1)即 t-1<lnt1t 1另令g(t) lnt 1 丁则有g (t) 正 0- g(t)在(1,)上递增，g(t)>g(1)=0f(t)(1,）递增1 x (n-1)并相加得,3. nln 一 ln2n 11lnt 1 一 t-1 x 1综上得ln x 1 x(2)由(1)令 x=1,2,111, 2ln -7.(1)易求得nan P(2) f(n)1 cnaiC2a22n Snp)n1TV作差比较易得：f(n 1) -p- f(n) 2P(3)当 n1时，不等式组显然成立.2时,先证 f(1) f (2)f (2n1)p1

20、)2n 1由(2)知P 1 f(n 1) P ,f(n) P 1P 1 2(p J f(nP 11)1)nf(1)(JnP 1、n/f (n) () (n2P2)2n 1f(i)i 1p 12p与1)2(P2P11)2n 1 P 12pP_1)2n 1 2PJ1"p1P 1 1 (P 1)2n 1P 1 2p再证 f(1) f (2)f (2n 1) (2n 1)f (n)f (1) f (2n 1) 2 , f (1) f (2n 1)1 P/_Pxn I1()2n 12nP 21 (P P) P2n 1、 2n2n 12n “ n、2而 1(P P) P 1 2 P P P (1

21、 P )f(1) f(2n 1) 2jf(1) f(2n 1)23L 1nP 21 (1 P )21 p (1T£)n I 1 n|2()(?尸广 2f(n)P 211Pl P 21 p同理：f(2) f(2n 2)2f(n) , f(3) f(2n 3) 2f(n),，f (2n 1) f (1) 2f (n)以上各式相加得：2 f(1) f(2)f (2n 1)2(2n 1)f (n)2n 1即 f(i) (2n 1)f(n).i 18. (1) a2a6a3 a5 10,又 r a2 a621a2a6 lg b.S12lg 3,b19,当 n 2 时，lgbn Sn Sn1 l

22、g9910bn10a27a634 a27右 ，则an 9 n, a101与an 0矛盾;% 3a?3右，则an n 1,显然an0 ,a67an n 1n 19n 1 时，bn 9 b1，bn 9 ,n N10bn 19bn10一 I，、一9， ，一 ，一数列是以9为首项， 三为公比的等比数列。10n 1一9(3)cn 9 n 1 一，设ckk 2是数列cn中的取大项，则10Ck Ck 1由k k 1 可得8 k 9Ck Ck 179数列Cn有最大项，最大项是 C8 c9 81 。109. (1)由(3 m)sn 2manm 3 得(3 m)sn 1 2man 1 m 3,两式相减得(3 m)

23、an 1 2man,m3,an 12manm 3an是等比数列。(2)bia11,qf(m)2m ,n Nm 3bn3 f(bn1)22bnbn 1bnbn 13bn3bnbnbn 11bn是1为首项1为公比的等差数列31bnbn（I）经计算a33,a45,a610.当n为奇数时，an 2an即数列an的奇数项成等差数列,a2n 1 a1 (n1)2 2n当n为偶数，ana2n a21-an，即数列an的偶数项成等比数列, 2（2）n（n为奇数）因此，数列an的通项公式为an1 n (2)2（n为偶数）()bn(2n 1)Sn3(2)21 2Sn （1）、(2)(，5 (2)33 (2)3(2

24、n 3)(2)n(2n1)(2)n(1)1(2)(2n3)(2n 1)1 n 1(-)(2)两式相减，1 1 2(1)2 ()3222,1 . n _(2) (2n1)（手21 (1)n1Sn3(2n123)(1)n -2(2n11）（2）1、n 1(2n 3) (2)11.设2口的公差为d,首项为4解得(2)a4a8a1a5 aa921,dn 2时,的第一项是数列所以Tn 2n 1当n=1时，T1(3)S8T122则S8255a112.( I )由即 210(a21可得210 1因为ana7a152,4al8 al则an在前n-1an中的第a2n 12718d84d2n48(1)(2)23。

25、组中共有项数为:2n 1项，且第222n 22n 1 1。故第n组中n组中共有2n 1 项。1 2n21(2n 1 1)d3 22n 2 242n 121也适合上式，故.丁8。即数列28 1255 o255 254 d210S301a2210/q (a110,所以（n）因为SnTn3 22n 224 2n 1。an前8组元素之和,且这 8组总共有项数255 (2101)S20S10a30)a12a11a20 )a12a11c10 102 qan是首项a1、121)255 254 2 594152-10 _0 得 2 (S301,解得q1一、公比 2S20)S20S10,a12a20 1 Eg一

26、,因而 an21 , 一 一的等比数列,2aq1, -n , n 1,2, 2n112(1 ”)1 122n，nSnn2n则数列nSn的前n项和Tn (1 2n)”(121 (2n2n2221n2n 1).前两式相减,n(n 1)4得Tn2112(1 F)1 121 (1 2213.(1) 现1 时，fi(x)又对任意的bn)即Tn| sin(x(1 .L12 22n(n 1)2_1)上2 n2n 1上工2. 2n 12nai) | |sinx|, x 0©,0,1), f1(x)b总有两个不同的根，a2f1(x) sinx, x 0, ,a211由，f2 (x) | sin (x

27、a2) | | sin (x22. x ,)| |cos |,x ,a3 2对任意的 b 0,1) ,f1(x) b总有两个不同的根，a3 3,11f3(x) |sin (x a3) | |sin (x 3 ) |331|sin- |,x 3对任意的b 0,1), f1 (x)b总有两个不同的根，a4由此可得an 1an n ,n(n 1)2(1)当 n 2k,k Z, S2ka1a2a3a4a2k1a2k Sn14.(2)(3)(a2当n 2k(n 1)(n(1)a30(0,a1) (a4 a3)(2k1)(a2ka2k 1 )k2n2- Sn2 n41,k Z , Sa-S2ka2k 1k

28、2(2 k 1)2k(n1)(n 1)41)a1010. a202a20 10d)时，.1010d40,101a30所给数列可推广为无穷数列列，当n 1时，数列a10n, a10nd2(d0),10 d(10,an ,其中,a10是首项为1,公差为1的等差数1 , a10 (n 1)是公差为dn的等差数列.研究的问题可以是：试写出a10(n 1)关于d的关系式，并求a10(n 1)的取值范围.in I-，lOx-dloCfl+a胡究的结论可以是；由人口 =.十1口屋=1如十d十/十史),依次类推可得由彘+1)= 1口(J + &4+ d*上 当状口时，的牛的取值范围为弊一15.(1)由

29、已知得f n2n 3 f，4当n 2时，f 2-4 1同理可得f 3,f352n31卜面用数学归纳法证明当时,n 2, n163分猜想成立由上面的计算结果知成立假设时， 成立，即时,那么当时,也成立综合所述，对成立。(2)由(1)可得16.(I )解：由(II )由，数列是以Si+1=2为首项，以2为公比的等比数列,当n=1时ai=1满足(III ),得，则当n=1时,即当n=1或2时,当n>2时，17.(1)由条件 an+1=2an2+2an,得 2an+1+1 = 4an2 + 4an+1 = (2an+1)2. . bn是“平方lg(2 a+1+1)递推数列.，lg bn+1 =

30、2lg bn. lg(2 21+ 1) = lg5 W 0,，=2. . - lg(2 anlg(2 an+ 1)+ 1)为等比数列.(2) lg(2 a1+1) = lg5 , lg(2 an+1) = 2n1 Ig5 ,2an+1 = 52,an=1(52-1). lgTn=lg(2 ad1) + lg(2 氏 + 1)+lg(2 an+1) = lg5 .(1 ,2) =(2n1)lg5 .1 22n 1Tn=521lgTn=(2 n- 1)lg5lg(2an+1)=2n 1lg52n 11 n 12n-1 = 2-2一 八 一 11 2. .S=2n1 +2+ 2 +1 n121- = 2n-211-22，= 2n-2+1 n221由 &>2008 得 2n 2+2 2n>2008, n+ 2 n>1005,一 1 n当 nW 1004 时，n+ 2.显然数列.若其为等比数列，有,与题设矛盾cos A cos B、 a bcosC成等差19. (1)解得(2) 7分是公比为8的等比数列10分20. (I)(II )当 k=2, 3, 4, 5,时, a11,1 nV 1005,当 n>1005 时，n+ 2 &g