因式分解(分组分解法)

1、主课题：因式分解(分组分解法)教案目标：1. 了解分组分解法的概念；2. 掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；3. 通过因式分解的综合题的教案，提高综合运用知识的能力。4. 渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法。教案重点：1. 在分组分解法中，提公因式法和公式法的综合运用；2. 通过观察、分析及尝试比较，找到合理的分组方法。教案难点：1. 对较复杂的多项式分解因式；2. 灵活运用已学过的因式分解的各种方法；3. 正确地分组，熟练地掌握学过的方法，且能通过分析、预见到分组后的情况。考点及考试要求：教案内容【知识要点】1. 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法；2. 利用分组分解

2、法分解因式的多项式特征：(1)多项式的项数一般大于三项；(2)分组后各组可利用提取公因式法、公式法或十字相乘法进行分解；(3)各组分解后，整个式子又可继续进行因式分解。【方法归纳】常见的分组方法有：2(1) “2理分为两组，每组两项，每组先提公因式，再总体提公因式，如x -xy-2x + 2b；(2) -1”型：“貌可用完全平方公式的三项式，整体是平方差公式，如x2-2xy + y2-9；(3) “3+2'： "提可用完全平方公式的三项式，“友可以提取公因式的二项式，总体可以提取公因式，如 x2 -2xy + y2 +ax ay ；22.2.2.2(4) 2+2+或 3+碑，

3、如 3a 3ab +2ab2b a + b, ax +bx +bx + ax+cx +cx ；22(5) 3+2+型,如 x 12xy+36y 6x+36y+8.、复习引入1 .分解因式： 9 9_(1) (a+b)x+(a+b)y； (2) I6t 一49；.2.1.22.(3) a ab+b ；(4) 6x x1.4通过练习，回顾已学的因式分解方法。ax+ ay + bx-¥ by = (tix + ay) + fix + 助 :=(z + y) + i(x+y)i = 0+ 以&+A)2.多项式ax+ay+bx+by能因式分解吗？怎样分解？ 观察多项式ax +ay +b

4、x +by ,启发分析如下：(1)它的各项无因式，不能用提取公因式法分解；(2)这是一个四项式，也不能直接用公式法或十字相乘法分解;(3)仔细观察多项式的各项，发现：前两项有公因式a ,后两项有公因式b ,分别提取公因式后整个多项式有了公因式x + y ,于是可再提取公因式分解因式。ax +ay +bx +by = (ax +ay) +(bx +by) =a(x + y) +b(x + y) = (x + y)(a +b).指出：这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。一般地，项数超过三项的多项式，若无公因式，则应思考用分组分解.上例的模式为两两分组提因式，即“2+2型。二、讲解例题，应用

5、新知321 .例1 分解因式：x -x +x1 .分析：若按第1、2项一组，第3、4项一组分组，则第1、2项这组提取公因式x2后,全式出现了公因式 x -1 o解：x3 x2 +x _1 = .强调：分组的目的是为了构造全式的公因式，以分解全式。思考1:例1能否按第1、3项一组，第2、4项一组来分组分解？还有其它分组的方法吗？分析：如图，的两分组，确建了一组的同时，也就确定了另一组。解：能按第1、3项一组，第2、4项一组来分组分解：3222x -x +x1 = =x(x +1)(x +1)=.能按第1、4项一组，第2、3项一组来分组分解，但要用立方差公式：32322x -x x -1 = x-

6、1 一 x x = (x-1)(x x 1) f x(x-1)强调：分组的方法不一定唯一，只要能构造出分解全式的条件即可。思考2:引例还有其它分组的方法吗？解：能按第1、3项一组，第2、4项一组来分组分解：ax +ay +bx +by = ax +bx +ay +by = (a +b)(x+ y).不能按第1、4项一组，第2、3项一组来分组分解：ax +ay +bx +by = ax +by +ay +bx = ?2 .例2 分解因式：a2 +2ab+b2 c2.分析：先作两两分组尝试得知：此时，不管怎样分组，分组后都不能用提取公因式分解因式。注意到前三项是一个完全平方式，能分解成(a + b

7、)2,这样全式可用平方差公式分解因式。解：a2 +2ab +b2 -c2 =(a2 +2ab +b2) -c2 =(a +b +c)(a +b -c).本例的模式为一三分组用(平方差)公式，即“-1”型。3 .例3分解因式：22_(1) x 4xy +4y 2x+4y;22(2) x 2xy y _2x 2y 8.分析：这两个多项式均大于四项，不能按前面的方法分解因式。观察它们的特点，发现前三项是可用完全平方公式的三项式，后面两项是可以提取公因式的二项式，这时多项式(1)总体可以提取公因式，多项式(2)可将x+y看作一整体，可继续运用十字相乘法分解因式。解：(1) x2 -4xy +4y2 -

8、2x +4y =；22(2) x +2xy+y 2x2y8=本例的模式为“3+2型；(2)的模式为“3+2+1'型。4.例 4 把 a4b+2a3b2a2b 2ab2分解因式.问：观察这个多项式有什么特点？是否可以直接运用分组法进行因式分解？分析：这个多项式的各项都有公式因ab,可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式。解：a4b+2a3b2 a2b 2ab2=ab()2 一一=ab()-() =aba (a+2b)-(a+2b)=ab=ab(a+2b)(a+1)(a 1).强调：分组分解法分解因式， 分组时应预见到下一步分解的可能性，各组能提公因式或运用公式、或运用十字相乘

9、法分解因式，并在各组分解的基础上，能完成全式的分解。三、练习巩固1 .对多项式4x2+2x-y2 -y用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()2222A. (4x2x) -(y y)B. 4x (2 x - y - y)2222C. (4x - y ) (2 x - y)D. (4x - y) (2x - y )2 .多项式ad +bc ac bd可以因式分解为()A. (a+b)(c+d)；B. (b -a)(c-d)；C. (a -b)(c +d)；D. (a -d)(b-c).1332 2.3 .已知xy=9, xy =-,那么多项式xy+xy 2xy的值是()A. 3;B. -3;C

10、. -27;D. 27.4 .把下列各式分解因式232 ax+ay+x + y;(2) ax -a -2ax-2a ；一 .22(3) 4 -a +2ab -b ；2_2(4) 36a 25b 10b1;22(5) m 10mn +25n 3m+15n ；22(6) x 2xy y - 3x - 3y - 4 .2 2236 .用两种分组方法对多项式 4x y -3axz+3y z -4ax进仃因式分解。7 .下面的因式分解对不对，原多项式能分解因式吗？怎样分解？2a 2b-ax bx =(2a 2b) - (ax bx) =2(a b) -x(a b) = (a b)(2-x).若原来的多项

11、式改成 2a -2b -ax +bx ,能分解因式吗？怎样分解？8 .如果2b=3a+c,那么9a2 4b2 +4bc c2的值是不是一个定值？并说明你的理由9 .已知a3 -a2 -16a +m有因式a-4,请猜想整数 m的值，并将该多项式进行因式分解。四、小结因式分解的一般思考步骤：一看有无公因式，二对乘法各公式，三用十字相乘凑，四想如何来分组。每个因式细检查，分解必须至最末。顺口溜：首先考虑公因式，分组要有预见性，符号不要弄错了，分组不同结果同，完全分解要记牢!五、拓展练习1.分解因式(2) 2(a2 3mn)+a(4m 3n);2 52 422(1) a x a x -a -a x_

12、3_ 2_ 2_(3) 3x +6x y 3x z 6xyz ；222 c-，(4) x +y -z -2xy -2z -1 ；22_(5) m +n -8m +8n 2mn +16 ;，、2八、，,、(6) (c - a) -4(b - c)(a - b).2 .在多项式x. .2.3 . 4.已知ax=1,求多项式1(a b)x abx的值。 -y2 +2x+()的括号中填上一个单项式，使这个多项式能够进行因式分解，并将它分解因式(要求：请写出四个不同的单项式). 423 .小杰用了两种分组方法对多项式a -a +4a-4进行因式分解，分解的结果不相同,你能帮小杰说说哪种方法分解到最后了呢

13、？(1) a4 -a2 4a - 4 = (a4 - a2) (4a -4)=a2(a 1)(a -1) 4(a -1)3 2=(a T)(a a 4).4 24, 2、(2) a -a 4a 4 = a (a - 4a 4)二 (a2)2 -(a -2)2= (a2 -a 2)(a2 a -2)= (a2 -a 2)(a -1)(a 2).5.已知 a、b、c是 ABC的三条边,222 22 2求证：代数式（a +b c ） -4a b的值一一定是负数。六、作业1.填空2(1) 一(ab) (a-b) = -(ab)();-2，、，)=()(1+ x).(2) mx + mx - n - n

14、x = mx ()- n( 2.选择222（1）用分组分解法把多项式 9x -4y -z +4yz分解因式，下列各式分组正确的是（）12 / 10222A. (9x -4y ) _(z -4yz);C. 9x2(1) a -b +2a+2b； -(4 y2 -4yz+z2)；2 一 2(2)分斛因式x -4y x2y得A. (x-2y)(x+2y-1)；C. (x+2y)(x+2y+1)；3.把下列各式分解因式222B. (9x - z ) - (4 y 4yz);D. 9x2 -(4 y2 4yz z2).()B. (x+2y)(x+2y-1)；D. (x+2y)(x-2y-1).2 一 一(2) a -ab -4b +4a ；一 222,2 2(3) a +2ab+b _c ；(4)1 _m +4mn_4n222(5) x +2xy+y +2x+2y；(6) 2x +4xy-6ax+ 3ax-2y.4.当x=2时，求代数式2x3 2x2y +8y 8x的值。3_ 3 .2_ 2 .5 .已知a、b是不相等的正数，比较 a +b与a b+ab的大小。6