数列题型及解题方法归纳总结材料

1、实用标准数列数列的概念r-等差数列等差数列的定义 an an=d(n之2)等差数列的通项公式 等差数列的求和公式 、等差数列的性质 anan = a1 +(n -1)dcn /，、Sn = 一 (a1 +an) = na2+ am = ap +aq (m + n =等比数列J等比数列的定义三=q(n22) an _L等比数列的通项公式an =a1qna1 anqa1 (1 - q )等比数列的求和公式Sn=< 1q1 -qna1(q =1)'公 分 错4裂 倒 累 归式法 组求和 位相减求和 项求和 序相加求和 加累积纳猜想证明、等比数列的性质 anam =apaq(m +n =

2、 p +q)数列 求和数列的分类数列的通项公式.函数角度理解、数列的递推关系n(n -1)H id2 p q)(q =1)数列的应用分期付款其他知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、 求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可精彩文档能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+产a+d及an+i=qan (d, q为常数)例1、 已知an满足an+1=an+2,而且a1。求an。

3、例1、解:an+1-an=2为常数，an是首项为1,公差为2的等差数列 - an=1+2 (n1 ) 即 an=2n11例2、已知an满足an+ = 一 an,而a = 2 ,求& =?2解二3 二m是常数%2，%是以2为首项，公比为;的等比数列 / = 2 ( - ) 11-1 = 27(2)递推式为 an+1=an+f (n)11例 3、已知an中 a = 一，an+ = an +2，求 an.24n2-1一1111解：由已知可知an+an=-(-)(2n 1)(2n-1)2 2n-1 2n 1令 n=1, 2, , (n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加，即(a2-a 1)

4、+ (a3-a2)+ + ( an-a n-1 )1/1、 /11、 < 1 1 J + l) + " + )2l 33 52。- 3 2n-l W (I-实用标准说明只要和f11 4n - 3an=a1.一(1 -)=2 2n -1 4n -2(1) +f (2) +f (n-1 )是可求的，就可以由an+产an+f (n)以n=1, 2,，(n-1)代入，可得 n-1个等式累加而求 an。(3)递推式为an+1=pan+q (p, q为常数)例 4、an中，a1 =1,对于 n>1 (n e N)有 an =3an,+ 2 ,求 an.解法一：由已知递推式得 an+1

5、=3an+2, an=3an-1+2。两式相减：an+1-a n=3 (an-an-1)因此数列an+1-a n是公比为3的等比数列，其首项为a2-a 1= (3X 1+2) -1=4.an+1-an=4 -3n1;an+1=3an+23an+2-a n=4 -3n-1即 an=2-3n-1-1解法二：上法得a n+1-a n是公比为3的等比数列，于是有：a2-a 1=4, a3-a 2=4 3 a4a 3 =4 , 3 , ，an-a n-1 =4 , 3 ,把 n-1 an=2 3n-1-1个，-舟二4 (他3 + 3/+掷)H(1-产)付1-3说明对于递推式可两边除从严，得j引辅助数列&

6、amp;), &=刀，fbn+ q q qqn(5)递推式为4也=pa。由+ qan思路：设 an2 = pan+qan,可以变形为：an也一aan = p(an(CL + p = p就是广+ 贝阿从科Q * p =-于是a n+1- a an是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。:二二E% + 1后用 q q1a an),解得。，6.精彩文档a + p分析-q2?an+lh+2 fln+l(4)递推式为an+1=p an+q n (p, q为常数)【例5】已知(aj中，(J)叫求M略解在。+工=3+.的两边乘以*得2n+1 * an+1 = -(2%) +1,令勾=2%二I2 n

7、bn+ -bn =一(bn -bn 二) 由上题的解法，得：必=3-2( 一) 33bn q/1 n1nan =- -3(-) -2(-)2n2321【例6】已知数冽闻中,的=2, 9?=%1 +弓On。2CL + 8 = :，+ 为两边减去得=-1 (占 H)a是公比为,首项为时-1的等比数列。"1+价（-；）叩（6）递推式为&与an的关策式此类型可利用FSz【例。设凡）前n项的和4二4工尹,（2）试用n表示an。-（1）求/+i与4的关系;解（1）由S仇=4-=7得51rl4 -4 a*11 :Sn 1 - Sn - (an an 1 ) (n _2 n 4 )22数列求

8、和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比数列）即把每一项都乘以bn的公比q,向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几 项，可求和。11适用于数列1-1一 >和1 1（其中an等差）an an 1 Ia -1 an - an，1 |可裂项为：-1=-（-）,an an 1 d an an 1_1,工an 1 - 2 an2n上式两边同乘以等差数列前n项和的最值同题：2n+1得2n+1an+1=

9、2nan+2则2 nan是公差为2的等差数列。2nan= 2+ ( n-1 ) 2=2n1、若等差数列 an的首项a1 A 0 ,公差d < 0 ,则前n项和Sn有最大值。4an - 0(i)若已知通项an,则Sn最大仁n nan 1 M 0(ii)若已知 & = pn2+qn,则当n取最靠近-9 的非零自然数时 S最2p大；2、若等差数列an的首项a1 <0 ,公差d a0 ,则前n项和Sn有最小值an < 0(i )若已知通项an ,则Sn最小£ n；an 1 二 0(ii)若已知Sn = pn2+qn,则当n取最靠近q-的非零自然数时 Sn最2p小；数

10、列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn(即a1+a2+"|+an= f (n)求an,用作差法特别地，(1)形如an = kan十b、an = kan+bn (k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列 后，再求an ；形如an = kan/+ kn的递推数列都可以除以 kn得到一个等差数列后，再求an °(2)形如anan-1 的递推数列都可以用倒数法求通项。kanb(3)形如an由 = ank的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到an+- an=d或a" = q时，分奇数项偶数

11、项讨论，结果可ana _；S,(n =1)anSn -Sn4,(n -2)f(1),(n=1)已知现占2_an =f (n)求an ,用作商法：an = < f (n) (f，(n-2)已知条件中既有S还有an,有时先求Sn ,再求an；有时也可直接求an。 若 an«an = f(n)求 an用 累 加 法an =(an -an4) (an4 -an?) Ill (a2 -ai)+a(n 之 2)。已知且土 =f(n)求不，用累乘法：a。： an .an .川,还ai"会)。 anan 1 an -2ai已知递推关系求 a ,用构造法(构造等差、等比数列)。能是分段

12、形式。数列求和的常用方法：(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与 组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是 等差数列前n和公式的推导方法).(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n和公式的推导方 法).(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消

13、法求和.常用裂项形式有：=(1L)；n(n 1) n n 1 n(n k) k n n k，111/11 2 :二-=一( )k k -12 k -1 k 11111111=<=-k k 1 (k 1)kk2(k -1)k k -1 k1n(n 1)(n 2)1(n 1)(n 2)n(n 1)!11n! (n 1)! 2( . n 1 一4n)2：: 1 :二 2n - Jn 1 n n ： Jn -1=2(、, n _、一 n _ 1)、解题方法:14 (n = 1) a0：2n (n . 2)练习1数列an满足 Sn+Sn41 =9an书，a1 = 4,求 an 3(注意到an+ =

14、Sn+ - Sn代入彳导: ' =4 Sn又S1=4,.Sj是等比数列，Sn = 4n求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an(n=1 时，a1 =S1, n 至2时，an =Sn -Sn)3、求差(商)法如：an满足 1al + 12 a2 + + 1 an = 2n + 5< 1 >n 222 42 n n1解：n =1 时，-a1 =2 1 5, . a1 =142r, 111n 圭2时，-a1 +7a2 + +ran= 2n1+5<27 2 1 2222 n n1八<1 > -<2 > 得:an =22 n nn 1an =

15、2n 之 2时，an = Sn - Sn/=3 , 4n_14、叠乘法例如：数列aj中，a1=3, an+=n ，求anan n 1解：呢趣二 2a a 2a n _1 233又a1 =3, . . an =n5、等差型递推公式口n a1n由an - an=f (n), a1 = a0,求an,用迭加法n 之 2时，a2 - a1 = f (2)a3a2=f(3)两边相加,得:an an口 = f(n),an -ai =f(2) +f(3)+f(n).an =a0 +f(2) +f(3) +f (n)练习1数列an, a1 =1, an = 3n,+an(n 之2卜 求an1(an =1(3n

16、 一1)6、等比型递推公式an =can+d (c、d 为常数，c#0, c#1, d#0)可转化为等比数列，设an x c an4 x二an 二canc-1 xad令(c-1)x=d, . x =c -1：4an + l是首项为a1c为公比的等比数列c -1c -1 1)7、倒数法例如：a1 = 1, an41 = 2an ,求 an an 2由已知得：,二更一2三1. an -1 2an2 an111 -二一an 1 a n 2为等差数列，- = 1,公差为-an Ia121an一 c -1+旦 c -1=1 +(n -1) an+qI c -1练习1数列 <an满足a1 =9, 3

17、an由+an=4,求an2.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 下公式对求和来说是有益的。1 + 2 + 3+n =口8+1)n项和公式求和，另外记住以1+3+5+十 (2n-1)=n1 + (n3 + n -1)2，转化为等差数列或等比数列求和。+ 2 (门2-2) +3 , (n2-3 2) +n (-n?)Cn + 1) (n -1)例 10、解 Sn =Q*c0+3Cn+6Cn'+|+3nCrn+ 2' +寸+n2 =-F+23+33+/=半与。 心【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17

18、+19),前 n 项的和。1 ,、解本题头际是求各奇数的和，在数列的刖n项中，共有1+2+n=n(n+1)2个奇数，最后一个奇数为：1+ 1 n(n+1)-1 x2=n2+n-12因此所求数列的前 n项的和为=yn (n + 1) * 二;i? (n + 1)(2)、分解转化法对通项进行分解、组合例9求和S=1 (n2-1 )解 S=n 2 (1+2+3+n) - (13+23+33+/)rCn+1) . g+d =1 2 4n4n(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒 着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn = 3C：+6C；+IH

19、+3nCrn又Sn = 3nC：+ 3 (n -1) C，】 +0C： 相加，且运用ct = cF可得2sli = 3n © +C： + +喘)=3-21kSn=3n - 2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例 11、 求数列 1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 项的和.解 设 S=1+3+5x2+(2n-1)x n-1 .当x = 1时,SB=, n=nJ.(2)x=0 时，S=1.(3)当xw。且xw1时，在式两边同乘以 x得xS n=x+3x2+5

20、x3+(2n-1)x n,-，得(1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ - +2xn-1-(2n-1)x n.由公式知 -1 +-(2n-l)xn_ l + x ll. + D.11 +(2n l)xM+i(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：n(n +k) k n n + kj解依题意，设f (n) = 口的+ 口( " d1_ 1T111 'n(n + l)(n -+ 2) 2n n + 1 n + 2再中而侃例12、求和十 十 十川1 *5 3 *7 5 *9(2n-1)(2n 3)1 1 1 1伊3 求和+1 - 5

21、3 - 7 5 -9(2n-l)(2n+3)51111 (科-1?(2nl+3) f2n-l a+ 3 Jt 1.§ 1 +4F ' " + j11a 4l 5 3 7 5 92n-3 2n+l 2n -1 2n + 3J1 1 1 1# -r i +1# 3 2n + l 2口 + 3n(4n+5)# 父2口 +1)(2力+ 3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题 时的应用。二、常用数学思想方法1 .函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列an的首项ao0,前n项的和为Sn,若S=Sk (l wk)问n为何值时Sn最大？此函数以n为自变量的二次电散a1