等腰三角形三线合一典型题型[1]

1、等腰三角形三线合一专题训练例1 如图，四边形 ABCD中，AB / DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。DBC = 3, CD = 1, E是AD边中点。求证:CE 丄 BE。变2：如图，四边形 ABCD中，AD / BC, E是CD上一点，且 AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.1求证：AE丄BE;2求证：E是CD的中点；3求证：AD+BC=AB.an变3: ABC是等腰直角三角形 ，/ BAC=90 ,AB=AC.假设D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、AC 于 M、N，求证：1DM = DN。AC延长线交于M、N。问D

2、M和DN有何数量关系。：如图,AB=AC , E 为 AB 上一点,F是AC延长线上一点，且 BE=CF , EF交BC于点D .求证：DE=DF .：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且， EF交BC于点D，且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在 ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点，PCL AB于D, PEL AC于E, ?CF丄变1假设P点在直线BC上运动，其他条件不变，那么PD、PE与CF的关系又怎样，请你 作图，证明。1等腰三角形的两边长分别为4、9,那么它的周长为A 17 B 22 C 17 或 22

3、D 13根据等腰三角形的性质寻求规律1 1例1.在 ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= / ACB BD与CE相交于点 0,如图，/ B0C的大小2 2与/A的大小有什么关系？11BOCWZ A大小关系如何?假设/ 1=丄/ ABC / 2=丄/ ACB那么/3 3三角形的腰长及底边长.利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ1观察并猜测 AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2假设PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断 PQC勺形状，并说明理由.例

4、1、等腰三角形底边长为 5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两局部，那么腰长为A、2cmB 、8cm C 、2cm 或 8cm D 、不能确定例2、ABC的高，AB=AC ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。例3、如图， BC=3,Z ABC和/ACB的平分线相交于点 0, 0E/ AB, OF/ AC,求厶OEF的周长。例4、如图，等边厶 ABC中，D为AC上中点，延长 BC到E,使CE=CD连接DE试说明DB=DEA例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，那么这个三角形是A、锐角三角形 B 、钝角三角形C 、等边三角形D 、等腰直角三角

5、形例6、 1等腰三角形的腰长为 10,底边上的高为6,那么底边的长为 。2直角三角形的周长为 12cm斜边的长为5cm,那么其面积为 3假设直角三角形三边为 1, 2，c，那么c=。例7、以下说法：假设在 ABC中a2+b£,那么厶ABC不是直角三角形； 假设 ABC是直角三角形，/C=900,那么a2+b2=c2; 假设在厶ABC中，a2+b2=c2,那么/ C=9d; 假设两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 把你认为正确的序号填在横线上。例8正三角形 ABC所在平面内有一点 P,使得 PAB PBC PCA都是等腰三角形，那么这样的P点有 A

6、1 个B4 个C7 个D10 个9.四边形ABCDL AE=BC/ AB(=Z CDA90°, BE! AD于点E,且四边形 ABC的面积为8,那么BEA.B. 3C.2 2D. 2 310. ABC为正三角形,P为其内一点，且AP=4, BP=2 3 , CP=2,那么厶 ABC 的边长为A2 5B2 7C4D4 2三.稳固练习1、等腰三角形的一边等于5,另一边等于9,求它的周长。2、在厶 ABC中，AB=AC / B=400,那么/ A=3、等腰三角形的一个内角是700，那么它的顶角为 4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为5、如图，在 Rt ABC中

7、，/ 8 105°，直线 BD交 AC于 D,.140 。呢把直角三角形沿着直线 BD翻折，点C恰好落在斜边 AB上,如果 ABD是等腰三角形，那么/ A等于(A)40 °(B) 30 0(C) 25°(D ) 15°6、假设 ABC三边分别为2 2 2a、b、c,且满足 a+b+c+50=6a+8b+10c,那么厶 ABC的形状为A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是 丨。A、有一腰和一角对应相等BC 、有顶角和一个底角对应相等D&等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于A、顶角 B 、底角 C

8、 、顶角的一半、有两边对应相等、有两角对应相等D 、底角的一半9、在等腰三角形 ABC中，/ A与/ B度数之比为5： 2,那么/ A的度数是A、100° B、75° C 、150° D 、75° 或 100°BAC=10、如图，P、Q是厶ABC边BC上的两点，且 QC= AP= AQ= BP= PQ 那么/CBD11、A、1250、1200、1300、90010题图12、如图，AB= AC,11题图AE= EC, / ACE= 280,那么/ B 的度数是12题图A 、600B 700C 760D 45013、如图是一个等边三角形木框，甲虫P

9、在边框AC上端点A C除外，设甲虫P到另外两边距离之和为 d，等边三角形ABC的高为h, 那么d与h的大小关系是【解题方法指导】例1.，如图，AB = AC = CD，求证：/ B = 2/ D例2.，如图， ABC是等边三角形， AD/BC , AD丄BD , BC = 6，求AD的长。【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大,但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】例1. 2005年 苏州如图，等腰三角形 ABC的顶角为

10、120°,腰长为10,那么底边上的高 AD =例2.，如图，ABC中，/ C = 90°, AB的垂直平分线交AB 于 E，交 AC 于 D , AD = 8，/A = 30°，求CD的长。B例3.，如图， ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且 AE = CD，又BD 与CE交于点F,试求/ BFE的度数。【综合测试】1.，如图,CAB = AC，/ ABD =Z ACD，求证：DB = DC2.，如图,D、E 是 BC 上两点，AB = AC , AD = AE，求证：BD = CE3.，如图,ABC 中，DE/BC , AB = AC，求证：

11、AD = AE4.，如图， 又BD = CE,求证:5.，如图,ABC中，AB = AC , D是AB上一点，E是AC延长线上一点， DE交BC于F,DF = EFED是BC上一点， ABC、 BDE都是等边三角形，求证： AD = CE6. ，如图， ABC中，/ B = 90°, AC的垂直平分线交 AC于D，交BC于E,又/ C= 15 EC = 10,求AB的长。图5例6、如图11，在 ABC中，/ A = 90° AB = AC , D为BC边中点，E、F分别 在AB、AC上，且 DE丄DF，求证：AE + AF是一个定值.证明：连接AD ,/ AB = AC ,

12、 D 为 BC 中点， AD 丄 BC ,/ BAC = 90°, AB = AC ,B =Z C = 45°,/ BAD = 45° , / CAD = 45° , AD = BD = CD ,/ EDF = 90° , EDA + Z ADF = 90° ,又由 AD 丄 BC 得/ BDE +Z ADE = 90° ,BDE =Z ADF ,在厶 BDE 和厶 ADF 中，/ B = Z DAF , BD = AD , / BDE =Z ADF , BDE ADF , BE = AF , AE + AF = AE +

13、BE = AB定值.思考：四边形 AEDF的面积是否也是定值呢？为什么?例4、如图9,ADABC的高，E为AC上一点,BE交AD于F ,且有BF = AC , FD = CD ,你认为 BE与AC之间有怎样的位置关系 ？你能证明它吗？证明：线段BE丄AC ,理由如下：/ AD 丄 BC ,ADB =Z ADC = 90°/ FBD +Z BFD = 90° ,在 Rt BDF 和 Rt ADC 中，BF = AC , FD = CD , Rt BDF 也 Rt ADC ,/ BFD =Z C，/ FBD +Z C = 90°/ BEC = 180° /

14、FBD +Z C= 180° 90° = 90° ,即 BE 丄 AC.例 5、如图 10，在 ABC 中，/ ACB = 90° AC = BC , M 是 AB 上一点，求证：AMBM 22CM 2.图10证明：过C作CD丄AB于点D,/ ACB = 90° AC = BC , CD 丄 AB ,./ A = Z B= 45° / ACD = Z BCD = 45° ,/ A = Z ACD，/ B = Z BCD , AD = BD , BD = CD，即 AD = BD = CD , CD 丄 AB , DM 2 C

15、D2 CM 2 , AM 2 BM 2 (ADDM )2 (BD DM )22(DM 2 CD2) 2CM思考：请同学们试试用另外的方法来证明此题例1、如图5，在 ABC中，AB = AC,点O在厶ABC内,OB = OC，求证：AO 丄 BC.证明：延长AO交BC于点D ,/ AB = AC , OB = OC , OA = OA , ABO ACO , / BAO =Z CAO，即/ BAD =Z CAD , AD 丄 BC，即 AO 丄 BC.例2、如图6，在等边厶ABC中，D、E分别在边 BC、BABD，求证：CE = DE.证明：过E作EF丄CD于点F,/ ABC 是等边三角形，/

16、B = 60° BEF = 30° BE = 2BF，即 BA + AE = BC + BD = 2BC + CD = 2 BC + CF, CD = 2CF , CF = DF ,在厶 CEF 和厶 DEF 中，CF = DF，/ CFE =Z DFE = 90° , EF = EF , CEF DEF , CE = DE.例3、如图7,在 ABC中，AB = AC, P为底边BC上任意一点，PD丄AB于点D, PE丄AC于 点E,求证：PD + PE是一个定值.解：连接AP，过点C作CF丄AB于点F ,由S11ABC-ABCF ， S pabAB PD ,22

17、SPAC1 AC21 PE -AB2PE, S ABCS pabS pac ,得：丄ABCF1-AB PD-AB PE ,222即,PDPECF定值图7说明：本例的结论可用文字语言表达为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高拓展：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢?解：连接 AP，过点C作CF丄AB于点F，如图8由SABC1 AB2CF ， S PAB1-AB PD ,2SPAC1 AC21 PE -AB2PE ,SABCS PABS PAC ,得:1 AB CF21AB PD21AB PE ,2即，PDPE CF定值

18、.即，当点P在BC延长线上时,PPD与PE之差为一定值根底训练：1、填空题：1等腰三角形中，如果底边长为6, 一腰长为8 ,那么周长是。2如果等腰三角形有一边长是6,另一边长是8 ,那么它的周长是;如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是。3等腰三角形的对称轴最多有条。2、填空题：1如果 ABC是等腰三角形，那么它的边长或周长可以是A、三条边长分别是5, 5, 11B、三条边长分别是4 , 4 , 8C、周长为14 ,其中两边长分别是4 , 5D、周长为24 ,其中两边长分别是 6 , 122等腰三角形一边长为2,周长为5,那么它的腰长为A、3B、2C、1.5D、2或3、 等腰三角形

19、的腰长是底边的3倍，周长为35cm,求等腰三角形各边的长。4、：如图，AD平分/ BAC , AB=AC，请你说明 DBC是等腰三角形。x+2y=4的解,5、等腰三角形的底边和一腰长是方程组求这个三角形的各边长。1等腰三角形的顶角平分线、 、互相重合。2等腰三角形有一个角是120 °,那么其他两个角的度数是 和。3 ABC 中，/ A= / B=2 / C,那么/ C=。4在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°,那么用含x的代数式表示y,得y=代数式表示 x,得 x=。2、选择题：1等腰三角形的一个外角为140°,那么底角等于A、40°B、100 ° C、70 ° D、40