线性变换的值域与核

1、§ 6线性变换的值域与核定义6:设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体象组成的集合称为 A的值域， 用AV表示，所有被 A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A(0)表示。假设用集合的记号那么：AV =. A V，AJ(0) = A = 0/V.不难证明，线性变换的值域与核都是V的子空间。事实上，由A A A(： ),kA 二 A(k：)可知，AV对加法与数量乘法是封闭的，同时，AV是V的子空间。由=0与 A =0可知A(：) = 0,A(k ) = 0.这就是说，AJ(0)对加法与数量乘法是封闭的。又因为A(0)=0,所以0 A1(0)，即0 Aa(0)是非空的。因此， A(

2、0)是V的子区间。AV的维数称为A的秩，A(0)的维数称为A的零度。例在线性空间Pxn中令D(f(x) = f (x).那么D的值域就是PX】n4，D的核就是子空间P。定理10 设A是n维线性空间的线性变换，；仆；2，；n是V的一组基，在这组基下A 的矩阵是A，贝U1. A的值域AV是由基象组成的子空间，即2 L(A；1,A；2川 An).2. A的秩=A的秩.证明：1)设是 V 中任一向量，可用基的线性组合表示为：=X1 ；1 X2 ；2 . Xn ；n于是A = x1 A M x2A 2 xn A ；n这个式子说明，A L A ；1,A ；2,.,A ；n ,因此AV包含在L A；1,A；

3、2,.,A；n内，这个式子还说明基象组的线性组合还是一个象，因此L AqA；2,A；n包含在AV内。这样，AV= L A ；1, A 2,., A ；n .2)根据1),A的秩等于基象组的秩。另一方面，矩阵是由基象组的坐标按列排成的。假设在n维线性空间中取定了一组基之后，把V的每一个向量与坐标对应起来，我们就得到V到Pn的同构对应。同构对应保持向量组的一切线性关系，因此基象组与它们的坐标组有相 同的秩。定理11 设A是n维线性空间V的线性变换，那么a的秩+ a的零度二n.证明：设a的零度等于r.在aj 0核中取一组基；仆“III, ；r，并把它扩充成 v的一组基；2,1山；r,Hl, ；n，根

4、据定理10，AV是由基象组A；i，A；2，|,A；r，|H，A；n生成的.但是A；j =0i -1,2,.,r，所以aV是由生成的现在来证明它就是AV的一组基。为此，只需证明它们线性无关。设n、kiA ；j =0i =r 1成立，那么n这说明向量v ki 属于AJ 0。因此可被核的基所线性表示:i知1nr7 « ；i =為«i 1i =1从 it,.,；"., ；n 线性无关推出 ki = 0 i = 1,2,., n.。因此A r 1, A ；r 2 ,., A ；n线性无关，A的秩=n-r,于是A的秩+A的零度=n.推论对于有限维线性空间的线性变换，它是1-1

5、的充分必要条件为他是映上的。证明：显然，当且仅当 AV=V，即A的秩为n时，A是映上的；另外，当且仅当A4 0二即A的零度为0时，A是1-1的；于是由上述定理即可得出结论。例 设A是一个n n矩阵，A2 =A。证明A相似于一对角矩阵10< °取一 n维线性空间V以及V的一组基 知，5,，务，务。定义线性变换 A如下：A ；1, ；2,= ；1, ；2,., ；n A我们来证明，A在一组适当的基下的矩阵是1.这样，由定理4,也就证明了所要的结论。由A2 = A，可知A2 = A。如果x三AV，即对某个，那么A -A A：? =A21； - A'-二:因此我们有avDa° °Kd由定理11即得V 二 AV 二 A，° .在AV中取一组基1, 2,., r，在A，°中取一组基r1, r -2,-, n，那么1,., r, r 1,., n就是V