考研冲刺班概率论和数理统计

1、考研冲刺班概率论和数理统计主讲：费允杰、根本概念总结1、概念网络图随机事件PA数字化 '一维随机变量X Fx=PX乞x八大分布0-1、二项、泊松、超几何、几何、均匀、指数、正态 数字特征期望、方差随机事件PAB数字化，二维随机变量X,Y Fx,y = PX乞x,Y乞y两大分布均匀、正态数字特征期望、方差、协方差、相关系数大数定律和中心极限定 理*数理统计四大统计分布正态M2,t,F多维随机变量的函 数分布 '参数估计假设检验2、最重要的5个概念1古典概型由比例引入概率例1 : 3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？例2 :有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取 3个，

2、问其中至少有1个是黑色的概 率？2随机变量与随机事件的等价将事件数字化PX =x =PAP(X = x,Y = y)二 P(AB)例3:甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求：1乙箱中次品件数 X的数学期望。2 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。例4 :将一枚均匀硬币连掷三次，以 X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求X，Y的联合分布律。3分布函数将概率与函数联系起来F(x)二 P(X < x)4离散与连续的关系P(X =x)二 f (x)dxP(X 二 x,

3、Y = y) = f (x, y)dxdy例5 :见“数字特征的公式。5简单随机样本将概率和统计联系在一起样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合n维随机变量。 1 n例6:样本的X 、 Xi是的，个体总体的二EXJ未知，矩估计: n 7V J完成了一个从样本到总体的推断过程。二、做题的佃个口诀16个，统计3个1、概率1 题干中出现“如果、“当、“的，是条件概率。例7: 5把钥匙，只有一把能翻开，如果某次打不开就扔掉，问第二次翻开的概率？X例&设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，所取的两件中有一件是不 合格品，那么另一件也是不合格品的概率为 2 时间

4、上分两个阶段的，用“全概公式或者“贝叶斯公式。例9:玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为 0.8, 0.1 和0.1。一顾客欲购置一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地观察4只；假设无残次品，那么买下该箱玻璃杯，否那么退回。试求：1顾客买此箱玻璃杯的概率；2在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。3“只知次数，不知位置是“二项分布例10:抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率?康用例11: 1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率?例12:某厂家生产的每台仪器，以概率 0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试,经调试后以概率 0.8可以出厂，以概率 0.

5、2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了n(n _ 2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求(1)(2)(3)全部能出厂的概率 a； 恰有两台不能出厂的概率 至少有两台不能出厂的概率(4) “先后不放回取三“任取，是“超几何分布。例13 : 5个球,3红2白，先后不放回取 2个，2红的概率?例14 : 5个球,3红2白，任取2个，2红的概率?CsP32PS(5) “先后放回取例15 : 5个球，ci(3)2(5)55是“二项分布。3红2白，先后放回取 5个，2红的概率?3(6) “直到才是“几何分布。例16 : 4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令 求X的分布律。例17

6、 : 5把钥匙，只有一把能翻开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率? 第一次翻开；第二次翻开；第三次翻开。>X( 3 )为“抽取次数，1(7)求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。例18:设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F (X)在区间(0，1)上服从均匀分布。(8)二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。P(AB)二P(A)P(B/A)，f(x,y)- L P(A)P(B) ' £ (x)f(y/x)fx(x)fY(y)(9)二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。例19:设二维连续型随机变量(X Y)在区域D上服从

7、均匀分布，其中D 二( x, y) :| x y 1,|x - y1,求X的边缘密度fXX。10求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率, 概率区间和所求区域的交集的积分。例20:设随机变量X, Y的分布密度为由画图计算相交局部正3x0 ： x : 1,0 ： y ： x,即(x, y)=<0,其他.试求U=X-Y的分布密度。11均匀分布用“几何概型计算。例21 :设随机变量X, Y的分布密度为0 . x : 1,0 ： y ： x,毋(x, y)=<0,其他.X _k试求 PX+Y>1。Jr12关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函

8、数 可别离变量并且正概率密度区间为矩形。例 22：设 X e (1), Yk =(k=1, 2 ),求:(1)匕二",丫2的分布;(2)Y1与丫2边缘分布，并讨论他们的独立性;3ox(x)=4x , f Wy)=4y-4y，不独立。例 24: f(x,y)=Axy2,0兰x兰2,0兰y兰1、0,其他判断X和Y的独立性。1 1“小亍何斗丁令(13)二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。1例25:设A，B为两个随机事件，且P(A)=-4(I )(n)(川)1,0,二维随机变量A发生，A不发生,1,0,B发生，B不发生.(X,Y)的概率分布；X与Y的

9、相关系数Py ；2 2Z =X Y的概率分布(14)相关系数中的 E(XY)，对于离散型随机变量，根据 型随机变量，按照函数的期望来求。XY的一维分布来求；对于连续-bo例26：连续型随机变量：E(XY)= xyf(x, y)dxdya为最后题目所求，然后找 Y与X的(15)应用题：设 Y为题干中要求期望的随机变量，函数关系，再求E(Y)。k例27:设某种商品每周的需求量 X服从区间10，30上的均匀分布的随机变量，而经 销商店进货数量为区间10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500元；假设供 大于求那么削价处理， 每处理1单位商品亏损100元；假设供不应求，那么可从外部调剂供

10、给，此 时每1单位商品仅获利 300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量量。(16)切比雪夫大数定律要求“方差有界，辛钦大数定律要求“同分布。X > J2、统计(1) 似然函数是联合密度或者联合分布律。n连续型：L(t ,亠，S)f (Xi1，如，订)i =1n离散型：LU ,，暮)：|丨p(Xi ；齐，亠,Cm)i d例28：设总体X的概率分别为X0123p日2 2日(1 -日)日2 1 -2日1其中0 (0<0 <-)是未知参数，禾U用总体 X的如下样本值23, 1 , 3 , 0 , 3 ,1 , 2 , 3求0的矩估计值和最大似然估计值。(2)

11、 “无偏求期望，“有效求方差，“一致不管它。例29:设X1, X2 ,Xn是总体的一个样本，试证(1)AJ1(2)(3)1x151_3X11_3 X13X2101X24-x241X3；25.X3；121X3.12都是总体均值u的无偏估计，并比拟有效性。(3) 标准正态、t分布区间估计和假设检验取关于 y轴对称的分位数，. 2、F分布取面积对称的分位数。三、选择题常考的5个混淆概念1、乘法公式和条件概率10 个,例30: 100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发 30个，棕色头发的男生 任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？取了一个男生，是棕色头发的概率？P(AB) =P(A)P(B/A)

12、2、独立和互斥出设AM?, B工?，贝U A和B相互独立与 A和B互斥矛盾。例31:对于任意二事件 A和B,(A) 、假设AB=，贝U A, B一定不独立。(B) 假设AB=，那么A, B 一定独立。(C) 假设A?，贝U A, B一定独立。(D) 假设A?，那么A, B有可能独立。3、独立和不相关独立是不相关的充分条件。(X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。4、X , Y分别为正态分布，不能推出(X , Y)为二维正态分布;也不能推出 X+Y 为一维正态分布。例32:随机变量 X和Y分别服从正态分布 N (1, 32)和N ( 0, 42),且X与Y的相1 Xy关系数 =

13、 一_，设Z二一-.2 32(1)求Z的数学期望E (Z)和方差D (Z)；(2) 求X与Z的相关系数；Z ；(3) 问X与Z是否相互独立？为什么?例33:设随机变量 X和Y都服从正态分布，且它们不相关，那么(A) X与Y 定独立。(B) (X，-)服从二维正态分布。(C) X与Y未必独立。(D) X+Y服从一维正态分布。Al F5、几个大数定律的区别切比雪夫大数定律要求“方差有界，辛钦大数定律要求“同分布。Jr tV例34：设X1,X2,Xn，,是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布(n=1,2,)，那么随机变量序列 X 1,22X2,n Xn，,:(A) 服从切比雪夫大数定律

14、。(B) 服从辛钦大数定律。(C) 同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。(D) 既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。四、解答题常考的6个题型1、全概和贝叶斯公式例35:在电源电压不超过 200V、在200240V和超过240V三种情形下，某种电子元件2 损坏的概率分别为 0.1、0.001和0.2，设电源电压 XN( 220，25 )，试求(1) 该电子元件损坏的概率 a ;(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率3 °x1J0.100.200.400.600.80 1.001.201.40(X)0.530y0.5790.6550.7260.788 0

15、.8410.8850.919表中(x)是标准正态分布函数。2、二项分布例36:设测量误差 XN( 0，102)。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误 差的绝对值大于19.6的概率a，并用泊松分布求出 a的近似值(要求小数点后取两位有效 数字)。附表:1234567e0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001 3、维随机变量假设随机事件X=0与X+Y=1互相独立，那么A 、 a=0.2, b=0.3C、 a=0.3, b=0.2a=0.1, b=0.4a=0.4, b=0.1例38：设随机变量 X在区间0,1上服从均匀分布，在 X = x0 :I的条件下,随

16、机变量Y在区间0,x上服从均匀分布，求(I )(n)随机变量X和Y的联合概率密度;Y的概率密度；概率 PX Y 1.4、数字特征例39: 一辆送客汽车，载有 m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车，假设到达一个车站，没有乘客下车就不停车。 设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。例40:今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求1 X，Y的联合分布；2 X与Y是否独立；3令 U=max X,Y, V=minX,Y，求 E U和 E V。1例41：设X1,X2，Xn n>2为独立同分布的随机变量，且均

17、服从N 0，1。记1 nXXiYi 二 Xi -X,i =1,2, n.n y求：I Y的方差DYJ =1,2,，n;(II ) 丫1 与£的协方差 COV(Y1,Yn).(III)Yn 乞 0【1一，一1 <x cO2例42 :设随机变量X的概率密度为fx(x)=Q,0 兰 x<2,令丫 =X2,F(X,Y)为二0,其它维随机变量 X,Y的分布函数，求:(I ) Y的概率密度fY y(n) cov X ,Y(1 )(川)F ,42,5、应用题例43:市场上对商品需求量为 XU2000, 4000,每售出1吨可得3万元，假设售不出 而囤积在仓库中那么每吨需保养费1万元，问

18、需要组织多少货源，才能使收益最大？例44:设由自动线加工的某种零件的内径X 毫米服从正态分布 N 卩，1，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。 销售利润T 单元：元与销售零件的内径X有如下关系。J-1, 假设 X V10T =20,假设 10 兰 X <12-5, 假设 X >12问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？6、最大似然估计出例45:设随机变量 X的分布函数为fF (x, a B)二ix.丿0,x - a,x < a,其中参数a 0, B 1.设X1,X2/ ,Xn为来自总体X的简单随机样本,(I) 当刍a 1时，求未知参数B的矩估计量；(n) 当彳a -1时，求未知参数卩的最大似然估计量；当12时，求未知参数a的最大似然估计量。,0 ：: X : 1例46 :设总体X的概率密度为f (x,T)=1-日,1兰X兰2 ,其中日是未知参数0,其他(0< 二<1)。X1 ,X2 Xn为来自总体的简单随机样本，记N为样本值x1, x2焉中小于1