辅导基本不等式

1、第六章不等式、推理与证明2不等式的基本性质1. 在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 ab，bcabac2bc2； 若无 c0 这个条件，abac2bc2 就是错误结论(当 c0 时，取“”)试一试1设 a，b，cR，且 ab，则下列不等式成立的有(填写序号)1bcaba2b2：由性质知对a3b3：12.31(填“”或“”)21 1：21 31.21：bbb，bcac可加性abacbc可乘性abacbc c0c 的符号abacbc cbacbd cd同向同正可乘性ab0acbd cd0可乘方性ab0anbn(nN，n2)同正可开方性ab0 n a n b(nN，n2)1不等式的倒数性质1b

2、，ab0ab11；(2)a0b；(3)ab0,0cdcd1 1 1(4)0axb 或 axb0bxa.2不等式的分数性质(1)真分数的性质：b(bm0)；a amam(2)假分数的性质：aamaam；b0)bbmbmbcac若 0a0，则与的大小关系为acbcbc ac：ac bc1.已知 a1，a2(0,1)，记 Ma1a2，Na1a21，则 M 与 N 的大小关系是：MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即 MN0.MN.：MN2若实数 a1，比较 a2 与 3的大小1aa2a1a2a

3、1 3 解：a21a1aa1 3 当 a1 时，a2；1a2 3 当 a1 时，a2bd”是“ab 且 cd”的条件(1)由“acbd”不能得知“ab 且 cd”，反过来，由“ab 且 cd”可得知“acbd”，因此“acbd”是“ab 且 cd”的必要不充分条件法二：取特殊值(1)必要不充分多个不等式是否成立，需要逐一给出推理或反例说明常用的推理需要利用不等式的性质，常见的反例方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，所乘的代数式是正数、负数或 0；(2) 不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3) 不等式左边是正数，右边是负数，当两边

4、同时取倒数后不等号方向不变等训练若 ab0，则下列不等式不成立的是(填写序号)1 1a|b|1a1babb0，1|b|，ab2 ab，又 2a2b，1a1b，填.2 2a b：典例已知函数 f(x)ax2bx，且 1f(1)2，2f(1)4.求 f(2)的取值范围解f(1)ab，f(1)ab.3f(2)4a2b.设 m(ab)n(ab)4a2b.mn4，m1，则解得mn2，n3.f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10.即 f(2)的取值范围为5,10解：由本例知 f(2)f(1)3f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故

5、 5f(2)10.故 f(2)的取值范围为(5,10)类题通法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“”不等关系的运算求解范围训练1 1，若 ， 满足试求 3 的取值范围12 3，解：设 3x()y(2)(xy)(x2y).xy1，x1，则解得x2y3，y2.1()1,22(2)6，两式相加，得 137.4若本例中条件变为：已知函数 f(x)ax2bx，且 1f( 1)2,2f(1)4，求 f(2)的取值范围.3 的取值范围为

6、1,71 “1x4” 是“1x216” 的条件( 填“ 充分不必要”“ 必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)：由 1x4 可得 1x216，但由 1x216 可得 1x4 或4x1，所以“1x4”是“1x216”的充分不必要条件：充分不必要4设 a，b 是非零实数，若 ab，则下列不等式成立的是(填写序号)a2b2ab2a2b11 2b a ab a2ba b：当 a0 时，a20，ab 符号不确定，所以 ab2 与 a2b 的大小不能确定，故错ab因为 1 1 11ab2a2b a2b2 0，所以yz，xyz0，则下列不等式中成立的是(填写序号)xyyzxyxzxzyzx|y|z|y

7、|：因为 xyz，xyz0，所以 3xxyz0，3z0，z0，所以由可得 xyxz.yz，5：1 15已知ab|b|；ab；abb3. 其中不正确的不等式有个：由11ab0 可得 ba0，从而|a|b，不正确；ab0，则 abb3，正确故不正确的不等式的个数为 2.：26(2014扬州期末)若 a1a2，b1b2，则 a1b1a2b2 与 a1b2a2b1 的大小关系是：作差可得(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)，a1a2，b10，即 a1b1a2b2a1b2a2b1.：a1b1a2b2a1b2a2b17若 13，4 2，则 |的取值范围是：4 2，0|4.4|0

8、.3|3.：(3,3)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系6判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图像一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2b 2a没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集1 或 xx2x|x b 2aRax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx21. 二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式2. 当 0(a0)的解集为 R 还是.试一试1(2013苏中三市、宿迁调研)设集合 Ax|x22x30，Bx|x25x0，则 A(RB)

9、.：集合 A1,3，B(，05，)从而RB(0,5)，则 A(RB)(0,3：(0,31122不等式 ax bx20 的解集是2，3，则 ab 的值是：由题意知1、1是 ax2bx20 的两根23则 a12，b2.ab14.：143不等式 x2ax40 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是：不等式 x2ax40，即 a216.a4 或 a0，(1)不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立或c0，0.ab0，a0，(2)不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立或c0，0 的解集为 R，则 m 的取值范围是：当 m0 时，10 显然成立7当 m0 时，由条件知m0，4m24m0.得

10、 0m1，由知 0m1.：0,1)典例解下列不等式： (1)0x2x24； (2)x24ax5a20(a0)解(1)原不等式等价于x2x20，x2x20，x2x24x2x60(x2)(x1)0，x2或x1，(x3)(x2)02x3.借助于数轴，原不等式的解集为x|2x1或2x3.(2)由 x24ax5a20 知(x5a)(xa)0.由于 a0 故分 a0 与 a0 讨论当 a0 时，x5a 或 xa；当 a0 时，xa 或 x5a.综上，a0 时，解集为x|x5a或xa；a0 时，解集为x|x5a或xa. 1解一元二次不等式的一般步骤：(1) 对不等式变形，使一端为 0 且二次项系数大于 0，

11、即 ax2bxc0(a0)，ax2bx c0(a0)；(2) 计算相应的判别式；(3) 当 0 时，求出相应的一元二次方程的根；(4) 根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集82解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论： 首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即 的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类训练解下列不等式： (1)3x22x80； (2)ax2(a1)x10(a0)解：(1)原不等式可化为 3x22x80，即(3x4)(x2)0.4，解得2x34所以原不等式的解集为x2x3.(2)原不等式变为(ax1)(x1)0，因为

12、 a0，所以 ax1(x1)0.a所以当 a1 时，解为1x1；a当 a1 时，解集为；当 0a1 时，解为 1x1.a1综上，当 0a1 时，不等式的解集为x1xa；当 a1 时，不等式的解集为；1当 a1 时，不等式的解集为xax1.2对任意 x1,1，函数 f(x)x2(a4)x42a 的值恒大于零，求 a 的取值范围；a44a解：函数 f(x)x2(a4)x42a 的对称轴为 x.224a当6 时，2f(x)的值恒大于零等价于 f(1)1(a4)(1)42a0，解得 a0，222即 a21，即 a0，即 a1，故有 a1.综上可知，当 a0，则g(1)(x2)x24x40，解得 x3.

13、故当 x3 时，对任意的 a1,1，函数 f(x)的值恒大于零1(2012江苏高考)已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为：由题意知，因为函数 f(x)的值域为0，)，4ba2a所以 f(x)minf20，所以 4ba2，4所以 f(x)xa2，所以关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为a c，a c，即(m，222m6)，acm，2故两式相减得 c3，所以 c9.a2cm6，10：92不等式 4x2x20 的解集为：令 2xt，则不等式变为 t24t0.由于 t0，故 t4，即 2x4，解得 x2.

14、所以不等式的解集为(2，)：(2，)23(2013南通三模)不等式 xx1 的解集是(x2)(x1)：不等式等价于0，由数轴标根法得 x2 或 0x1，从而不等式x的解集为x|x2 或 0x1：x|x2 或 0x14(2013苏州常镇二调)若关于 x 的不等式 mx22x40 的解集为x|1x2，则实数 m 的值为：由关于 x 的不等式 mx22x40 的解集为x|1x2，得1,2 为方程 mx2m0，2x40 的两个实数根得m240，4m440，：2所以 m2.3(2014南通期末)若存在实数x，使得x24bx3b0 成立，则b 的取值范围是 ：本题是存在性命题，只要满足 16b212b0

15、即可，解得 b0 或 b3.43：(，0)4，5(2013南京、二模)若关于 x 的不等式(2ax1)ln x0 对任意 x(0，)恒成立，则实数 a 的值为：若 x1，则原不等式恒成立，此时 aR；若 x1，则 ln x0，于是 2ax10，即 a 1 max，所以 a21；若 0x1，则 ln x0，于是 2ax10，即a 1 1.，所以 a22x2xmin综上所述，a1.21：26不等式|x(x2)|x(x2)的解集是：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即 x(x2)0 的解集，解得 0x2.11：x|0x27在 R 上定义运算：x*yx(1y)若不等式(xy)*(xy)1 对一切实数

16、 x 恒成立，则实数 y 的取值范围是：由题意，知(xy)*(xy)(xy)1(xy)1 对一切实数 x 恒成立，所以x2xy2y10 对于 xR 恒成立故 124(1)(y2y1)0，所以 4y24y30，解得132y2.13：2，28若关于 x 的不等式 4x2x1a0 在1,2上恒成立，则实数 a 的取值范围为：不等式 4x2x1a0 在1,2上恒成立，4x2x1a 在1,2上恒成立令 y4x2x1(2x)222x11(2x1)21.1x2，22x4.由二次函数的性质可知：当 2x2，即 x1 时，y 取得最小值 0，实数 a 的取值范围为(，0：(，09设函数 f(x)mx2mx1.(

17、1) 若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围；(2) 若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求 m 的取值范围解：(1)要使 mx2mx10 恒成立，若 m0，显然10；m0，若 m0，则4m0.m24m0所以4m0.(2)要使 f(x)m5 在1,3上恒成立，即mx123m60 时，g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)7m60，所以 m6，则 0m76；7当 m0 时，60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1,3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)m60，所以 m6，所以 m0.6综上所述：m 的取值范围是mm0，24 6又因为 m(x2x1)6

18、0，所以 m.x2x1因为函数 y66在1,3上的最小值为6，所以只需 m6即可x12377x2x1246所以，m 的取值范围是mm0，得 a8.当 a0 时，对称轴 x0a0，且 f(0)2a0.2故 A 中两个整数只能为1,0.故 f(1)13a0，f(2)44a0，得1a8 时，x0a4，设 A(m，n)由于集合 A 中恰有两个整数 nm3.即a28a3，2即 a28a9.得 8a9.a故对称轴 420，f(3)9a0故 A 中的两个整数为 4 和 5.故 f(4)0，f(5)0，f(6)0.253a0，解得25 a9.即162a0 时，f(x)x24x，则不等式f(x)x 的解集用区间

19、表示为：由于 f(x)为 R 上的奇函数，所以当 x0 时，f(0)0；当 x0，所以 f(x24x，x0，x)x24xf(x)，即 f(x)x24x，所以 f(x)0，x0，x24x，xx，x24xx，由 f(x)x，可得或x0x5 或5x0xy10，2设 x，y 满足约束条件xy10，x3，则 z2x3y 的最小值是：作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线 z2x3y 过点 C 时，z 取得最小值16x3，x3，由得xy10，y4，zmin23346.：6xy20，(2014南京一模)已知实数 x，y 满足xy0，x1，最小值是则 z2xy 的：作出可行域，如图可知当直线 y2

20、xz 经过点(1,1)时，z取得最小值1.：1x3，1.由不等式组y0，yx1 .所确定的平面区域的面积等于：作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分，可知其面积为 2.：2yx，2(2014苏锡常镇调研)在不等式组0x3，所表示的平面区域内的所有格点(横、1yx纵坐标均为整数的点称为格点)中任取 3 个点，则该 3 点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为：当 x1 时，1y1，此时无解；当 x2 时，1y2，此时 y1,2；当 x3 时，21y3，此时 y1,2,3.所以在可行域中共有 5 个格点，从中任取 3 个点共计 10 种方法若3在直线 x2 上取一点，则在直线 x3 上三个点中取两

21、个，此时有 236(种)；若在直线 x2 上取两点，则直线 x3 上三个点中取一个，此时有 3 种，故所求概率为 9 .10 9 ：1017角度一求线性目标函数的最值xy2，1(1)(2014徐州摸底)已知实数 x，y 满足xy2，0y3，则 z2xy 的最大值是：在平面直角坐标系中作出满足条件的可行域，如图，即等腰直角三角形 ABC，其中 A(5,3)，B(2,0)，C(1,3)，过原点 O 作直线 l0：y2x，将 l0 平移至点 A 时，可取最大值，即 zmax2537.：73xy60，(2)(2013南京、盐城一模)若变量 x，y 满足约束条件xy20，x0，y0，3y 的最大值为则目

22、标函数 z2x：画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)由图可知，y2xz，过点(4,6)33时，z 取得最大值，为 26.18线性规则问题是高考的重点，而线性问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见题角度有(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值；(3)求线性中的参数.考点二求目标函数的最值：26角度二求非线性目标的最值0x1，2 (1)(2014 苏北四市二调) 在约束条件0y22yx1 ：下， (x1)2y2 的最小值为画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)

23、，所求的(x1)2y2的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线 x2y10 的距离，可求得|1201|2 5(x1)2y2的最小值为12(2)2.52 5： 5xy20，(2)(2014南通一模)设实数 x，y 满足x2y50，yx则 z 的取值范围是xyy20，：作出可行域(如图阴影部分)，则区域内的点与原点连线的斜率取值范围是1，2.令 ty，则 zt1，根据函数 zt1在 t3xtt1，2上单调递增，得 z8，3.32383：3，2角度三求线性中的参数x0，3(1)(2013苏北三市调研)已知实数 x，y 满足约束条件y2x1，xyk0(k 为常

24、数)，若目11标函数 z2xy 的最大值是 3 ，则实数 k.：由题意得当 k1 时满足题意，此时该不等式组表示的平19，平移直线 2xy0 经过点 P 时，目标函数 z2xy 取得最大值，是11，面区域3k12xy10，x，3得联立xyk0，1y2k，3即点 Pk112k，3312kk111所以2 3 ，解得 k3.33：3xy10，(2)已知实数 x，y 满足x2y80，x3.解，则实数 a 的取值范围为5若点3， 是使 axy 取得最小值的唯一的可行2：记 zaxy，注意到当 x0 时，yz，即直线 zaxy在 y 轴上的截距是z.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可

25、知，满足题意的实数 a 的取值范围为 a0，b0.(2) 等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2算术平均数与几何平均数ab设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小)p2(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是4 .(简记：和定积最大) 1求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件2多次使用基本不等式

26、时，易忽视取等号的条件的一致性试一试ab1“a0 且 b0”是“ ab”成立的条件2：充分不必要2(2014扬州期末)已知 x，yR，且 x2y1，则 2x4y 的最小值是：因为 x2y1，所以 x12y，从而 2x4y212y22y 2 22y2 2，当且仅22y当 y1时取等号故 2x4y 的最小值为 2 2.4：2 21活用几个重要的不等式baa2b22ab(a，bR)；ab2(a，b 同号)ab2a2b2ab2ab (a，bR)； (a，bR)2222巧用“拆”“拼”“凑”23在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件练一练 4

27、 若 x1，则 x的最小值为x1：x 4 x1 4 1415.x1x1当且仅当 x1 4 ，即 x3 时等号成立x1：5典例已知 a0，b0，ab1，111求证： a1b9.证明法一：a0，b0，ab1，ab1112b.同理，112a.aaabb11112b2aabab52ba549，当且仅当ba，abab即 ab1时取“”211119，当且仅当 ab1时等号成立ab2法二：1111111 1 abababab11 2 ，1abababa，b 为正数，ab1，ab11ab ，当且仅当 ab 时取2“”422于是 1 4， 2 8，当且仅当 ab1时取“”abab21111189，ab当且仅当

28、ab1时等号成立224利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等训练11设 a，b 均为正实数，求证：a2b2证明：由于 a、b 均为正实数，ab2 2.所以 1 1 212 1 ，a2b2a2 b2ab当且仅当 1 1 ，即 ab 时等号成立，a2b2又因为 2 ab2 2 ab2 2，abab当且仅当 2 ab 时等号成立，ab 2 所以 1 1 abab2 2，a2b2ab1 1 ，2b2a当且仅当 2 4即 ab 2时取等号abab，典例(1)(2013徐州、宿迁三检)若 a0，b0，且 1 11，则 a2b 的最小2abb1值为bb21法一：由已知等式得 2a2b12ab2ab2b，从而 a.2bbb212 312 3113113a2b2b22b2b224，故有最小值.2b22法二：设 2abm，b1n，则 2amn1，bn1