第八章多元函数微分法及其应用.doc

1、第八章多元函数微分法及其应用一、内容提要 多元函数微分法是一元两数微分法的推广，有许多相似之处，学习时 应注意对比，搞清界同1. 基本概念与定理设函数U = f(P),点P可以是1,2,3,丿维的.当n2时，称此函数为多 二元函数z = /(X, y)在儿何上表示空间一张曲面. 二元函数z = /(x,y)在点心(巾，儿)处的极限、连续、偏导数、全微分的定义及关系.极限 lim f(x,y) = A : VA0,3t 0,当X-X0.v-yo() p = J(_r_x() )2 +(y _y () )2 6 时，有 I f(x, y) - A 0 Ayr rJ XV v Tfir 丫cxcv

2、*cy Vox)dydx类似,可定义三阶以上的偏空、._可微 若全增量A()p(其中。=J(心尸+( ) )定理5若函数S在点P(A _y)可微，则函数/(x,.y)在该点沿任 一?方向7 的方向导数为堂=型心。+型COSO dl dx彷其屮cos cos 0为i的方向余弦.推广 若函数u = f (x, y,Z)在点M(x, y,z)叫微，则函数f(xfy,z)在该点 沿任一方向/的方向导数为df dfdf q cf=cos a + cos p + cos / dl dx dy & 其中COS Q, COS 0 , COS了为7的方向余眩 梯度 gradMx,沪Z ;+冬了 = r v刊dx

3、 cyJ CJ CJ I堂？+堂sradfw)=.dx肝&八型2堂，堂，堂Idx dy dz 6x dy 8z结论方向导数沿梯度方向収得最大值，最大值为梯度的模.2多元函数的求导运算多元复合函数求导 若 z = /(w, v),M = (p(x, y)9 V =y).则偏导数为：&dzdudzdvdz _ dzdudz dvdxdudxdvdx,dy dudydv cy 若乙=f(x, )9, x =( p(t y = y/(t).则全导数为：dz dz dx dz dy dt dx dt dy dt若 2 = /(x, y, w, v), u =(p(x, y), v =八(x, y).则偏

4、导数为df ou of ov dzdf of du cf dv辭善的区别 .dxdu dx dv dx，dy dy du 级 dv dy各是在复合函数z = /x, y,O(x,y),O(x,刃中视y为常量，对x求导. CX耍是在四元函数z = /(x, y,w,v)屮视_y,s为常量，对x求导. dx各是在复合函数z = fx,y, (p(X9 y)(x, y)屮视x为常量，对y求导.笑是在川元函数z = /(x,y,?,v)屮视兀s为常量，对y求导.隐函数求导 由方程 F(x,.y, z)=() 确定的隐函数乙 =灾,刃满足隐函数定理的条件 则6z 二 Fx dz = Fydx F_ dy

5、 F. 由方程组牛”沪：确定的隐函数Z,)，=回贝IJ方程两边分G(xy ”z) = 0别对兀求导，得到关于字，各的方程组，解出即可 .高阶偏导 仿一元函数的情况，按指定白变量逐阶求导 .dx dx3. 应用(1) 几何应用x =(p(t) 空间曲线r: , 0) = 0,人(Xo, y () = 0.记 fxx (xoiyQ) = Ai Ay (Xo,) ?o)=八厶,Xo, yo) = C,贝 U当兀-衣0时，有极值，且A0,有极小值当AC-B2 0 且 x-即 X n & ,得 D=如，y)l y (lxyy*y -兀(),(2)- x()1-x2 -y2 0to(3) x2 + y2

6、*0 且 0,y x,x 2 +y2 1?例 8.2 设/ x+ y,I x丿D = Ax,y,z)z2 ?, =x2 - y2 知 X)21 + v解(方法一)令兀+ 十”，则有2i-Z2 Xi+2X故 / (兀,刃=(1 _)()心一 1)i + y222/ x + y, =x - y = (x + y)(x-y) = (x+y).X)(方法二)因例8.3求下列各极限:(1) lim 卑;用宀(3) limSi nA -XT 2)T02他+4 lim _x-0y-0v 1 - cos(x2 + y2) _lim 血-H+b产limxtOx-o xyy-0(y h -1)分析求多元国数的极限

7、可利用多元西数的连续性及？元函数求极限的一些方法.解(1)用函数的连续性1 - xy _ 1-0 _j x2 + y2 0 + 1(2)用一元函数求极限的方法(分了有理化)=lhn 4-(耳 + 4). =lim -= :茂小(2 +Jxy + 4) 為2 +历齐2用i元函数的重要极限r sin xy hm?x = l? 2 = 2.XT 2XVxt 2 y)TO722si n2 X +y2+ y1cosk + ylimlimxtOA-0v-0y-0?勺-02 2例8.4证明极限lim不存在.加2+( y)2分析 因为二重极限lim于(兀，刃存在，是指P(x,刃以任意方式趋lx。y-yo于户0

8、(勺，沟)时，函数都无限接近菜常数A ?所以，证明极限不存在，只要P以某一特殊方式趋于P。吋，函数不趋于某一 ？确定值；或以两种不同方式 趋于P()时，函数趋于不同的值，便可断定函数的极限不存在证(方法一)若点P(x, y)沿直线y二兀趋于(),(?,贝yrx2y2. x4 ilim = lim - = 1 ；;二 x 2 y 2 + G _ y) xt()x4若点P(xt y)沿直线y = 2x趋于(0,0),则4 44x=lim=0.牙 2),2 +(开_)2 x_o 4%4 +x272】？ 厂歹所以极限不存 在.lim若点P(x, y)沿直线y = kx趋于(0,0),贝U2 2lim

9、* = limx2y2 +(兀 _)_ y-kx 丿k厂=bm 小 tAk2x2 +(1 幻 29 4o o兀4 +(_鸟)2大21,0,22所以极限不存在.例 8. 5 设 f(X9y)= x2 + y2 0, x2 + y2 =0证明/(兀,y)在(),()处不连续，但两个一阶偏导数存在.证f( 0,0) = 0,当(兀,y)沿直线y = kx趋于(0,0)时怂 2 LHm /(x, y) = lim= r 兀十 0 xA()x2Ak2x2 + ?2y=kx当k取不同值时,极限值不同?故 lim f(x, y)不存在？A-(),v-0所以/U,y)在(0,0)处不连续但根据偏导数的定义知“

10、、 r /()+ 心,()-/(),() r 0-0 八fx (0,0) = lim = lim = 0 ；AA ()AxAA o AJC人(),()=讪型出g型=聞口 =().A)? T()AyAv-?o Ay所以f(x,y)在(0,0)处两个一阶偏导数存在本例说明，对于多元函数，偏导 数存在未必连续 例8.6证明：函数 占宀严在(0,0)处连续，但两个一阶偏导数不存在证 因(0,0)在f(x,y)的定义域内，所以/(儿刃在(0,0)处连续.又因/(x,0)= 7?=lxl在x = 0处不可导，所以40,0)不存在；同样 /(0,刃二 7/日 W 在尸 o 处不可导 , 所以 / ；(0,0

11、) 不存在 例8.7设z = f(xt，证明/(x, y)在(0,0)处一阶偏导数存在，但不可微.分析 要证函数 /(x, 刃在 (0,0)处是否可微 , 只须检验极限： 向土込竺空竺J 是否为 0,其中好皿丙而？QtO p若极限为o,则函数fa,刃在(o,o)处可微，否则不可微证因 /( 兀 0) = 0, /(0,刃=(), 由定义知 fx (0,0) =(),f； (0,0)=() 但 Az -fA.(0,0)Av + fy(0,0)Ay_ Jl 2 01 _ II Ax ? Ay I_ P yjAx2 + Ay2 V (对 +( )?当(A.r, Ay) - (0,0)时，上式极限不存

12、在.(取路径Ay = kx )因此，f(x,y)在(),() 处不可微 2多元函数微分法例88求下列函数的偏导数乞=J_R】 n(My) =Rl n( l+Q)i n(l + Q)+ y._Ady dy1 + xy=(1 + xy)vwi,f、XV ln(l + xy) +11 + xyIh-duv匕* du丄y117 f- xz,-x -lnx-疋n v 1dx zdy:G詈二小十三卜三第1. 包=z(x_. ou_ = - z(x - y)曰.&1 + (x - y)2z, dy 1 + (x - y)2z du _ (x- y)z ln(x - y) &1 +(x- y产例 8. 9 设

13、 /(兀,y)=兀 + (y -1) arcsin 卡,求 fx (x,l).固定y分析 本题是求函数f(x,y)在点(x,l)处关于兀的偏导数，由定义知 =1, /(x,l) = x,再对兀求导即可.xx例一？求寮a2zdxdyxxin/”x(x_l)严；y 丿解因/(x,l) = x,所以 A(X,1) = 1.设丄f5) + w(x + y)J,0具有二阶连续导数,求龚.(98年 xdxdy考研题)xxd2zdxdyd=xyx 1 In y y?In2 y,+ yx? = yx 1 (xln y + 1)x心+y解因为亠-卜小;去2 (” +严卜(兀2+八必T2yW+*r-2 社 +y2

14、 2x + yI*e?VI*e?V所以dx dy/+y2 产因为一=yz-x3 z-1 ; = xyz nx-z; = xyz-nx y dxdydz所以 du =土忌y + A_dz = yzx - 淬 dx + z? x K In xdy + In xdz.3多元复合函数求导例8. 12求下列函数的偏导数或全导数.z = u2 In v, w = , v = 3x- 2y,求Z = arcsin(A 刃，x = 3人 y = 4 厂， 求dz dzdx dy dzdt分析 多元复合函数求导时,先画出复合线路图,再按图写出求导公 式.这种方法对复杂的复合情形尤为冇利.解(1)乞二皂色+茎空d

15、x du dx dv dx=2w In v ? - +y v-33x2oz du oz dvciT=1 - 2u In i 丿八 严 + v(2)dy cu dy dv dy 2*2x2=-一yM(3x-2y)-Qx- _dz dz dx dz dynindt dx dt dy dt1 - (x- y)23(1-4/2)I*e?V例8.13设/具有一阶连续偏导,u = f(x+ du du dx dy说明抽象函数求偏导时一定要设中间变量.2,/ =严.贝V “ =/($,/)a殍?空二型？2尤+笑 ?严途?)，&gx ds 取 a/ 二学? ( 2)+ 丸八? x =-2yf + xey f2

16、. dy os dt2 +-例8. 14设/具有二阶连续偏导数，z = fxyA求与，dx2 dxdy労2分析求多元函数的高阶偏导数，关键在 y)于牢记多元复合函 数的各阶偏导数仍是与原來函数同类型的函数，即以原中间变量为中间变量，原自变量为自变量的多元复合函数？高阶偏导数可采川简便记 法，如/ ； 丿 2分别表示/对第一、第二屮间变量的偏导数，齐；表示 /先对 第一、再对第二中间变量的二阶混合偏导数？当高阶偏导数区续时，应将 混合偏导数并项.解令 u 二 xy,v =,贝U z=f(,). y& df du df cv、? 1T = 7-+ 八-=/i ? ) + /2 ?一? ox du

17、ex dv oxdz df du df dv-L-1 -?兀 + ? 一一dy ou dy ov dy-=ti=y1 -dx y dxd2z d/ 1 J y ? ./1 + ? /? l y1 (6f u dfA 8 J1 ? + ? L? +? ?=y-y + /i2 -dx dv dxx2 6xy du dx dv dx ) j1 /_ IIa亠=yAfw + 2/12 + A?-y1 ? 1d2z 8 (亦I小丄髮 7a負CU ojr+亠二dy cvtFI*e?V 77八=dxdy dy= / ； +?# ? r I ii=/l +.V-| /ii x-f2 . 尹I y fi + y

18、 A I = ./1 + ydu dv) ! dy dv dy Ie? Y- 丄兀 +丄厂ydvI*e?V?1 I?tY?1 I?tY? =/i fi+ xyfi i yd2z d (”ydu dfi dv、+- + 3dy dv dy 丿r筋亠2x，=A-? + f/2- ? dy何2(du2x y yx df2yL dydf2 那dv dy 丿oudy2 2常见错解x-yi r h LX f 2x2=xfw - -./12 +Jradx2 讥一丿、y 丿 0x ? x-f 2x /盲./ 22 + 飞./2?y y+丄？讣()，y丿1、 +)/fl =/i?1 I?tY?1 I?tYd2z

19、 d乔“ X 2x ,-fl =飞/ 2?dxcy分析对.解乞=型.求丄宁先要搞清楚函数的结构、X f 叭),2丿y3 错课的原因是把认为常量.例& 15设z = f(u,x,yu=xey,其屮/具有二阶连续偏导， 抽象的多元复合函数求二阶偏导，包+堂訪2+/;dxcy dydy dy=?/ + ?(/； -xey +f 3) + (f2ixey +/； 3)=? f + x/y - /11 + ?f ；3 + x -/21 + f ；3?dx du dx dxd2z d4隐函数求导对隐函数求导时，首先要根据题目中要求对哪些变最求导，确定哪些 是自变量，哪些变量函数.例 8. 16 设 x =

20、 cos(x2 +)z),求一.dz分析由题冃耍求知，方程确定隐函数y二y(x,z),即y是“的函数.解(方法一 )( 两边求导法 ) 方程两边对 Z 求偏导，得 Z r 、2O = -sin(x+yz) ? y + z?所以空-匚& Z(方法二)(公式法)设 F (x, y, z) = cos(x2 + yz) 一 x =().Fy =-sin(x2 +yz)?乙Fz =-sin(x2 +yz)? y? 所以八=-八=-2.&Fy例 8.17 设-=In-, ?z y dx dy解(方法一)设 F(x, y9 z) = -In z yF =-所以1z dx E x + z _/xD ” dz

21、 1&xwaj b2 a）+ b?不6=c ;)巾V =c 2;玉v =cOg; ci0)dy 典 a( +Z?O2/亦 i、i 亞弧 ac( i +bcd 2 |z以ci + b = : - = c ?CX dy Cl I +b 2例8. 21求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数2 2Z = x + y求 dy dzF +2y2 +3 乙 2 =20dx dx设Z = xf（X Ayl，其小f,F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求各dxKg + j）其小仁&具有一阶连续偏导数，v = g（u-x.v y）p. du dv求杰乔分析由三个变最两个方程所构成的方程组，一般确定两个一元函

22、数，即其小两个变量是第三个变量的一元函数，如（1）、（2）,空,生可通过解关dx dx于空，冬的线性方程组完成.由四个变冕两个方程所构成的方程组，一般dxdx确定两个二元函数，即其中两个变量确定为另两个变量的二元函数，如（3）,可通过解关于空，空的线性方程组完成.dx dxdx dx解（1）此方程纽可确定两个一元隐函数y二y（x z = z（x）.方程两边对兀求导，得dz。丄。dy dx ? dxc 1心疋乂门2x + 4y+ 6z= 0dx dx2空一空=_2xdx dx*dydz2yF 3z=-x. dxdx在丿=2y -1 =6yz + 2y丰0条件卜，有 2y 3z=(折-1)(2 刃

23、 g2 -l)-/2 -g&O 条件下,1d 2x dx J _x 3zdz1 2y -2xdx7 2y-6xz - x _ - x(6z + 1)6yz + 2y 2y( 3z + 1)2厂 6 yz + 2y 3z + 1=(折-1)(2 刃 g2 -l)-/2 -g&O 条件下,=(折-1)(2 刃 g2 -l)-/2 -g&O 条件下,方程两边对兀求导，y,z为x的一元函数,整理得解得dzZ1 dy f=f + x(+A)f dxax dx ? dx7 厂+冬*+灯，V dx dxF 空+F a = -Fdxy dx z dxF、+xfF 二（3）此方程组确定两个二元函数: V方程两边

24、对X求偏导，得=（兀，刃，心）duA dudvaw+r 欵一dv(I , cdvdx _ij + g2 如？乔.du giVrdv ?(+ /2o= d；+2 叽?2X-|%= iox=(折-1)(2 刃 g2 -l)-/2 -g&O 条件下,=(折-1)(2 刃 g2 -l)-/2 -g&O 条件下,Vi -1 fi g;2)*2 -1=(折-1)(2 刃 g2 -l)-/2 -g&O 条件下,du 11 -A=72)咗 21-妨I临2 -1)-于2.(Vi -0(2W2-l)-/2-g(dv_ 1灯| dx J-1iigi(M + 汛-1)g;5微分法的应用g| (灯 | jh 刃 &2

25、-1) 一.广 2 锂;t例8.22求曲线4叫在点厂口(jr12的切线及法平面方程.解该点对应参数5=牛切向量为 T = x (fo ) ,y(/o) ,z(/o)= 1，1，同号 + 1 y-1 Z-2V2所求切线方程为1 一 1 一屈x + I) + (y 1) + V2 (z - 2八2) = 0即x + y += + 4.例8.23求III线x = hy = t2iz=t3勺点，使在该点的切线平行于平面x + 2y +z = 4.解曲线的切向量为T = l,2r,3r2平面x + 2y + z = 4的法向量为n = 1,2,1. T T T由题意知T丄,即厂n =0?亦H卩1 + 4

26、/ + 3八=0,0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距Z和等于Q ?证 F (x.y.z) = /x +yy +yz-Ja =0,() 一 y o) +j=(z - 勺) =o VxoJ则法向量为n二?o- 二._ =7A () +VAo=需，化为截距式得， Vo gx y z .H+ 二 1V ax()V ax()J o 二o所以,截距之和为 y/axQ + Jay。+ Jaz。=ya -ya = a.例& 27求函数二炉在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.解 7 = 9-5,4-1,14 一 2=4,3,12,I 7 1= A/42 +32 +

27、122 = V169 = 13.4 312C0S6Z =,cosp =,cos/ =131313cudu q o4312 二一cos er + cosO + cos / = yz+ xz+ xy dxdydz131313aw-別|所 別 I4 o 312 c 9813131313例8. 28问函数u = xy2z在点P(l,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.分析方向导数沿梯度方向取得墩大值,H最大值为梯度的模.y2 z,2xy z,xy2ex dy dz(L-1,2)lgradu(L2)= 2,-4,1是方向导数取最大值的方向最大值为gradu 例 8. 29 求函

28、数 / (x, y) = (6x-x2)(4y- y2)的极值.解解方程组f; =(6-2x)(4y-y2) = 0fy =(6x-x 2)(4-2y) = 0得驻点(0, 0), (6, 0), (0, 4), (6, 4), (3, 2).又 A 二 fxx = -2y(4 - y), B= ; , =(6 - 2x)(4-2v), C =-2x(6 - x),列表八、ACBAC-B2极值(0, 0)0024-5760无极值(6, 0)00-24-5760无极值(0, 4)00-24-5760无极值(6,4)0024-5760有极值函数在点(3, 2)取得极大值/(3,2) = 36.常见

29、错解 求得驻点(0,0),(6,0),(0,4) ,(6,4),(3,2)后直接断定在这些点处取 得极值？实际上，驻点未必是极值点例8. 30在xoy面上求一点，使它至ll x = 0, y = 0及x + 2y -16 = 0三直 线 的距离平方Z和为最小.分析木题是无条件极值问题.解设所求点的坐标为(x, .V),则此点到x = (),y =()及兀+ 2，-16 =()的距离分别为Ixljyl及,A/1 + 27而距离平方和为 z = x2+y2+(V2v16r=2x + _(x + 2y 16) = 0(dx 5即 J 3x + y 8 = 0=2y + y(x + 2-16 )= 0

30、(2x + 9y-32 = 08,得唯一驻点律，琴nx =5 、5 5 丿16由题意知，到三直线距离平方和最小的点一定存在，故(眷罟)即是山例8.31抛物而z = x2+.y2被平面x + y + z = l截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长少最短距离.分析木题是条件极值问题.解设椭圆上点的处标为(x, y, z)，贝U原点到椭圆上这一点的距离平方为d2 =x2 + y2 +z2,其中要同时满足z-x1 +y2,x + y + z = l.令拉格朗日函数：F(x,y,z) = X2 + y2 + z2 +/t,(z-x2 -y2) + 22(x + y + z-l)Fv = 2x-2A) x +

31、 22 = 0Fy = 2 y 22| y += 0由方程组 -Fz = 2z + A +几？ =0i 2+ y = z x+ y+ z = 1解得x = y = ,z = 2干侖由题意可知这种距离的最人值和最小值一定存在，而恰好找到两个可能极值点，所以距离最人值和最小值在这两点处取得.2因 cl2 =x2 +y 2 +z2 =2-+ (2 + V3)2 =9 + 5A所以d=9 + 5的 为最长距离，d2 =+coL丿u 2xy,x 0, y 0.所以 TT74 /、6综合题r y2 2,所以lim=0.又因lim=0?XT+oo* + H ,求人(x, y),厶(x, y). x2 +y2

32、一*=00,例8. 33设/ (兀)解当F工()时，人(“)亠(宀 0-宀 . 2 龙2xy3(x-+yr(x-+y-yr(x2(x2+y2)-x2y-2yx2(x2-y2)(宀严尸川刃(宀y2)2当 x2 + y2 = 0 时，9rrsn、 r /(心,0) 一/(),()r 00 八j x (0,0) = lim-A-=lim= 0A (0,0)= liAm/()( 4) 一*)?Ay-0 axt() ArAy=lim= 02xy3,?2、o X + y 广x2 + y2 =0o,xx2-y2)fyy) = (F +),2)2 0,x2 + y2 =0例 8. 34 函数/(x,刃，与=2

33、,/U,() = 1, f (x,0) = x,求 fgy).切解?A = 2两边对y积分得=2y + ( p(x).dyAdy由条件 fy (x,0) = x 得(p(x) = x.即 f y (x, y) = 2y + x 两边再对 y 积分，得 /(x, y) = )?2 +xy + A(x).由条件 /(x,0) = 1 知 0( x) = 1,所以 f(xty) = x2 + xy +1./、+rg，其屮 例8. 35设u = yAf/,g均有二阶连续导数，求匕丿yjd2u d2ux + y ?cx dxdy分析/ (可视为由/ (/)，/=-复合而成的复合函数,3丿=八丄/对f的一

34、阶、二阶导数可分别简记为即/?;=/ox y对g何也类解字乍些宀？讐汀f ?丄+g+r ?ex oxoxyd2u d甘 A* 丄 / dxz dxxj ?卩 j_7 ? g - g? =7r+X1 ? 1g ? 一一rfXX所以lx丿dx2 dxdy I y x3HX? g +y 一_ .f丿I y=0.F(x, ytz) = x + y-z-ez,Fx = 1,Fy = ,F z =-ez且F(u,u)具(7一、例8. 37设z - z(x,y)由方程F x + ,y + =0所确定，IAX)有连续偏导数,贝iJz = Q + x?爭+ y辛.ox dyxyzF2-x2yF十 xzF - x

35、y2F2所以 xy + xA + yA- = xy+ ox cy+ yF 2)-xy(xF ；1 xF + yF 2=/(?),方程z(xF;-v十例8. 38设函数z%Fi + yF2 xFy + yF 2 + yF2=xy + zxy =乙u =( p(u)+ f p(t)dt 确定是 x,y 的函数,& F唁吕山兰尸2 “曲=_扎=工 =dx EZ丄.片+丄尸2苗+曲2,dz_ _ 户=y= zF y 伦 ?C.耳+丄与2I + M ;)22ex其中f( u)y( p(u)连续且可微，0( “工1求p(y)各+ “(兀)各.Qv ?*gx &x du dz解 z = J (= f(w)e_- = /(w)?- /oxox cy方程两边对x求偏导,得%w(u)% + p(E ,dx、dudydx包二皿所以 更=八心卫匚.dx -( p