第四节辅助角公式降幂公式

1、第四节 辅助角公式降幕公式的熟悉应用要求：能运用和与差的三角函数公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).一、将二倍角公式变形可得到的公式1.降幂公式：sin2 a,cos2 asin a COS a2 升幕公式：1 + COs a1 cosa:a ,3.半角公式：sin= 1 COS a21 + COS aa 丄2, co%： 土a 丄tan2= (nx+n)；(2)2sin2(十 x),3cos 2x;1 COs a 1 COs a sin a1 + COs a sin a 1 + COS a注意：等号后的正、负

2、号由a所在的象限决定.二、辅助角公式asin x + bCOs x= Ja2 + b2 sin(x + 妨，其中 sin =, ,b 丁, cos =d a ，即 tan = b9. a2+ b2，9 a2 + b2，9 a-例一利用辅助角公式将三角式化简【例1】(1)f( a ) = 2cos2 + sin a的最大值是 . 设函数f(x) = (sin3 x + (Os 3 x)3 + 2cos2 w x( w 0)的最小正周期为，贝怯的值是.223- 思路点拨：先降幕，再引入辅助角(通常是特殊角)将表达式化为两角和与差的三角函数.点评：(1)化简时要有整体意识，合理变形，为公式的应用创造

3、条件，使结果的三角函数名称、角的个数尽 可能的少.(2)对于形如asin x+ bcos x+ c或asin2x + bsin xcos x + ccos2x + d的三角函数式的化简通常都可通过引入辅 助角配凑成两角和(差)的三角函数，达到化简的目的.1化简下列各式:兀、兀、n1 2sin2(x + 8)十 2sin (x + 8)cos(x + j(3)cos 4x 4cos 2x + 3.考点二非特殊角三角函数求值【例2】不用计算器求值 sin 50 （1 +3 tan 10 ）.思路点拨：将切化为弦，再设法应用辅助角公式3-sin 70 2 cos210(A.1B.22D.考点三 逆用

4、三角公式进行化简（升幕公式、降幕公式的应用） 【例3】 化简下列各式：3 n _(3T， 2n)；思路点拨：（1）若注意到化简式是开平方根和2a是a的二倍，a是扌的二倍，以及其范围，不难找到解题的突破口； （2）由于分子是一个平方差，若注意到这一特征，不难得到解题的切入点.点评：在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2 a是a的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意 2 a，扌+ a, - a三个角的内在联系的作用,cos 2 a=2sinCOs（； 土a）是常用的三角变换.（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化

5、简技巧.（3）注意公式的变形，如COs a=sin 2 a2sin a，1 + cos 2 a2COs a：sin2a=1 cos 2 a练习3.已知-4-4n1 - 6-X，贝U sin 4x =考点四 有关sin x, cos x的齐次式问题n1【例 4】 已知一t；vxvO , sin x+ cos x =.252亠“，+ 亠sin 2x+ 2sin x砧居(1) 求sin x - cos x的值； 求 i 一 tan x的值.思路点拨：正余弦三兄妹“sin xicos x, sin x cos x”的内在联系“知一可求二4.已知sin 2 a+ 2sin2a1 + tan an%k V

6、 aV _ （42）用k表示sin a- cos a的值等于2. (2012广东卷)已知函数f(x)_ 2cos(3x+ 6)(其中3 0, x R)的最小正周期为10 n.(1)求3的值；16，求 COs(a + & 的值.设 a,跃0 ,扌,f(5 a+ 丰)=5 , f(5B普)1 角的变换是三角函数变换的核心，基本的技巧有：z B 2)(1)巧变角已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变 换.女口 a= ( a+ B= ( a B+ B 2 a= ( a+ B) + ( a B), 2 a= ( B+ a) ( B_ a), a+ B= 2 +

7、B, a； B(f B)等.(1) 常值变换：主要指“ 1 的变换，如:22n n1 = sin2x + cosx= tan x cot x = tan4= sin =(2) 正余弦三兄妹“ sin xkos x, sin x cos x的内在联系知一求二.2.辅助角公式asin x + bcos x=. a2+ b2sin(x +助(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的 值由tan = 确定)在求最值、化简时起着重要作用.3由两角和、差的三角函数公式及倍角公式进行适当的变形还可得到以下一些重要结论:(1)sin aztcos a= . 2sin (靖)；(sin acos a2= 1

8、sin 2 a；1 an an,、(3) = tan .土 讥；1?tan a4 丿运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征， 如角的关系、次数关系、三角函数名等.抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用, 而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数街所具有的相似性的结构特 征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点.(3)对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如：cos( a + B )cos p + sin( a + B )sin p = cos tan( a + B ) (1 tan a tan &) = tana + tantan( a + B )tan a tan B= tan( a + Ba2tan?(4)万能公式：sin a=1 + tan万能公式的特点和作用：可将)tanCOS asina,a,B,a tan B 等2 a1 tan 2,tan1 + tan2ja2tana=.(属知识拓展)