线性代数公式必背完整归纳清晰版

1、线性代数必背公式（完全整理版）1#2010.4#1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有 n!项，可分解为2n行列式;2. 代数余子式的性质： 、Aj和aj的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3. 代数余子式和余子式的关系：Mj =（-1）AjAj =（-1）' jMij4. 设n行列式D :n （n V） 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则0 =（_1）F D ；n （n） 将D顺时针或逆时针旋转 90 ：所得行列式为 D2，则D 2 =（-1） 2 D ；将D主对角线翻转后

2、（转置），所得行列式为将D主副角线翻转后，所得行列式为5.行列式的重要公式：主对角行列式：主对角元素的乘积;、副对角行列式：副对角元素的乘积上、下三角行列式（、二i ）匚和丄：副对角元素的乘积n （n 丄）（-1）F;:主对角元素的乘积;n (n-1)(-1)F ；#= (_1)mn A|B拉普拉斯展开式：A °范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积; 特征值；#6.对于n阶行列式A，恒有:-A二(-1)8k 士丄，其中Sk为k阶主子式;#7.证明A= 0的方法:、A =_A ；反证法；构造齐次方程组 Ax =0，证明其有非零解; 利用秩，证明r（A） : n ； 证明0是其特征值;2

3、、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：A -0 （是非奇异矩阵）；u r （A） =n （是满秩矩阵）=A的行（列）向量组线性无关;=齐次方程组 Ax =0有非零解;b Rn , Ax =b总有唯一解；u A与E等价；u A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为 0；=ata是正定矩阵；=A的行（列）向量组是 Rn的一组基；=A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A : AA* =A*A = AE无条件恒 成立；3. （A 丄）* =（ A*） -（A 丄）T =（At）丄（A*）t （At ）*（AB）T 二BtAt（AB ）* 二B * A*（AB '丄二 B - A -

4、4.5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和; 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：AA，则:n、A2±、A O 二 A 丄OO0AO;（主对角分块）B 4 O -A 1CB 丄B丄;（副对角分块）;（拉普拉斯）、(A OHA丄O1-b 丄ca 丄 b;（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m汉n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F =；I。O加对 等价类：所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A、B，若r （A） = r （B） = A -B ;2. 行最简

5、形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1; 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）r 若（A , E）二（E , X），则A可逆，且X =A；c 、对矩阵（A, B）做初等行变化，当 A变为E时，B就变成A，即：（A, B）、（ E, A°B）;r、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果（A, b） （E, x），则A可逆，且x =A*b ；34.初等矩阵和对角矩阵的概念：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、，左乘矩阵A ,乘A的各

6、行元素；右乘,i乘A的各列元素;对调两行或两列,符号r1厂r11=11E (i, j)，且 E (i, j) E (i, j)，例如:i /15.倍乘某行或某列，倍加某行或某列，矩阵秩的基本性质:、符号符号E (i(k)，且 e (i(k)丄=E(i，例如:(k = 0)；E(ij(k)，且 E(ij(k)丄二E(ij(-k)，如:1丿广 1Z111bk1(k 0)；0 <r(Am n)乞min(m,n)r ( At ) =r (A)；若 A B，则 r (A) = r (B)；若P、Q可逆，则r(A) =r(PA) =.r(AQ) =.r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩max( r

7、 (A), r (B) _r( A, B) _r( A) r (B);(探)r (A - B)乞 r (A) - r (B);(探)r(AB) min(r(A),r(B);(探) 、如果 A是m n矩阵，B是n s矩阵，且 AB =0卩：(I、B的列向量全部是齐次方程组 AX =0解(转置运算后的结论)；n、r (A) r (B) _ n 、若 A、B均为n阶方阵，则r(AB) _r(A) r(B)-n ;6.三种特殊矩阵的方幕： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为 列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;彳a c 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式；© 0 bn二项展开式

8、：(a +b)n =cnan P 1an f1 卄十十+cTa1bn*C：bn =瓦 C,mambnJm -0注：I、( a b)n展开后有n 1项;Cmnn(n _1) (n_m 1) n!1雾豊富mm!( n- m)!=1组合的性质：cm二cn二cm -cnmn、飞=2"rCnnCm ；r £4#、禾u用特征值和相似对角化:伴随矩阵:#inr (A) = n 、伴随矩阵的秩：r(A*)二1r(A) =n _1 ;I 0r (A) :：: n -1 、伴随矩阵的特征值：-A (AX =怎X , A* = A A丄=止X );/u/u 、A* = A A丄、，A*|=An

9、-7. 关于A矩阵秩的描述： 、r(A) =n , A中有n阶子式不为0, n 1阶子式全部为0;(两句话) 、r(A) :：: n， A中有n阶子式全部为0; 、r(A) _n， A中有n阶子式不为0;8. 线性方程组：Ax =b，其中A为m n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程；9. 线性方程组Ax =b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成 n元线性方程:、a11a12a 21a

10、22aal3m1am 2an、fba 2nax 2a=b2fi-=Ax =bamn丿0 J"+anmXn =bn(向量方程，A为m n矩阵,m个方程,n个未知数)、a1 a2(全部按列分块，其中5、ax乜2 X2 乜“.=:(线性表出)、有解的充要条件：r(A) =r(A, ') < n( n为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性#A :：匕,，：m构成n m矩阵A2,，m)；1. m个n维列向量所组成的向量组m个n维行向量所组成的向量组RT肝,卩二，pm构成m汉n矩阵B=2bm>#含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. 、向量组的线性相关、无关二A

11、x二0有、无非零解；(齐次线性方程组) 、向量的线性表出Ax =b是否有解；(线性方程组) 、向量组的相互线性表示=AX=B是否有解；(矩阵方程)3. 矩阵Am茶与Bm行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax= 0和Bx= 0同解；(R01例14)4. r(AT A)= r(A) ； ( R°1 例 15)5. n维向量线性相关的几何意义： 、：.线性相关0 ； 、:,1线性相关=，-:坐标成比例或共线（平行）； 、:, 1,线性相关 二:.,'：,共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若九二，s线性相关，则 W2,，:s，:必线性相关；若”二，s线性无关，则1，2,，:

12、-s丄必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上 n-r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若 B线性相关，则 A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s）线性表示，且 A线性无关，则r （二版 耳定理7）；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）岂r（B） ；（ P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示=AX =B有解；u r（A） =r（A, B）（ P*5 定理 2）向量组A能由向量组B等价二r （A）=r（B ） r （A, B）（

13、P$5定理2推论）8. 方阵A可逆二 存在有限个初等矩阵 Pi, P2,，P，使A = RP2R ； 、矩阵行等价：A BuPA=B （左乘， P可逆）二 Ax二0与Bx二0同解c 、矩阵列等价：A Bu AQ二B （右乘，Q可逆）； 、矩阵等价： AB：= PAQ =B （ P、Q可逆）；9. 对于矩阵Am n与Bl n : 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax= 0与Bx= 0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；10. 若 Am sBs n Cm n，则： 、C的列向量组能由 A的列

14、向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，At为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组Bx= 0的解一定是 ABx= 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx =0只有零解 =Bx= 0只有零解； 、Bx =0 有非零解：ABx = 0 一定存在非零解；12. 设向量组Bnx : b,，br可由向量组An溥：ai, a?,，线性表示为：（Pi。题 佃结论）（bb,，br）«,a?,，as）K （ B =AK）其中K为s r，且A线性无关，则B组线性无关r（K） = r ； （ B与K的列向量组具有相同线性相关性 ）（必要性:r =r（B）

15、 =r（AK ） < r（K）, r（K ） < r,. r（K）= r ;充分性：反证法）注：当r二s时，K为方阵，可当作定理使用；13. 、对矩阵Am n，存在Qn m，AQ二Emr （ A）二m、Q的列向量线性无关；（P87）、对矩阵Am n，存在Pnm，PA二E n二r （A） = n、P的行向量线性无关；14. ：-1, >2,-s线性相关=存在一组不全为0的数k1, k2,，ks,使得KJ k22 ，ks亠二0成立；（定义）二（耳,a2,as） x； =0有非零解，即 Ax= 0有非零解;4=re】，、，系数矩阵的秩小于未知数的个数;15. 设m n的矩阵A的秩为

16、r，则n元齐次线性方程组 Ax = 0的解集S的秩为：r（S）二n_r ；P111 题16. 若n为Ax=b的一个解，匕,爲；：4丄为Ax=O的一个基础解系，则<©，©线性无关；（ 33结论）5、相似矩阵和二次型T1T1. 正交矩阵=A A =E或A -二A （定义），性质：Hi = i 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTajJ （i, j =1,2,n）；i j oi 式 j， 、若A为正交矩阵，则 A1 = At也为正交阵，且|A= 1 ； 、若A、B正交阵，则 AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化 和单位化；2. 施密特正交化：（a，a?,，ar）b =ai ；b o b ,a2.d "2 TTTT bb1 , b1 b, ab2, arb, bb2, b2br,ajbr 4, br 丿3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. 、A与B等价A经过初等变换得到 B ；二 PAQ =3， P、Q 可逆；=r （A）二 r （