线性代数超强总结

1、11A不可逆r（A） c nA =o= Ax = o有非零解0是A的特征值A的列（行）向量线性相关A可逆r（ A） = n Ax = 0只有零解A的特征值全不为零A丰Ja的列（行）向量线性无关AT A是正定矩阵A与同阶单位阵等价A = Pl P2Ps，Pi是初等阵-1. - Rn, Ax =-总有唯一解#11#11向量组等价具有相似矩阵 :.-具 反身性、对称性、传递性矩阵合同 称为:n的标准基，:n中的自然基，单位坐标向量; e , e2,en线性无关； Q, e2, ,ej =1 ； tr( E )= n ;任意一个n维向量都可以用ei,e2,en线性表示.行列式的计算:若A与B都是方阵（

2、不必同阶），则A oAoA B* BoB(-IPABBA#11#11 上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积ain关于副对角线:a2n丄a2n -1二(T) aina2n ani#11#11an1an1逆矩阵的求法：aA=A初等行变换1(A :E)、(E :A-)a_c1 d ad -be | c1A BlcT1一！CD_T:BTDa-b1ana21a?a2ananAi1Ai 一1An_A2A2A2方阵的幕的性质:m -nm(A ) =(A)mn设 f (x) = xm - am丄Xmyx -ao，对n阶矩阵A规定:mmJf (A) mA - am jA 一 a1 A a。E为A的一个多

3、项式.设Am n则：ri=Aji =1,2, ,s,即 A(；二)=(AX，A ,A) 若：=(b1,b2/ ,bn )T,则 A - 冷 522 bnnA的列向量为1, 2, n , B的列向量为一：1，；-,AB的列向量为用A, B中简 单的一个提 即：AB的第i个列向量*是A的列向量的线性组合,组合系数就是貝的各分量高运算速度AB的第i个行向量*是B的行向量的线性组合,组合系数就是耳的各分量.用对角矩阵上左乘一个矩阵，相当于用上的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;用对角矩阵上右乘一个矩阵，相当于用上的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘

4、与分块对角阵相乘类似,即：A =A22+,B =B22oAkk 一1 1oBkk 一A11O 1o 1Bii#AB1 B11Akk B kk（当B为一列时， 即为克莱姆法则）V矩阵方程的解法：设法化成（I） AX二B 或（II） XA二B（I）的解法：构造（AB）初等行变换.（e ：X ）（II） 的解法：将等式两边转置化为AT X T = B T，用（I）的方法求岀X T，再转置得XV Ax = 和Bx = 同解（A, B列向量个数相同）,则: 它们的极大无关组相对应，从而秩相等; 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系V判断-2,，s是Ax的基础解系的条件： 1,

5、2，s线性无关； -2，s是Ax =0的解； s=n - r （A）=每个解向量中自由变量的个数 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关 原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关 两个向量线性相关=对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 向量组：,2，；中任一向量：i （1 wi w n）都是此向量组的线性组合 向量组：i/2, ； ：n线性相关二向量组中至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表示向量组1，2，； ：n线性无关二向量组中每一个向量i都不能由其余n-1个向

6、量线性表示m维列向量组、，、；_2,皿n线性相关二r(A) : n ；m维列向量组.；s沁n线性无关二r(A) = n . r (A) =0二 A = - . 若：12, / :n线性无关，而：i-2-n,-线性相关,则可由:1,2 ,n线性表示，且表示法惟?矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系.向量组等价| 12, n和貝，氏，电可以相互线性表示记作：b iS，Gn：fBn 矩阵等价| A经过有限次初等变换化为B .记作：A二B?矩阵A与

7、B等价二r(A) =r(B) = . A, B作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵 A 与 B 作为向量组等价二(J,2；n)=r(；,-：2：n)F(1，2n，U2，J：nU 矩阵A与B等价.?向量组I, -2, / ：s可由向量组1,2, n线性表示U r (: 1, 2,n, ：1 , ：2，；：s) = r(亠，2,；n) = r( , -2 , ：s) (i,2,n ) ?向量组, ：2, / s可由向量组1，2,；n线性表示，且S n，则I，、，Js线性相关. 向量组,线性无关，且可由二，2,，亠线性表示，则s n.?向量组-1, -2,-S可由向量组亠，2, n线性

8、表示，且rC，S)=(亠，2,*n),则两向量组等价；?任一向量组和它的极大无关组等价.?向量组的任意两个极大无关组等价，且这两个组所含向量的个数相等.?若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.?若A是m n矩阵，则r(A)空min fm, n?,若r(A)=m , A的行向量线性无关;若r(A) =n , A的列向量线性无关,即:二1，二2，, 一订线性无关.5#线性方程组的矩阵式Ax向量式Xi： 1-X22 丁- X- naiia21ai2a22amiam 2ai，X =X2a,P =b2mXn _1 bm 一Xibinna2amS 12j：-jLmj#当A为方阵时Ax =

9、o有非零解Ax二有无穷多解:n ：7=亠，2,，n线性相关B可由a 並，an线性表示二 Ax= B有解二r（A）=r（A：P）二 Ax = B有唯一组解）Ax= o只有零解一岂为方丄|a式0#r (A) = r(A 二):r (A 匚)r(A) 1 二 r(A =)当A为方阵时 克莱姆法则:不可由 冷，2，n线性表示 =Ax =:无解：=r （A）矩阵转置的性质：/T、T(A )=ATTT(AB) = B ATT(kA) = kATA=|a丄TT .T(A +B) = A + B矩阵可逆的性质：丄 -X(A )=A_1JL _1(AB )=B A_i_i _x(kA) =k Aa| = |a（

10、a）t =（at）(A)k =(Ak)= A伴随矩阵的性质：州州n d(A ) = AA(AB) = B A4n _1(kA) =k AA*-|a|nJ1 州州 一1 A(A ) = (A )=伺T 州T(A ) =(A )/州、k/k(A ) =(A )AA* = A*A=| A Er(A ) = *n若 r( A) = n1若 r( A) = n -10若 r(A)cn -1|AB | = A B |kA| = kn AkA-|aik#a,n2是Ax = 0的解，q十匕也是它的解(2) H是Ax = 0的解,对任意k, kH也是它的解卜齐次方程组(3) q,n2,Ek是Ax = 0的解,对

11、任意k个常数线性方程组解的性质:人，扎,，打,小 十小+扎A也是它的解.(4) 是Ax二的解,是其导出组Ax = 0的解,是Ax二:的解(5) 叽口2是Ax = B的两个解耳是其导出组Ax =0的解(6) n2是Ax = 0的解，则q也是它的解二q 口2是其导出组Ax = 0的解(7) 勺，6，叭是Ax = P的解，则U小也是Ax = B的解二 人+扎2 +打=1人q +小 +小是Ax = 0的解U 打+爲+打=0V 设A为m n矩阵，若r(A) =m ,则r(A) =r(A门)，从而Ax = 2 定有解.9#当m : n时,定不是唯一解.=方程个数未知数的个数向量维数向量个数则该向量组线性相

12、关#m是r(A)和r(A干；)的上限.V矩阵的秩的性质: r(A) =r(AT) =r(ATA) r(A _B) W r ( A) r (B) r (AB ) W min(A), r (B) /Ir(A)若 k = 0 r(kA：0若 k=0rr(B) o B 一 若 A =0,则 r(A) 1 若 Am n, Bn s,且 r (AB ) = 0,则 r (A) - r(B) W n 若 P,Q可逆，则 r(PA)二r(AQ)二r(A) 若 A可 逆,则 r(AB) =r(B)若B可逆，则r(AB) =r(A) 若r(A)二n,则r(AB) =r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律A B 二

13、0 = B = AB 二 AC 二 B = C标准正交基| n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. a与 B正交（a, 0） =0 .a 是单位向量 a| = J（a,a） =1 .2内积的性质：正定性：（:，:）_ 0,且（，）=0 ：=:-=:- 对称性：（、,）=（：，） 双线性：（，亠2） = （，1 ） （，：2）（1 *2, ：） =（1, ：） （2，：）（C，：）=（C, ：）=（： , C ：）施密特线性无关,（a正交化:2=.、2（一2,111:（字1） 1（3, ：1）：_ G 3, -2）:正交矩阵2 A是正交矩阵的充要条件:单位化：_2233A的n个行（

14、列）向量构成：n的一组标准正交基2正交矩阵的性质： at =aa ； AAT = AT A = E ; A是正交阵，则AT （或A）也是正交阵; 两个正交阵之积仍是正交阵； 正交阵的行列式等于1或-1.A的特征矩阵人E A .11A的特征多项式A的特征方程九E_A=O.Ax二 x r Ax与x线性相关#V上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.若A =0,则扎=0为A的特征值,且Ax=0的基础解系即为属于几=0的线性无关的特征向量aj-aV 若 r(A)=1,贝 UA一定可分解为 A =:Ibi,b2,，bn、A2=(aQ+a2b2 +十 anbn) A ,从而 A耳-的特

15、征值为： = tr A = at d a2b2 亠 亠 anbn ,，2 =、二 = n = 0 V若A的全部特征值m，冷,f(x)是多项式，则：f (A)的全部特征值为f ( ), f(，2)，fn)；当A可逆时,A的全部特征值为十,亡，#A “的全部特征值为門二，=kAaA bE是 A的特征值，则:分别有特征值AA2Amx是A关于力的特征向量,则x也是A与B相似kAaA bEA2AmA=A -关于k -a b12的特征向量.B = P XAP ( P为可逆阵)记为：A : B#V A相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量这时，P为A的特征向量拼成#的矩阵，P AP为对角阵,主

16、对角线上的元素为A的特征值.V A可对角化的充要条件：n _r（、E_A）二ki 匕为的重数.V若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似.A与B正交相似 B = P -AP（ P为正交矩阵）V相似矩阵的性质： A- B 1若A,B均可逆 at : btAk : Bk( k为整数) 入E A =_B ,从而A, B有相同的特征值，但特征向量不一定相同即：x是A关于 0的特征向量,P X是B关于 0的特征向量.A = B 从而A, B同时可逆或不可逆 r(A) =r(B) tr (A)二tr (B)V数量矩阵只与自己相似.V对称矩阵的性质： 特征值全是实数，特征向量是实向量； 与对角矩阵合

17、同； 不同特征值的特征向量必定正交； k重特征值必定有k个线性无关的特征向量； 必可用正交矩阵相似对角化（一定有 n个线性无关的特征向量，A可能有重的特征值,重数=n _rE - A）A可以相似对角化 A与对角阵A相似.记为：AjA（称A是A的相似标准型）V若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数（重数重复计算）=r（A）.V设二为对应于】的线性无关的特征向量，则有:A(O(1,0(2，八，Otn ) = ( Aoti , Aq(2，八,Aa n )=(人0(1 ,花0( 2，八，打0( n ) = loti ,Ot 2，Ct n 1AV 若 A j B , C j D ,则：f 1 i B

18、!七C1。D 一V 若 A j B ,则 f （A） j f （B） , f （A| f （B）.二次型| f （XX2，Xn） =XT AXA为对称矩阵X =（各兀，Xn）TA与B合同B =CTAC .记作：A j B （ A, B为对称阵,C为可逆阵）V两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.V两个矩阵合同的充分条件是：A:BV两个矩阵合同的必要条件是：r（A） =r（B）:正交变换V f （Xi，X2，Xn） =XTAX经过合同变换 X二CY化为f（Xi，X2，Xn）=為djy；标准型；可逆线性变换1V二次型的标准型不是惟一的，与所作的正交变换有关，但系数不为零的个数是由r（A）正惯性指数负惯性指数惟一确定的.V当标准型中的系数di为1 , -1或0时，则为规范形V实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数1+_1V任一实对称矩阵A与惟一对角阵合同.1V用正交变换法化二次型为标准形： 求出A的特征值、特征向量； 对n个特征向量单位化、正交化； 构造C （正交矩阵）,cAC =；n 作变换X