函数与方程思想总结很好很全面

1、函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,到达化难为易,化繁为简的目的.函数与方程的思想是中学数学的根本思想,也是历年高考的重点.1 .函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.2 .方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方

2、程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系；3 .函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0o(2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y0时,就转化为不等式f(x)0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)=(1+x)An(nGN*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法

3、和比拟系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决.【例1】.关于x的方程(x21)2|x21|+k=0,给出以下四个命题：存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根；存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根；存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根；存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是解答：根据题意可令Ix21I=t(tA0)那么方程化为t2t+k=0,(*)作出函数t

4、=|x21|的图象,结合函数的图象可知当t=0或t1时,原方程有两上不等的根,当0vtv1时,原方程有4个根,当t=1时,原方程有3个根.(1)当k=2时,方程(*)有一个正根t=2,相应的原方程的解有2个；(2)当k=时,方程(*)有两个相等正根t=,相应的原方程的解有4个；(3)当k=0时,此时方程(*)有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；(4)当0vkv时,方程(*)有两个不等正根,且此时方程(*)有两正根且均小于1,故相应的满足方程|x2-1|=t的解有8个答案：1234【例2】假设不等式x2+ax+1)0对于一切xG(O,成立,那么a的最小值为解答：1.别离变量,有a-

5、(x+),xG(0,恒成立.右端的最大值为一,a-.2 .看成关于a的不等式,由f(0)芸0且f()0可求得a的范围.3 .设f(x)=x2+ax+1,结合二次函数图象,分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4 .f(x)=x2+1,g(x)=ax,那么结合图形(象)知原问题等价于f()O(,即a.【例31设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当xv0时,f(x)gx0x)-gXx),且g(-3)=0,那么不等式f(x)g(x)v0的解集为解析：以函数为中央,考查通性通法,设F(x)=f(x)g(x),由f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以F(-x)=f(-

6、x)g(-x)=-f(x)g(x)=F(x),即F(x)为奇函数.又当xv0时,F(x)f(x)g(x)f(x)g冶0,所以x0时,F(x)也为增函数.由于F(3)=f(3)g(3)=0=F(3).如上图,是一个符合题意的图象,观察知不等式F(x)v0的解集是(8,3)U(0,3)【例4实数a,b分别满足a4a10,bka,20,即(x1)21+4m24+1+4m2x24m20,整理得x2-2x-30,由于x20,所以1+4m2),设g(x)=,xG.于是题目化为1+4m2)g(x),对任意xG恒成立的问题.为此需求g(x)=,xG的最大值.设u=,那么0u,因此实数m的取值范围是mU.(解法

7、2)(前面同解法1)原题化为1+4m2)g(x),对任意xG恒成立的问题.为此需求g(x)=,xG的最大值.设t=2x+3,那么tG6,+8).g(x)=h(t)=.由于函数t+在(3,+8)上是增函数,所以当t=6时,t+取得最小值6+.从而h(t)有最大值=.所以1+4m2)gmax(x)=,整理得12m45m23)0,即(4m23)(3m2+1)0,所以4m23)0,解得mW或m,因此实数m的取值范围是mU.(解法3)不等式化为f(x1)+4f(m)f+4m2f(x)0,即(x1)21+4m24+1+4m2x24m20,整理得x22x-30,令F(x)=x2-2x-3.由于F(0)=3V

8、0,那么其判别式A0,因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到,所以为使F(x)0对任意xG恒成立,必须使F为最小值,即实数m应满足解得m2),因此实数m的取值范围是mU.【例10】.某工厂2005年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同,问全年总利润W与全年总投入资金N的大小关系是解答：设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a,每月的增加投入百分率为r.那么每月的利润组成数列,二的.?再412,用W犷),每月投入资金组

9、成数列瓦二次(1+r)*12小巨犷),如图,由两函数图象特点可知,有戛1=%31士=%可见町也.%4,MJ也1,故WN2x21 .(2021北京)函数f(x)x,X假设关于x的万程(X1)3,x2f(x)k有两个不同的实根,那么实数k的取值范围是.2 .(2021广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和.假设a1=1,ak+a4=0,那么k=.3 .(2021福建)假设曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,那么实数a的取值范围是.4 .(2021天津)设函数f(x)=x,对任意xG1,+),f(mx)+mf(x)0)aG(一,0).4 .(8,1)解析：由于对任意xG1,+oo)

10、,f(mx)+mf(x)=2mx0对任意xG1,+8)恒成立,即2m2x1-1m20,解得m21,即m0时,有2m2x21m20对任意xG1,+8)恒成立,m无解,综上所述实数m的取值范围是m0(1)假设m1,求证：函数f(x)是增函数；如果函数f(x)的值域是0,2,试求m的取值范围；如果函数f(x)的值域是0,入m2,试求实数入的最小值.解答：(1)证实：当m0,所以f(x)是增函数,(2)解：令g(x)=x|x2-3|,x0,那么g(x)=当0WxW时,g(x)=33x2,由g(x)=0得x=1,所以g(x)在0,1上是增函数,在1,上是减函数.当x时,g(x)=3x230,所以g(x)

11、在,+)上是增函数,所以xG0,时,g(x)max=g(1)=2,g(x)min=g(0)=g()=0,所以0m时,在xG0,时,f(x)0,2,在xG,m时,f(x)0,f(m),这时f(x)的值域是0,2的充要条件是f(m)2,即m33m02,(m2)(m+1)2w0,解得m02.综上,m的取值范围是1,2.(3)由(2)可知,0Vm2时,函数f(x)的最大值为f(m)=m33m,由题意知m3-3m=Xm2,即卜二m一,这是增函数,二入G.综上,当m=2时,实数入取最小值为.变式练习函数g(x)=xlnx,设0vavb,求证：0Vg(a)+g(b)2ga时,F(x)0,因此F(x)在(a,

12、+)上为增函数.从而,当x=a时,F(x)有极小值F(a).由于F(a)=0,ba,所以F(b)0,即0Vg(a)+g(b)2g.再构造函数G(x)=F(x)-(x-a)ln2,那么G(x)=lnxlnln2=lnxln(a+x).当x0时,G(x)v0.因此G(x)在(0,+oo)上为减函数.由于G(a)=0,ba,所以G(b)v0,即g(a)+g(b)-2g2+2m,(4分)当且仅当2x02=时,|PQ|2取最小值,即|PQ取最小值.当m0时,2m+2m=2,.m=1(6分)当m0,假设m0,k1-,函数y=f(x)kx有两个零点x=；(10分)假设m0,k0.红N2解得4法二：只需满足方

13、程x2(2k+1)x+k2-2=0有两大于或等于k的不等实根,即:点评：在解数学题的过程中,寻找一个命题A的等价命题B往往是解题的关键,此题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题.题型二函数与方程思想在不等式中的应用【例4】.设abc,且a+b+c=0,抛物线V工+加工十二被x轴截得的弦长为|,求证：1证实：二0取匚,且*+占+.=.二口./.从而旌43-4叱02故抛物线+2+二与x轴有两个不同的交点,即方程春/+2历T+e=0必有2ha工I+X.；-r工西=两个不相等的实数根L由韦达定理得口以可见,是0的二次函数.由值2白,二及七一匚=0,得s一白一心,解

14、得沔F在.卷上是减函数,气一:-3+35；ABC的两个(2)对任意实数%恒有f(2+cosa)q0证实m3;(3)在(2)的条件下,假设函数f(sin的最大值是8,求m.(1)证实：f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0.依题意:A=强+1丫-4(加十4)utarL0tan-tan二加+40又A、B锐角为三角形内两内角,：不2vA+BvTT._tan刁+tan3僧+1C1皿4+的=0稗十42U丝30褥+3(2)证实：f(x)=(x1)(xm),又一14cosa卢112+cosocq3恒有f(2+cosa)W0即1x附,恒有f(x)HP(x1)(xm)X但xmax=3,：nXmax=3.

15、(MO解：f(sina)=sin1-炉1I7Fa(m+1)sin七m=熠十1门)H-wz-做十DT修+1且2当sin,1时,fsin君最大值8.即1+(m+1)+m=8,：m=3题型四函数与方程思想在解析几何中的应用【例6】.直线憎了=M+和双曲线工一了=1的左支交于A、B两点,直线l过点P2,0和线段AB的中点M,求l在y轴上的截距b的取值范围.卫二止x十L3工MT22解：由犬7=1,消去y,得上-1+川x+2=0,*由于直线m与双曲线的左支有两个交点,所以方程邛有两个不相等的负实数根.所以2k-21-90解得一：,.：设：11-PI.切b二三点共线,得出f(k)=2炉+片+2=2佰一J14设178,那么,在.户上为减函数,/诋寸出,且,叫T历5无“口,或口HJ题型五函数与方程思想在立体几何中的应用例71.如图,FNJ面jBe,jW_L于D,BC=CD=AD=1令尸0=汗,/EFC二日,试把tan日表示为x的函数,并求其最大值；2在直线PA上是