广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法

1、第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算，在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件一积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的.定理9.1(Cauchy收敛原理)f(x)在a,+)上的广义积分f(x)dxa收敛的充分必要条件是：V0,存在A0,使得b,bA时，恒有b/Ibf(x)dx卜；证明：对limff(x)dx=0使用柯西收敛原理立即得此结论.b二b

2、同样对瑕积分ff(x)dx(b为瑕点)，我们有a定理9.2(瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在a,b)上有定义，在其任何闭子区间a,b-q上常义可积，则瑕积分，f(x)dx收敛的充要条件是：V名0,m30,只要0/6,就有b-/Ib_f(x)dx|定义9.5如果广义积分广|f(x)|dx收敛，我们称广义积分f(x)dxaa绝对收敛(也称f(x)在a,+8)上绝对可积;如:f(x)dx收敛而非绝对收敛，则称:f(x)dx条件收敛，也称f(x)在田,+8)上条件可积.由于VA,Aa,均有AA/IAf(x)dx|E|f(x)|dx因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理.定理9.3

3、如果广义积分(x)dx绝对收敛，则广义积分Ef(x)dx必aa收敛.它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质.下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法.比较判别法：定理9.4(无限区间上的广义积分)设在a,+8)上恒有0wf(x)wk中(x),(k为正常数)则当*(x)dx收敛时，1ff(x)dx也收敛；aa当楝f(x)dx发散时，中(x)dx也发散.aa证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立.对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5设f(x),g(x)均为a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个

4、正常数k,使0Mf(x)Ekg(x),Vxwa,b),则，b，一-b,1)如gg(x)dx收敛,则ff(a)dx也收敛。aabb2)如ff(x)dx发放,则gg(x)dx也发放.aa比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式.定理9.6如果f(x)g(x)是a,+)上的非负函数，且lim工(x)=l,则-二g(x)(1)如果0wl+o0,且g(x)dx收敛，则积分J*f(x)dx也收敛.aaHoc*he如果0l0(l-80),存在A,x:g(x)当x2A时，0l-t(x)l+名g(x)即(l-s)g(x)f(x)b-g(x)(1)(2)一bb,且g(x)dx收敛时,则ff(x)dx也收敛.

5、aa，且fg(x)dx发散时,则fbf(x)dx也发散.aa对无限区间上的广义积分中，取二11dx作比较标准，则得到下列axpCauchy判别法：设f(刈是a,+)的函数，在其任意闭区间上可积，那么:c定理9.8若0Mf(x)1,那么积分f(x)dx收敛，如f(x)-5x,p41,则积分1af(x)dx发散.其极限形式为定理9.9如limxpf(x)=l(0ml1),贝U积分Jaf(x)dx收敛.如limxpf(x)=l，而0lw+七，p0,n0)二x,(2) dx1 1xn11解：(1)因为0win(1+)x1x11112x1xx(1x)x-】dx收敛.1x,二11由2dx收政推出i|1n(

6、1+)-1x1ILxm(2)因为limxnm-=1,所以当n-m1时，积分.xm.j；dx发散.11xnX,；1xnxmfdx收敛.当nm0),p0),p之1,贝Uff(x)dx发散.(x-a)a瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为te理9.11设lim(x-a)pf(x)=kxa-如0k0,p1,则ff(x)dx收敛ab如01一dx(1-x2)(1-k2x2)二12(1-k2),1由p=知瑕积分收敛.2(2)0与乙都是被积函数的瑕点.2dx,.1先讨论4,由limxp=1o-pqpqsinxcosxx。sinxcosx,三dx一一，,知：当p1时，瑕积分rp收敛；当p21时,瑕积分sinp

7、xcosqxO4.pdXq发散0sinxcosx三dx再讨论总1因lim(x)p-p=12sinpxcosqxdx所以当q1时，瑕积分像一13dx收敛,4sinpxcosqxdx,山当q之1时，瑕积分2dx发散.pq4sinxcosxdx人，八一综上所述，当p1且q0,360(S1),V0x6有xxf(t)dt二；,2从而xx0-f(x)三xf(t)dt22或00),当九V1时收敛0x(1-cosx)3,1当儿上1时发散.3x33/1-cosx证明：:lim=limx0x(1-cosx)xHx1.=lim二231-COSx2xJ所以当3人1时，即九1时，瑕积分收敛.当3九之1,即九之1时,33

8、瑕积分发散.前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果.定理9.12(积分第二中值定理)设g(x)在a,b上可积，f(x)在a,b上单调，则存在七a,b使bf(x)g(x)dx=g(a)f(x)dxg(b)f(x)dxaaa为了证明定理9.12,我们先讨论下列特殊情况.引理9.1设f(x)在a,b上单调下降并且非负，函数g(x)在a,b上可积，则存在ca,b,使bcf(x)g(x)dx=f(a)g(x)dxaax证明：作辅助函数(x)=f(a)fg(t)dt,对a,b的任一分法P:a=Mx1x2xn=b我们有brJX,f(x)g

9、(x)dx=1f(x)g(x)dxaxi-Li1由此得到bnxi1Lf(x)g(x)dx-zf(Xi/)(g(x)dx1a.4xi1i=1一1nxi=rxf(x)-f(Xi_i)g(x)dx|xi1nzi1:|f(x)-f(Xi_i)|g(X)|dXXi1n刈x)dmaxG(x)我们证明了不等式nx3f(xi一比g(x)dxEfmax)nxmin(x)f(xi.1)g(x)dxmax(x)xa,bi1xi1xa,b现令|P|T0,取极限，就得到min(x)0,设|g(x)|MM,Vxa产)，因广f(x)dx收敛，由Cauchy收敛原理，m/Aa,使vA,A之A时，有A1Af(x)dx|：2M由

10、积分第二中值定理，我们得到A,-Ai|：f(x)g(x)dx|*g(A)11f(x)dx|g(AJ11f(x)dx|AA一rA，三M|f(x)dx|M|f(x)dx|Azz一一+一二=.再由Cauchy收敛原理知f(x)g(x)dx收敛a(2)设M为F(A)在a,+g)上的一个上界，则vA,Aa,显然有Ai|Af(x)dx卜2MA同时，因为limg(x尸0,所以存在A0左a,当xAo时，有xg(x)|b-证明：(1)只须用第二中值定理估计bb_f(x)g(x)dx读者可以仿照定理11.2.8(1)的作法完成(1)的证明.(2)读者可以仿照定理11.2.8(2)的作法完成(2)的证明.1(0pw

11、2)的敛散性1sin-例9.14讨论积分x-xdx0xp解：对于0Vp1,因为.1sinxxpdx1-xpinX绝对收敛敛对于0Wp2,因为函数f(x)=x2T当xt0时单调趋于0,而函数.1sing(x)=x满足所以积分.1三|cos1-cos|三21s1n1sin一-xdx=lx2/dx收敛.0xp0x2但在这种情况下，.1sinxxpdx是发散的事实上.1sinxxp.21sin一Xxp12xp2cosx2xp一11，因7dx发散,02xp2cos-1fxdx收敛,02xp.1sin-xxpdx发散从而当0Mp,F求证：Ef(x)dx收敛ujxf/(x)dx收敛.aa5,证明：若函数f(x)在a,+)上一致连续，且无穷积分Jf(x)dx收敛，则limf(x)=0.ax6,求证：若无穷积分广f(x)dx收敛，函数f(x)在a,)内单a1调，则f(x)=o(-).x7.计算下列广