考研数学公式大稿

1、高等数学复习公式高等数学公式篇平方关系：sinA2( a )+cosA2( a )=1tanA2( a )+仁secA2( a )C0tA2( a )+仁CSCA2( a )积的关系：sin a =tan a *COS aCOS a =cot a *Sin atan a =sin a *sec acot a =COS a *CSC asec a =tan a *CSC aCSC a =sec a *COt a倒数关系：tan a，cot a =1sin a，CSC a =1COS a sec a =1直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比

2、邻边，三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：COS( a + B )=COS a，-cOs gsi们 Bcos( a B )=ccs a，sc© +sin ain Bsin( a±B )=sin a，(soasBn±Bcotan( a + B )=(tan a +tantan B )tan( aB )=(tan -tan B )/(1+tan a，tan B )三角和的三角函数：sin( a+ B+y)=sina，cosB，csSiy B coscos y +cos a sicosSnra，sin B sin ycos( a+ B+y)=cosa，cos-Co

3、-soosirY B SHsiry a cos B-sinira 丫 sin B cos ytan( a+ B+y)=(tana +tanBtataa 丫 tan B，tartarn )/(1 tataB B tanarv( tan a)辅助角公式：As in a +Bcos a =(AA2+BA2)A(1/2)si n(，其中sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)tant=B/AAsin a +Bcos a =(AA2+BA2)A(1 /2)cos( -t) ,tant=A/B倍角公式：sin(2 a )=2sin a，cos a =2/(t

4、an a +cot a )cos(2 a )=cosA2( -ainA2( a )=2cosA2( -0=)1-2sinA2( a )tan(2 a )=2tan a-/ahA2( a)三倍角公式：sin(3 a )=3sin-4ainA3 ( a )cos(3 a )=4cosA3( -3)s a半角公式：Sin( a /2)= ±&c(sa )/2)cos( a /2)= 土" (1+cos a )/2)tan( a /2)= ±W(sa )/(1+cos a )=sina /(1+cos -cos)=O/sin a降幕公式sinA2( a )=-1o

5、s(2 a )/2=versin(2 a )/2cosA2( a )=(1+cos(2 a )/2=covers(2 a )/2tanA2( a )=(cos(2 a )(1+cos(2 a )万能公式：sin a =2tan( a /2)/1+tan9(a /2)cos a =1tan9( a /2)/1+tan9(a /2)tan a =2tan( a /2)/tanT( a /2)积化和差公式：sin a，cos B =(1/2)s in(a + 节®+si n(acos a sin B =(1/2)sin(ai+©)cos a，sB =(1/2)cos( a +)s

6、in a，sin(B=cos( a +&cos( aB )和差化积公式：sin a +sin B =2sin(a + B )/2咻“2 asin -sin B =2cos( a + B )/2s-n( )/2 a cos a +ccs B =2cos( a + B )/2cosB )/2a cos a-cos B = sin(a + B )/2sinB )/2a推导公式tan a +cot a =2/sin2 atan acot a =2cot2 a1+cos2 a =2cosA2 a1-cos2 a =2sinA2 a1+sin a =(sin a /2+cos a /2)八2其他:

7、sin a +sin( a +2 n /n)+sin( a +2n *2/n)+sin( a +2n *3/n)+ +sin“n=(+2 n *(ncos a +ccs( a +2 n /n)+cos( a +2n *2/n)+cos( a +2n *3/n)+ +cos-1)+=0*(以及sinA2( a )+sinA2(-2 n/3)+sinA2(a +2 n /3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O三角函数的角度换算编辑本段公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2kn+ a) = sin acos (2kn+

8、a = cos atan (2kn+ a = tan acot (2kn+ a = cot a公式二：设a为任意角，n +a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系: sin ( n+ a) = sin acos ( n+ a) = co s atan ( n+ a) = tan acot ( n+ a) = cot a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin(a)=sin acos(a =co s atan(a =tan acot(a)=cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到n- a与a的三角函数值之间的关系:sin ( n a) = sin acos ( n a) = co

9、 s atan ( n a) = tan acot ( n a) = cot a第4页共21页高等数学复习公式公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系:sin ( 2 n a) = sin aCOS (2n a) = COS atan (2n a) = tan aCOt (2n a) = COt a公式六：n /2 ±a 3 n /2 土与a的三角函数值之间的关系:sin ( n/2+ a) = cos acos(n/2+o)= sinatan(n /2+a)= cotacot(n /2+a)= tanasin(n/2a)= cos acos ( n/2

10、o) = sin atan(n /2-a)= cot acot(n /2a)= tan asin (3n/2 + a) = cos acos (3n/2 + a) = sin a tan (3n /2 + a) = cot a cot (3 n /2 + a ) = tan asin (3n/2 a) = cos a cos (3n/2 a) = sin atan (3n /2 a) = cot acot (3 n /2 a ) = tan a(以上k Z)部分高等内容共21页高等数学复习公式编辑本段高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinix=eA( ix)-eA(-ix)/(

11、2i)cosx=eA( ix)+eA(-ix)/2tanx=eA( ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z) = 1 + z/1 ! + zA2/2 ! + zA3/3 ! + zA4/4 !+ zAn/n !+ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组 y=-y"y=y"",有通解Q,可证明双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数 特殊三角函数

12、值a O' 30' 45' 60' 90'sina 0 1/2 V2/2 V3/2 1cosa 1 V 3/2 V2/2 1/2 0tana 0 V 3/3 1 V 3 Nonecota N one V3 1 V3/3 0导数公式:高等数学复习公式高等数学复习公式(tgx ) = sec2 x/ 2(ctgx ) - - csc x(sec x) 二 secx tgx(csc x) = -csc x ctgx(Gdxlfn cos x +C(arccos x)卩=J1x21/ctgxd x戸曲 sin+ Cx l n asecxdx = In sec x

13、 + tgx +C(arcj *cos x1rUdxsin二 tgx C二-ctgxCcsc xdx=ln csc xctgx Csec x tgx dx 二 sec x 亠 Cdxa2 亠x21二arctg adx2 2x -alndx2 2 a -xdxIn2aln2acsc x ctgxdx - - csc x 亠 Cxx aa dxCln ashxdx =chxCchxdx = shxC=arcs insinxdxdxcosxdx x2 _a2n -2ln( x . x2 _a2 ) C=x x2 a222ln( x x2 a2高等数学复习公式x2 -a5t页a 2 共-a ln x2

14、2i a2 x2 dxx 22 ax= a xarcs in ' C2 2高等数学复习公式第7页共21页高等数学复习公式基本积分表:三角函数的有理式积分:22u1 -usin x2 , cos x2 ,1 u1 uxU =tg ，2dx2du第#页共21页高等数学复习公式第#页共21页高等数学复习公式一些初等函数:两个重要极限:第#页共21页高等数学复习公式第#页共21页高等数学复习公式59045 .x_xe e 双曲正弦：shx :2双曲余弦:chxxe_x e -2shxx_x双曲正切:thxeechxxe-x earshx = In( x , x? -1)sin xlim1x=0

15、 xlim (1 丄广=e = 2.7182818284 j x第#页共21页高等数学复习公式第#页共21页高等数学复习公式archx = In( x x2 -1)11 +xarthx = In 21 -x三角函数公式:诱导公式：sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90° acos asin actg atg a90° acos a-sin a-ctg a-tg a180°asin a-cos a-tg a-ctg a180°+a-sin a-cos atg actg a270° a-cos a-sin act

16、g atg a270°+a-cos asin a-ctg a-tg a360° a-sin acos a-tg a-ctg a360°+asin acos atg actg a-和差角公式：sin（.二 I ） cos（二 I Jtg （沱二）ctg （.二 I ：）-和差化积公式:sin 爲 cos I-'二 cos 二：sin :cos、社 cos “ “ sin、； sintg -tg :1 - tgtg I '1ctg、£ ctg - -1ctg 二 ctg J.sin 二 亠 sin ： =2 sin cos J2 2.R &#

17、171; +P . a -Psin : - sin - - 2 cossin2 2R c « + P a - Pcos _cos ： = 2 coscos2 2R a + P a -Pcos : - cos ： = 2 sinsin2 2第9页共21页高等数学复习公式倍角公式:sin 2: cos 2 :ctg 2:-=2 sin .二 cos :2 2 2 2=2cos 1 =1 - 2sin cos sin2ctg : -12ctg :2tgatg21 -tg a3sin 3: = 3sin : - 4sin3cos 3: - 4 cos 3 cos .z33tga -tg a

18、tg 321 -3tg a-半角公式:sin1 cos : cos -2 2tg:-1 -cos :21 - cos :1 cos :-sin :1 - cos :af1+cosa 1 +cosa sin actg -2, 1 cos、； sin1 cos ?-正弦定理:asin Abcsin B sin C=2R余弦定理： c?=a 亠b - 2ab cos C-反三角函数性质:jiarcs in x = arccos x2Ttarctgx = - arcctgx2高阶导数公式一一莱布尼兹（Leibniz )公式:n(n)k (n -k) (k)(uv)Cn u vk =0二 u(n)vn

19、uW2!v“+十 n(n- 1厂(n- k+1) k!u(2)v(k)uv(n)第10页共21页高等数学复习公式第#页共21页高等数学复习公式中值定理与导数应用:第#页共21页高等数学复习公式拉格朗日中值定理：f (b) _ f (a)二f ( J(b _a)柯西中值定理：f(b) f(a)=丄丄丄F(b)-F(a) F 牡)当F(x) =x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率： 2弧微分公式：ds = . 1 y dx,其中y = tg :化量;MM弧长。平均曲率：K =:-:从M点到M点，切线斜率的倾角变AaIdaM点的曲率：K = limAs直线：K =0;半径为a的圆：1 K =

20、一.ay,23计+y )定积分的近似计算:第11页共21页高等数学复习公式第#页共21页高等数学复习公式矩形法：f (x)a1梯形法：b.bf (x)a1抛物线法:bf f (x)比a定积分应用相关公式：功：W二 F s水压力：F = p Ab引力:F=k-a(yo yi 亠亠 yn)n- a 1(y° yn) yi 亠 亠 yn J n 2b - a(y。+yn) +2(y2+y4 十八 + ynd) +4(yi +y3 十3n - yn)函数的平均值:m1m2 ,k为引力系数r1y zb -abf(x)dxa第12页共21页高等数学复习公式b均方根:1 2 f (t)dt b -

21、a a空间解析几何和向量代数:空间 2点的距离：d = M N 2 = <(x2 - Xt)2 +(y2 丫勺)2 + (z2 z1)2向量在轴上的投影：P门uAB = AB cos申®是AB与u轴的夹角。Pr ju (at a2) = Pr jat Pr ja2a b = a b cos 日=axbx +ayby +azbz,是一个数量 ，axayaz线速度:bxbybzaxayaz向量的混合积:abc = (a b) c =bxbybzc COS、£,、2为锐角时，CxCyCz代表平行六面体的体积平面的方程:1、点法式：A(x -X。) B(y -y°)

22、 C(z -Zo) = 0,其中 n = A, B,C, M °(x。，y°,z。)2、一般方程： Ax亠By亠Cz亠D =03、 截距世方程：丫 =1a b c平面外任意一点到该平面的距离： dAx。 By。Cz。 D. A2 B2 C2空间直线的方程:x _x。 y _ y。mn二t,其中s二m,n, p;参数方程:x = x。 mt« y = y。十 nt、z = z。+ pt两向量之间的夹角：axbx +ayby +azbz cos r=I222I222axayaz. bxbybzik第13页共21页高等数学复习公式第#页共21页高等数学复习公式二次曲面:

23、222xyz1、椭球面：2r -1abc2 2x y2、抛物面：z,( p,q同号)p 2q2 2 22 . 2 2 a b c2 2 2xyz_»一1(马鞍面)3、双曲面：单叶双曲面:双叶双曲面:abc第#页共21页高等数学复习公式多元函数微分法及应用全微分:注CZdz dx dydxSycucucudu dx dy dzcycz全微分的近似计算:.：z ： dz 二 fx(x, y). ：xfy (x, y) ：ydz；z:u；z:-vz = f u(t), v(t)+ .dtju.:t；:v ?t多元复合函数的求导法czZ = f U(x, y), v(x,y) 一&当

24、 u = u(x, y), v = v(x, y)时,；:u.:u ；:x；:v.:v ；:xju fu dx dy cy隐函数的求导公式：dudv:V；：vdx dycy:x隐函数F(x,y)=O,dydxFxFyd2y2dx Fx ' Fx dy (一)+(-一)dxFy；：yFy隐函数 F(x,y,z) =0,.:z；:xFxFyFzFz第14页共21页高等数学复习公式第#页共21页高等数学复习公式fcFcF隐函数方程组：丿F (x, y , u, v) =0.c(F,G)J cudvFuFv(G(x,y,u,v) =0C(u ,v)cGcGG u G vcudvju1：(F ,

25、G);:vi：(F ,G):xJ:：(x,v)一Xj：(u, x).:u1：(F ,G)_vi：(F ,G)J；：(y ,v)：yj；：(u, y)微分法在几何上的应用:空间曲线| X =(t)«y=(t)在点M(Xo,y°,Zo)处的切线方程:z =m(t)-x - X。y -yo z -Zo(to)一'-：(to) 一 . (to)在点 M 处的法平面方程：:(to)( x 一 Xo) W (to)( y 一 yo) h 辻:(to)( z 一 z°) = 0若空间曲线方程为:F (x,y,z)G(x,y,z)=O,则切向量=oFz FzGz,GzG&

26、gt;GFyGy曲面 F (x, y,z) =0上一点 M(X。，y°,z。)，则:I过此点的法向量:n = Fx (Xo, yo, zo), Fy (x。, y。，z。)，Fz(x。，y。,z。)第15页共21页高等数学复习公式第#页共21页高等数学复习公式Fx(Xo, y° ,Zo)( x -Xo) Fy(Xo, y° ,Zo)( yy°) Fz(x° , y°,z°)(z) = o3、过此点的法线方程：x -xoy yoz zoFx(Xo,yo,zo)Fy(Xo, yo,zo)Fz(x°, y°,z

27、°)2、过此点的切平面方程方向导数与梯度:第#页共21页高等数学复习公式第#页共21页高等数学复习公式函数z = f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向I的方向导数为：一 cos-sinl jxy其中为x轴到方向I的转角。f:-函数 z=f(x, y)在一点 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i ' jx.:y它与方向导数的关系是：-f = grad f (x, y) e，其中e = co: i sinj，为I方向上的<3单位向量。. 丄是grad f (x, y)在I上的投影。d多元函数的极值及其求法:fxy (Xo, yo) =B, fyy(Xo,y

28、o) =C设 fx(Xo,y°) = fy(Xo,y°) =0,令： J (Xo, y°) = A,则:AC« ACAC-B2 .0时,-B2 ：0时,A £0,(x0, y0)为极大值A >0,(x0 , y0)为极小值无极值不确定第#页共21页高等数学复习公式第16页共21页高等数学复习公式重积分及其应用:第#页共21页高等数学复习公式Ilf (x, y)dxdy = f(rcos v,rsin，Rrdrd t1DD '曲面z = f (x, y)的面积 A = I)dxdy平面薄片的重心:ji x "(x,y)dc

29、DII ： :(x, y)dcDii y T(x, y)dcDIl ' :(x, y)dcD平面薄片的转动惯量:对于平面薄片(位于xoy平面)x 轴 I x =Dz轴上质点2y ?(x, y)d；,Q对于 y轴 |y = x(x,y)d；DM (0,0,a), (a 0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中:l . “P(x,y)xdbF x = f I I3 5D2222(x - y - a )Fy = f |D"(x,y)yd :二3 5222 7(x y a )l . “ P(x, y)xddF z = - fa 1132 7 -a )D (x2 - y2第17页共21页

30、高等数学复习公式第#页共21页高等数学复习公式x = r cos v柱面坐标：y=rsin日, z = z柱面坐标和球面坐标:III f (x, y,z)dxdydz ：山 F(r,z)rdrd vdz,QQ其中： F (r,z) = f (r cos v,r sin v, z)x = r sin : cos v球面坐标： y = r sin W sin 日,dv = rd 护 了 sin ®，d 日 dr = r2 sin drd 0z = r cos 申2 二 二r(：；,：v)22ill f (x,y,z)dxdydz 二 F(r,)r sin drd -d .dr d F(r

31、,j)r sin drQQ0 0 0重心：x1二!*dv,- 1 y =! ydv,z1二！!！Z“v,其中 M = x =：?dvM门MQM门J J JQ转动惯量：Ix = . (y2z2)?dv,I y 二! (x2z2) ：?dv,lz ： III (X?/)dvQ曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：X =®(t)c设f (x, y)在L上连续，L的参数方程为：丿,(aWtB),则：=屮(t)Py =®(t)f (x,y)ds 二 f ：(t)?； (t)k ： 2(t) '- 2 (t)dt (:：)特殊情况:L：'第#页共21页高等数学复

32、习公式第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为P(x, y)dx Q (x, y)dyL两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量x=<P(t)，则：y "(t)P二P ;:(t)/-;(t)r'； (t) q,(t)r'(t)dtOf系：Pdx 亠 Qdy = (Pcos "：亠 Q cosL的方向角。I：-) ds，其中:和A分别为格林公式：11 ( - Pd :x：y)dxdy 二-Pdx - Qdy 格林公式:L:Q(、D :x;:P)dxdy:y=Pdx QdyL当P - -y,Q二x，即：2 一兰=2时，得到 D的面积:x.:y

33、无关的条件：平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域;2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分,注意方向相反!二元函数的全微分求积1Il dxdy = xdyydx 八2 L: P'。注意奇点，女口(0,0)，应;:x：yFQ在 一时，Pdx Qdy才是二元函数u(x, y)的全微分，其中:.:x:y(x,y)u(x,y) = P (x, y )dx - Q (x, y) dy，通常设 x0 =y0 =0。(x0 , y0 )曲面积分:对面积的曲面积分:22! f (x, y, z)ds 二 fx,y,z(x, y) 1 zx(x,y) Zy(x

34、, y)dxdy ZD xy对坐标的曲面积分:Il P(x, y, z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy，其中: z| R(x, y, z)dxdy:Il Rx,y,z(x, y)dxdy，取曲面的上侧时取正号;ZDxyIl P(x, y, z)dydz :r II Px(y,z), y,zdydz，取曲面的前侧时取正号;zDyzIl Q(x, y, z)dzdx-iiQx,y(z, x), zdzdx，取曲面的右侧时取正号。zDzx两类曲面积分之间的关系：Il Pdydz Qdzdx Rdxdy = (Pcos、£ ' Q cos 1 rcos

35、)dszz高斯公式:第18页共21页高等数学复习公式cPcQcR(一q dxdycz向量场A沿有向闭曲线丨的环流量:I Pdx Qdy f亠 Rdz = : A tdsr)dv = 一 Pdydz Qdzdx Rdxdy = ：(P cos "：亠 Q cos ,亠 R cos )dszz散度:cPdiv=&；:Q+,即：单位体积内所产生:z的流体质量，右div ：. ： 0,则为消失诵.量：Il A n ds 二II Ands二(P cos 二 hQcos 匸；Rcos)ds ,ZZ±因此，咼斯公式又可写成：iii div Adv = ： - AndsQZ高斯公式

36、的物理意义通量与散度:斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:"次西丄 ()dydz +(cR) dzdx +( r -cP-)dxdyTPdx +Qdy + RdzFVVl、L、工0口&excyrdydzdzdxdxdycos «cos Pcos ?上式左端又可写成：n=f二 工excz送ex&PQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：cRcQcP ? cR c Q即cy&czex&cyijkrot A =二.cy&PQR旋度:常数项级数:n等比数列：2n 丄1 q1 q q /Opq等差数列：(n - 1) n123亠 亠n二2

37、调和级数：1 11111 -是发散的2 3n级数审敛法:第16页共21页高等数学复习公式第17页共21页高等数学复习公式1正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判'T :1 寸，级数收敛设：P =lim叮Un，则* P >1时，级数发散n J p =1时，不确定2、比值审敛法：别法）设:-=limn 7 U nP <1时，级数收敛，则* P>1时，级数发散P =1时，不确定3、定义法:sn =比 u2亠亠un; lim sn存在，则收敛；否则发 散。交错级数u1 -u2u3 -u（或-u1 u2 -u3 -'Un 0）的审敛法 莱布尼兹定理:如果交错级数满足un诃+

38、lim un =0那么级数收敛且其和S兰ui ,其余项n的绝对值n兰un*第#页共21页高等数学复习公式第#页共21页高等数学复习公式绝对收敛与条件收敛:（1）5 72亠亠un ，其中un为任意实数；（2）ui +“2丨 +|u3 + +|un + 如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。调和级数：n、1发散，而7 C丄收敛；nn级数:1'、 T收敛；np级数：送丄 F勺时发散npp>1时收敛幕级数:第18页共21页高等数学复习公式第19页共21页高等数学复习公式23n1 X X X 亠 亠X :；X ：1时，

39、收敛于X亠1时，发散对于级数(3)a0 a1 x - a2x亠亠anx亠-，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存在R，使x < R时收敛X >R时发散x = R时不定，其中R称为收敛半径。0时，R求收敛半径的方法：设lim !土 = p,其中an， an十是(3)的系数，则 T an丄_ P=R 二 0函数展开成幕级数:(n)函数展开成泰勒级数:f(X)二 f(x°)(x -X。)-(x0)2f(x0)n吐(x-x°)叹(x-x°)2!n!余项：R"(X(n +1)!-X0 )1 , f (X)可以展开成泰勒级数的充要条件是

40、：lim Rn = 0n厂:x0 =0时即为麦克劳林公式:f (x)二 f (0) - f (0)x - f (0) X2 卜卷 2!(n )f (0)Xn - n!些函数展开成幕级数:(1 x)mxm(m -1)2!+ m(m -1)(m -n +1)才十n!(1 ：: X : 1)sin x =x352 n AX Xn A X(一1)-3!5!(2n -1)!(-：:x )欧拉公式:ixe cos x i sin xix 丄_Jxe 十e cos x =i 2iX-iXe -esin x 二L2三角级数:第20页共21页高等数学复习公式第佃页共21页高等数学复习公式0f (t)二 A。 、

41、 An sin( n - .t )二n丄a02od+ 送(an cos nx +bn sin nx )n 2其中,a° 二aA°, an = An sin -,bn = An cos ;:n,= x。正交性：1 ,sin x, cos x, sin 2x,cos 2xsin nx ,cos nx 任意两个不同项的乘积在-二，二上的积分=0。傅立叶级数:a0近f (x) 一 ' (an cos nx bn sin nx),周期 =2二 2n正弦级数:=0,兀anbn0兀2二二（相加）6_ 2=二（相减）12余弦级数:bnanJTf (x) sin nxdxn= 1,2,3f(x)=2； bn sinf (x) cos nxdx0a0n =0,1