考研数学知识点总结

1、考研数学考点与题型归类分析总结1高数部分1.1 高数第一章函数、极限、连续求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;k'SiiUL,xtanx, xonctaiu xlrUl+nhc1 - - x2.利用洛必达法则0型和一型直接用洛必达法则00 0 ：0、：-、1 型先转化为一型或一型，再使用洛比达法则;0 03.利用重要极限，包括xUmsn;lima(1 X)lim(1 £_e ；X J：:1#4.夹逼定理。1.2 高数第二章导数与微分、第三章不定积分、第四章定积分第三章不定积分提醒： 不定积分.f (x)dx二F(x) C中的积分常数 C容易被忽略，而考试时如 果在答

2、案中少写这个 C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分 .f(x)dx的结果可以写为 F(x)+1 , 1 指的就是那一分，把它折弯后就是 .f (x)dx = F(x) C中的那个c,漏掉了 C也就漏掉了这1分。第四章定积分及广义积分解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差 异一一出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章:aa对于J f (x)dx型定积分，若f(x)是奇函数则有J f (x)dx=0 ；33aa若f(x)为偶函数则有.f (x)dx=2 f (x)dx ；31t = x的代换是常用方法。20对于.0 f(x)dx型积分，f(x) 一般含三角函数

3、，此时用 所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利aaa用变量替换x=-u和利用性质.a奇函数=0、.a偶函数=2。偶函数。在处理完积分上下限的问题后就 使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目 也同样有效。1.3 高数第五章中值定理的证明技巧用以下逻辑公式来 作模型：假如有 逻辑推导公式 A= E、(A B)= C、(C D E)= F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。为了证明F成立可以从条件、 结论两个方向入手， 我们把从条件入手证明称之为

4、正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类:1已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的 A= E就可能有A= H、A= (I K)、(A B) = M等等公式同时存 在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(A B) = M，因为其中涉及了题目所给的 3个条件中的2个,但这恰恰走不通；2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(A B) = C,如果不知道或弄错则一定无法得出结论。反方向入手证明时也会遇到同样的问题。通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和

5、无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。so，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地想 自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(C D E) =' F再倒推想到 (A B) =' C、 A二E就可以证明了。如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论

6、”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的 形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：条件欲证结论可用定理A关于闭区间上的连续函数，存在一个E满介值定理(结论部分为：存在一个使得f(引k)常常是只有连续性已知足某个式子零值定理(结论部分为：存在一个E使得f (g) 0)B存在一个E满费马定理(结论部分为：f(勺)=0)足f(n)偲=0罗尔定理(结论部分为：存在一个E使得f(g) 一 0)条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导存在一个名满中 £ (n)足 f (0 =k拉格朗日中值定理(结论部分为：存在一个E使得f

7、f(b)f(a)%) 一b-a)C柯西中值定理(结论部分为：存在一个名使得f(2f(b)(a)-g(b)_g(a)丿g(忌另还常用构造辅助函数法，转化为费马或罗尔定理。面对这一部分的题目时， 如果把欲证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处一一so要“牢记定理的结论部分”。综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降 低出错的可能”。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的 变形

8、转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性 质及熟练运用各种变形转换技巧，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。1.4 高数第六章常微分方程历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不 太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。解题套路：“辨明类型T套用对应方法求解”先讨论一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型的方法最后的目的

9、都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为 f(x)dx=f(y)dy的形式，再积分得到答案。对于可分离变量型方程fi(x)gi(y)dx +f2(x)g2(y)dy =0变形为fl(x)dx二g2(y)dy，再积分求解 f2 (x)gi(y)齐次方程y - f (x)y* du做变量替换u = ，则y化为u x dx原方程就化为关于 u 和 x的可分离变量方程，变形积分即可解对于一阶线性方程 y + p(x) y = q(x)y = Ce Jp(xF ( Je卜 q(x )dx+C )全微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy逊jN因为其有条件矽次，而且解题时直接套用通解公式xyf M

10、(x, y°)dx+ J N(x, y )dy = C.x0y0所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于y(n)二f (x)型方程，就是先把 y(n4当作未知函(n)”(n -2)(n-3)数乙则 y('二Z 原方程就化为 dz二f (x)dx的一阶方程形式，积分即得；再对y 、依次做上述处理即可求解；W r /FFnry二f(x, y)叫不显含y的二阶方程，解法是通过变量替换y = p、y二p (p为x的函数)将原方程化为一阶方程；y、f (y,y )叫不显含x的二阶方程，变量替换也是令 ，二p (但此

11、中的p” dp dydp-为y的函数)，贝y y = dy dx = pdy pp，也可化为一阶形式。y所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换_ U ”，“求解贝努利方程1 ny p(x)y二q(x) yn就用变量替换 z = y”一样，在这里也要记住“求解不显含y的二阶方程就用变量替换y = p、y二p ”、“求解不显含x的二阶方程就用变量替换 y = p、y = pp ”。大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆:若yi(x)、y2 (x)是齐次方程y" +

12、p(x) y"十q(x) y = 0的两个线性无关的特解，则该齐次方程的通解为 ®(x) =Ci%(x) +qy2(x)右齐次方程组Ax=0的基础解系有(n-r)个线性无 关的解向量，则齐次方程组的通解为xkpi + k?y2 + " ky.一非齐次方程y + p(x)y +q(x)y f(x)的通 解为 y = Ciy!(x)+ c2y2(x)+yf(x)，其中 y(x) 是非齐次方程的一个特解， Ci yi (x) + C2 y2(x)是 对应齐次方程y +p(x)y +q(x)y0的通解非齐次方程组Ax=b的一个通解等于 Ax-b的一个特解与其导出组齐次方程

13、Ax=0的通解之和若非齐次方程有两个特解 yi( 成“ f(t)dt =s”的形式，在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。*a对于导数应用，有以下一些小知识点：1.禾U用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断，判定极、最值时则须注意以下两点：A.极值的定义是：对于X。的邻域内异于 Xo的任一点都有f (x) > f (Xo)或f (x) V f(x0)，注意是或v而不是或w；B.极值点包括图1、图2两种可能，) y2(x)，则对应齐次方程的一个解为 y(x) _ yi(x) _ y2(x)若i、2是方程组Ax-b的两个特解，则(i -2

14、)是其对应齐次方程组 Ax-0的解可以说本章难就难在记忆量大上。1.5 高数第七章一元微积分的应用本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区x间上的面积、体积引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分f(t)dt单独分离到方程的一端形'-a所以只有在f（X）在X0处可导且在Xo处取极值时才有 f（X）二0。讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零点定理（结论部分为fq =0 ）、罗尔定理（结论部分为f（：=0）；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅

15、助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根 个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。2.理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：A.若函数f（X）在 区间I上的f（X）”： 0，贝U f （x）在I上是凸的；若f （x）在I上的f （x） 0，则f （x）在I上是凹的；B若 f（x）在点 X0处有 f（x） =0且 f“（X0）= 0，则当（X。）”： 0时 f（x°）为极大值，当 f”（x。）-0 时f （x°）为极小值。其中，A是判断函数凸凹性的充要条件， 根据导数定义，f（X）是f（X）的变化率，f （x）是（X） 的变化率。f（x） 0可以说明函数是增函

16、数；f （x） < 0可以说明函数f（x）的变化率在区间I上是递减的，包括以下两种可能：8#同样，f （x） 0也只有两种对应图像:#所以，当f "(X)： 0时，对应的函数图像，是凸的;当(x) 0时，对应的函数图像，是凹的。相比之下，判断函数极大极小值的充分条件 比判断函数凸凹性的充要条件多了“f(x)二0且(X)f “(X。)式0”，这从图像上也很容易理解：满足f "(x) v 0的图像必是凸的，即，当f(x)= 0且f “(Xo) = 0时不就一定是j*的情况吗。对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公

17、式表格:求平面图形面积求旋转体体积(可用微元法也可用公式)bs f(x)dx*ab 2绕x轴旋转体的体积 Vxf (x) dx，"ab绕y轴旋转体得体积Vy二2-xf (x)dx_a绕x轴旋转体的体积Vx=jrj f22(x) _f；(x)dx，绕y轴旋转体得体积Vy =2二f2 (xf1 (x)dx已知平行截面面积求立体体积bV s(x)dxa求平面曲线的弧长101.6 高数第八章无穷级数本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”、“级数求和函数”和“函数的幕级数展开”。其中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问出现，求和与展开则都是大题。对于级数判敛部分，主要

18、用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。其中比较判敛法有 一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般形式有以下典型例子：1.已知级数a2n收敛，判断级数 V 史 的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式<n U；n|囲（an &）,再应用比较法的一般形式即可判明。其实这种“知一判一”式的题目是有局限性的一 若已知级数收敛，则所要求判敛的级数只能也是收敛的，因为只有“小于收敛级数的级数必收敛”这一 条规则可用，若待判敛级数大于已知收敛级数，则结果无法判定。所以考研真题中一般只会出成选择题“已知某级数收敛，则下列级数中收敛的是（）”。2 .上一种题型是“知一判一”，下面的例子则是

19、给出级数某些性质要求判断敛散性，方法是通过不 等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系，再应用比较法一般形式判断。举例如下：已知单调递减数 列an满足liman二a, a 0，判断级数（詁"n的敛散性。关键步骤是：由1得到X-0"（右）n %占）“，再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不会超出“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。幕级数求和函数与函数的幕级数展开问题是重点内容，也是每年都有的必考题。在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加注意，对于无穷级数这样必出大题的章 节中间的“求和、展开”这样必出

20、大题的知识点，更是要紧抓不放。因为这种知识点对“复习时间投入量” 的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终 生受益”的意思，花时间来掌握很划算。另外，“求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可循。这种规律 是建立在对6个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此6个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样，对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部 分，而且要能够区别相似公式，将出错概率降到最小。公式如下：1. 代二1 U 亠 亠 二、un ( -1，1)n兰oO1., 2八

21、 nn.lx 八 nn2. 讦=1 - U +u -U + +(-1) U + 二送(一1) U( -1，1)n=03.1 n(1u)=u-；u 3_(11)爲.1 u' (1) n 1 (二厂二)n -0od4. eu =1 +u +肮2 + +召un + =£ 乌 (一=°,+处)n =03C-1 2丄丄/ 八n 12n41丄寸 / 八u2n +5. sin u = u - 3! u(- 0 (2n 1)! u=( T) (2n 1)!(：，：)n=0od1214n 1 2nn u2n6. COSu=1u +4!u 1)硕u + 一 =无(1)硕 (亠广之)这六

22、个公式可以分为两个部分，前3个相互关联，后3个相互关联。1式是第一部分式子的基础。1 u u不就是一个无穷等比数列吗，在|u卜:1时的1 1求和公式S=匕正是函数展开式的左端。所以这个式子最好记，以此为出发点看式子2 : 1式左端是，1nn°02式左端是 乔u ； 1式右端是J，2式右端也仅仅是变成了交错级数7 (_1)nun ,故可以通过这种比较来n £n £A记忆式子2 ；对于3式来说，公式左端的In(1 u)与2式左端的 订 存在着关系“ In(1 u)二代”，Q0故由 丘 的展开式可以推导出In(1 +u)的展开式为 云(-1)n需。这三个式子中的 涉，相

23、互之间存在n=0着上述的清晰联系。后3个式子的u ( ： /：)，相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似性。这一部分的基本式是公式4:0Q0u unn 2 n 1eun?与之相比，sinu的展开式是' (-1) (2n 1!， cosu的展开式是n =0n=0n 2nuu(-1)n (2n)!。一个可看成是将e展开式中的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将e展开式中n £的偶数项变成交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此处恰好都是比较顺的搭配：sinu、cosu习惯上说“正余弦”，先正后余；而sinu的展开式对应的是奇数项，co

24、su的展开式对应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。在已知幕级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分（前3式）的展1开式都不带阶乘，其中只有 口的展开式不是交错级数；第二部分（后 3式）的展开式都带阶乘，其中只有eu的展开式不是交错级数。由题目给出的幕级数的形式就可以看个八九不离十了，比如给出的幕级数带阶乘而不是交错级数，则应该用公式4，因为幕级数的变形变不掉阶乘和 （-1）n ；若题目给出的幕级数不带阶乘而且是交错级数，则必从 2、3两式中选择公式，其它情况也类似。对于函数的幕级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相对来说更为简单。在判

25、断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幕级数展开）、四则运算（用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幕级数法，即利用变换£ an =lim£ anxn求得幕级数oO、anXn的和函数s（x）以后代入极限式即可。其中的关键步骤是选择适当的xn，一般情况下如果n、（2n -1）n 0这样的项在分子中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的xn应为x（J的形式，如x（n）A、x（2n），以方便先积分；若题目有莎石、厉R这样的项，贝yxn应为x（J的形式，如x（2nJ）、x（3n&#

26、39;1），便于先求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。1.7 高数第十章多元函数微分学复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。二元函数相似一元函数二元函数的极限要求点日（x,y）以任何方向、任何路径趋向p（xo, y。）时均有一元函数的极限与路径无关，极限不同由等价式 忸f（X）二A即可判断。ximjo f (x, y) f (x, y) t A( xt xo、yT y。)。如果沿不同路径的f (xo 4(xo Alim f (x, y) xo0不相等，则可断定不存

27、在。连续性二元函数z = f (x, y)在点P(xo, y0)处连续性判断条件为：lim f(x, y)存在且等于 f(xo,yo)yP相似一元函数y = f (x)在点X。处连续性判断条件为ximi f (x)且等于f凶)(偏)导数二元函数 z=f(x,y)的偏导数定义：|im 庫 |im f (xp+g,y°) _f(xp, y°)分段函数在分界点处求偏导数要用偏导数的定义相似一元函数y = f (x)的导数定义：內f (x0 + 虫)_f (x0 )Ijm lim分段函数在分界点处求导数需要用导数定义全微分简化定义为：对于函数Z = f (x, y)，若其在点P(x

28、p, yp)处的增量心z 可表示为Az = A也x十By + o( P)，其中o(巴为P的高阶无 穷小，则函数f (x, y)在P(xp, yp)处可微，全微分为AAx + By， 一般有dz =晋dx +噜dy相似简化定义为：若函数y = f (x)在点x处的增 量右y可表示为也y = Ax + d，其中d是x的高阶无穷小，则函数在该点可微，即dy = AAx，般有 dy = f "(x)dx可微、 可导、 连续连续可导 /可微不同连续一可导 /可微全导数设 z = f(u,v,w)，U=g(t)，V=h(t)，w = k(t)且都可导， 则z对t的全导数dz苕du +凸dv+厅d

29、wdtSu dttV dttw dt不同一元函数没有“全导数”这个概念，但是左边多元 函数的全导数其实可以从“一元复合函数”的角度 理解。一元复合函数是指y = f (u)、u = g(x)时 有dy ”dydu。与左边的多元函数全导数公式比较dx -du dx就可以将二式统一起来。复合函数微分法链式求导相似一元复合函数求导公式如上格所示，与多元复合函 数求导公式相似，只需分清式子中 卫z与養 的不dx &同即可隐函数微分法求由方程F(x, y,z) =0确定的隐含数Z =Z(x, y)的偏导数，可用公式：zFx(x,y,z)，奩Fy(x,y,z)&Fz(x, y,z)住Fz(

30、x, y, z)r对于由方程组* F(X, y,z) =0确定的隐含数y =y(x)、z = z(x)可套用 G(x, y, z) =0方程组 f/+Fz =0y dxdxGx"乜；乎4Gz"dz =0Ldxdx不仅“形 似” 且在 相当 大程 度上 相通一元复合函数、参数方程微分法对一元隐函数求导常采用两种方法：1. 公式史fx(x, y)dxF；(x, y)2. 将y视为x的函数，在方程两边同时对x求导一元参数方程微分法：若有|x=x(t)则dy y (t) y =y(t) dx x"(t)极值极值定义：函数z = f (x, y)在点P(x0,y0)的邻域内

31、有定义，且对于其中异于p点的任一点Q(x, y)，恒有f (x, y) >f (x0,y0)或相似极值定义：函数y = f(x)在点x0的邻域内有定义且对于其中异于该点的任一点恒有f (x, y) < f (x0,y0)，则称 f (x0, y0)为 f (x,y)的极小/大值，方程 组：fx(x, y) =Q的解称为函数的驻点。f(x, y)山f (x) >f(x° ) 或 f(x) £f(x°)，则称 f(x ) 为y = f (x)的极小/大值，方程f "(x) = 0的 解称为函数的驻点。函数z = f (x, y)在点P(x0

32、, y0)的邻域内有连续二阶偏导，且满足函数y = f (x)在点x0的邻域内可导，且满足2fxy。)=0' fylx。)4、fx,(X0,y0)fxTx0,y0)f,(X0,y0)>0，取极值f (x) =0、f "(x)H 0，则：的充分若 fx(x0,y0)>0或 fy"(X0,y0)>0则 P(x°,y0)为极小值点；相似条件若 fx(xo,y°) c0或 fy“(x°, y°) v0则 P(x°, y°)为极大值点。若f "(x) > 0，则f (x0)为极小值；

33、大纲对于多元函数条件极值的要求为“会用拉格朗日乘数法求条件极值”，是若f "(x) V 0，贝U f (x0)为极小值一种比较简单而且程式化的方法。一元函数则无对应的内容。1.8 高数第十章重积分大纲对于本章的要求只有两句：1.理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定 理。2掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧2 线性代数部分2.1线代这门课的特点线性代数与高数和概率相比，特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系， 记忆量大而且容易混淆的地方较多；但线代更重要的特点在于知识点间的

34、联系性很强。这种联系不仅仅是 指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定 法则之间有着相互推导和前后印证的关系。所以我们在复习线代的策略中，有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通”。“融会”可以理解为设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”可以理解为掌握前后知识点之间的顺承关系。这样做的目的就在于一一当看到题目的条件和结论、推测出其中涉及到的知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识 点队列，从而大大提高解题效率、增加得分胜算。出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的内容结合起来出题，比如在历年真题中出现频率很高的性质“齐次方程组是否有

35、零解对应于A的列向量组是否线性相关；非齐次方程组Ax=b是否有解对应于向量 b 是否可由 A 的列向量线性表示”。再如一个貌似考察向量组线性无关的题目，做起来以后才发现实际考的是矩阵秩或行列式的内容，题眼就在于性质“方阵 A可逆 |A|=0 A的列向量组线性无关r（A）=n ”，依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点间的联系。2.2 线代第一章行列式、第二章矩阵第一章行列式、第二章矩阵是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。第一章行列式的核心内容是求行列式（具体行列式的计算低阶 n阶<应用行列式按行列展开定理化为上下三角行列式求解行列式的定义、|A|=花'注、行列式的性质

36、抽象行列式的计算考点不在求行列式，而在于 A、A”、A-1等的相关性质第二章矩阵中的知识点很细碎，但好在每个小知识点包括的内容都不多，没有什么深度。由历年考研真题可见，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、AT、A、AJ的性质、矩阵可逆的判定条件、矩阵秩的性质、某些结构特殊的矩阵和矩阵初等变换技巧等。所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致，一些做题时用到的性质和方法结合具体的题目就题论题才有最佳的效果:行列式性质特征值性质（人为矩阵A的特征值）运算性质秩的性质转置矩阵at|AT Fl A|T T(A ) =A(kA)T =kAT(AB)t =BtAt(a+b)t

37、 =bt + atr(AT) = r(A) r(AT) =r(ATA) r(ATA) =r(A)逆矩阵A丄1八111I A 1 |A|有特征值丄伴随矩阵A*|a%a有特征值|A|at、A*、A-三者之间有一个即好记又好用的性质 （AT）-=（A-）T（A*p=（A 丄）* （at）*=（a*）t"n. r(A) = n r(Aj =<1. r(A) = n 1O.r(A)< n_1数乘矩阵kA、矩阵之积AB及矩阵之和A + B|kAknAI AB 冃 A|B|kA有特征值kh，aA+bE有特征值a& +br(A + B)兰 r(A) +r(B) r(AB)兰 mi

38、nr(A), r(B) AB=O 则有：r(A)+r(B)n 若A可逆则有r(AB)=r(B)；同样，若B可逆则有r(AB) = r(A)2.3 线代第三章向量、第四章线性方程组线代第三章向量、第四章线性方程组是整个线性代数部分的核心内容，相比之下，前两章行 列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章 最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理

39、解, 同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组anX1Q2X2aXn 二 ba21x1a22x2a2nx b?的系数am1X1 am2X2 amnx = bn矩阵是m行n列的，其有两种形式，一种是矩阵形式Ax二b ；其中A是系数矩阵a11a21ai2a22ain Ia2 n;另一种是向量形式x1a1 ' x2a2xnan = b，其中aia.a2i =1,2 n。am1am2bn19#向量就这样被引入了。#x-ia-i x2a2 宀山xnan=O 可以先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组 直接看出是一定有解的，因

40、为当 为=x2二=xn =0式等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性 质“ 0向量可由任何向量线性表示”，即当2 k-a- k?a2亠 亠k“an中的一：=0时一定存在一组数 k1,k kn使等式成立，至少在 k全为0时可以满足。齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1.有唯一零解；2.有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式x-a- x2ax“an =0中的酱只能全为0才能使等式成立，而第三章向量部分中判断向量组a-,a an是否线性相关 无关也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为：设 a-,a an为一组向量，如果存在一组不为零的数k1, kkn使得等式k-a- k?a

41、2，knan = 0成立，则称向量组 a-,a2a.线性相关；如果等式当且仅当k-二k?二二心=0时成立，则称向量组a-,a an线性无关。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组 Ax二0是否有非零解对应于系数矩阵 A的列向量组是否线性相关。假如线性相关 无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的，那同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组a-,a an组成的矩阵A有r(A) =n说明向量组的极大线性无关组中有n个向量，即a-,a2 a*线性无关，也即等式k-a- +k2a2 + ""kn

42、an =0只有0解。所以，经过“秩卜线性相关无关宀线性方程组解的判定”帀逻辑链条，由r(A)=门就可以判定齐次方程组 x-a- X2a2亠 亠x“an =0只有0解。当r(A): n时，按照 齐次线性方程组解的判定法则，此时有非零解，且有n-r个线性无关的解向量。这又与另一条性质相和：如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方程组Ax = 0的系数矩阵是 m行n列的,则方程个数小于未知量个数时有m<n ；因为矩阵的秩等于行秩也等于列秩，所以必有|r(A)空m空n，根据齐次方程组解的判定定理有非零解。对于非齐次方程组来说，其解的判定定理与 “线性表示”的概念前后联系：非齐次

43、方程组 Ax = b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示。线性表示的定义为：对于向量组a-,a an若存在一组数kk2kn使等式kiai kza?亠亠k.an =b成立，则称向量 b可由向量组aa2a“线性表示。而使上述等式成立的 ki就是非齐次方程组 Ax二b的解，故齐次方程组有性质“齐次线性方程组 Ax =0是 否由非零解对应于系数矩阵 A的列向量组是否线性向关”,非齐次方程组也由对应性质“非齐次线性方程组 Ax二b是否有解对应于向量 b是否可由的列向量线性表示”。当非齐次线性方程组 Ax二b与对应齐次线 性方程组Ax =0满足r(A) =r(A)二n时，根据线性方程组解的判定法

44、则，齐次方程组有零解， 非齐次方程组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若ai,a2 an线性无关，而ai,a an,b线性相关，则向量b可由向量组aa2an线性表示，且表示方法唯一”。以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间的内在联系，这样做不仅仅是为了透彻理解知识点，更是为了有效应对考试题。线代部分的题目难就难在考点的跨度大，而我们如果仅仅掌握零散知识点，那怕对这些孤立的点掌握的再透彻，在作题时也会被题目给弄的晕头转向。矩阵t线性方程组t向量解T线性相关/无关T秩三个双重定义：1. 秩的定义a矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数b.向量组秩定义：向量组的极大

45、线性无关组中的向量个数2. 线性相关无关的定义：a. 对于一组向量ai an,若存在不全为零的数 ki,k2 kn使得k1a1 k2a 亠knan =0成立，则相量组线性相关，否则向量组线性无关，即上述等式当且仅当ki全为0时才成立。b. 向量组ai,a2a.线性相关 向量组中至少存在一个向量可由其余n-1个向量线性表出；线性无关向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。2. 线性方程组的两种形式：a. 矩阵形式：Ax = bb. 向量形式： x)a1 X2a2亠 亠xnan二b两条性质:1.对于方阵An翅有：方阵A可逆 存在方阵B使得AB=BA = E | A£ 0 A的行列向量

46、组均线Ax = 0仅有零解，Ax = b有唯一解。性无关 r(A) =n Ax=b可由克拉默法则判断有唯一解，而Ax = O仅有零解。对一般矩阵A咖则有：r( A) = n A的列向量组线性无关2齐次线性方程组Ax =0是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组Ax =b是否有解对应于b是否可以由A的列向量组线性表出。以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁:行列式线性相关性质1中的“|A|丰0 A的列向量组线性无关”一线性方程组性质222#性质1中的“ r(A)=n A的列向量组线性无关”另外，线性代数部分在考试时会经常直接

47、考一些“虽不要求掌握、但却可以用要求掌握的一些定理推 论推导出来”的性质和结论，所以有必要扩大一些知识面，说不定在考试时就会有意外收获:1. 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。如果向量组aa2am可由向量组 匚、冷线性表示，则有r1,a2am) - r(r,“用n)。等价的向量组具有 相同的秩，但不一定有相同个数的向量;任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。2.常见的线性无关组：齐次方程组的一个基础解系;_01010、 1、0这样的单位向量组；不同特征值对应的特征向量。3. 关于秩的一些结论:r(Am n) min m, n；r(A ) =1= r(A)

48、= n -1 ；r(AT) =r(A) =r(ATA)；r(AB)乞 min r(A), r(B)；r(A B)汀(A) r(B)；若有 Am n、Bns满足 AB=O，则 r(A) r(Bp n ;若A是可逆矩阵则有r(AB)寸(B)；同样若B可逆则有r(AB) =r(A)。非齐次线性方程组 Ax二b有唯一解则对应齐次方程组Ax =0仅有零解，若Ax = b有无穷多解则 Ax = 0有非零解；若 Ax二b有两个不同的解则 Ax = 0有非零解；若A是m n矩阵而r(A)二m则Ax二b 定有解，而且当m = n时是唯一解，当m”：n时是无穷多解， 而若r(A)二n则Ax二b没有解或有唯一解。2

49、.4 线代第五章特征值和特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点，历年考研真题都有 相关题目，而且最有可能是综合性的大题。特征值和特征向量之所以会得到如此青睐，大概是因为解决相关题目要用到线代中的大量内容一一即有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”；着重考察这样的知识点，在保证了考察面广的同时又有较大的出题灵活性。本章知识要点如下：1.特征值和特征向量的 定义及计算方法。记牢一系列公式如 Ax =(x = 0)、，x - Ax = 0、( E - A)x = 0 和 | '-A 尸 0。历年真题中常用到下列性质：若n阶矩阵A有n

50、个特征值'1 '2n ，则有|AF'i2-'n；2i2若矩阵A有特征值1，则kA、A、aA bE、f (A)、A -、A”分别有特征值 k、 . a- b、f()、丄.LAI，且对应特征向量等于所对应的特征向量，而若'1、2分别为矩阵a、b的特征值，则不一定为A B的特征值。2. 相似矩阵及其性质。定义式为 |b二PAP，需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵A与矩阵B等价(A = B )的定义式是PAQ =B，其中P、Q为可逆矩阵，此时矩阵 A可通过初 等变换化为矩阵 B，并有r(A) =r(B)；当PAQ =B中的P、Q互逆时就变成了矩阵相似( A飞)

51、的定义式，即有B二PAP，此时满足r(A) =r(B)、I A|#B|、E-A|=E-B|，并且 A、B 有相同的特征值。矩阵合同的定义是 PTAP二B，其中P为可逆矩阵。由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若A与B合同或相似则 A与B必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。3. 矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件：n阶矩阵A有n个线性无关的 特征向量 A的任意k重特征根对应有k个线性无关的特征向量； 充分条件:1是A有n个互不相同的 特征值；充分条件2是A为实对称矩阵。4. 实对称矩阵极其相似对角化。1tn阶实对称矩阵 A必可正交、相似于对角

52、阵 上，即有正交阵P使得P AP二P AP二上而且正交阵 P由A对应的几个正交的特征向量组成。其实本章的内容从中也可以找到类似于第三章向量与第四章线性方程组之间的那种前后印证、相互推导 的关系：以求方阵的幕 Ak作为思路的起点，直接乘来求 Ak比较困难，但如果有矩阵 P使得A满足ik_1_1_1k 1P AP(对角阵)的话就简单多了，因为此时A二PPP：.PPP = P P，而对pl. khk角阵b 的幕A 就等于 bk代如上式即得 A。而矩阵相似对角化的定义式正是 J.ckJ1P AP二一I。所以可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幕，引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的

53、相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且PaAP=上中的P、上也分别是由A的特征向量和特征值决定的。求AnT相似对角化T特征值和特征向量2.5 线代第六章二次型本章内容较少，大纲要求包括掌握 二次型及其矩阵表示 和掌握用正交变换化二次型为标准型 的方法。 在理年真题中本章知识点出现次数不多，但也考过大题。本章所讲的内容从根本上讲是第五章特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵P使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在A为实对称矩阵时的应用。将本章与上一章中相似对角化部分的内容作比较会有助于理解记忆“化

54、二次型为标准型”的步骤及避免前后混淆，但因为大纲对本章要求不高，所以不必深究。3 概率部分3.1 概率这门课的特点概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难拿到了。3.2 概率第一章随机事件和概率本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如P(AB) =P(AB)、P( B | A) =P(B|A)、P(A B C)这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能考到。在“概率事件的关系及运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题。区别互斥、互逆、对