考研高等数学知识点总结

1、导数公式:2(tgx) =sec x(ctgx) = -csc x (secx)二 secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (axr-axl na1(log a x) xl na基本积分表：tgxdx 二- In cosx CJctgxdx = ln sin x +C高等数学知识点(arcsin x) "= , 1石x2(arccosx)' , 1 2® -x2(arctgx)1 +x11 x2(arcctgx)secxdx 二 In secx tgx CdxJ 2cos xdxJ -sin x2二 sec xdx 二 tgx C2=csc xdx

2、 = -ctgx CJcscxdx = In cscx ctgx +Csecx tgxdx =secx Cdx2,2a xdx 2x -adx 2a -xdx2a -x1 x c arctg C a 丄In 2a1 .ax ax +a.a x InC2a a -x.x * =arcs inCaInji2=sinn xdx =.0cos0cscx ctgxdx 二-cscx Cxaxdx - CInashxdx = chx Cchxdx = shx C dx' :2 . 2x - a=In(x x2 _ a2) C- x2 a2dxx2 -a2dx丿 x2_a22a2-x2dxxdxQj

3、n2亍In(xx2 a2) C2 a , r 22-In x"x -a +C22arcs in' C2 a2-x2三角函数的有理式积分:2usin x 2, cosx1+u21 -u21 u2，u =tg；,2, 2dudx 21 u2lim轮X 0 xlim （1 -）x =e =2.718281828459045x匚 xx_x双曲正弦:shx = e -2x_x双曲余弦：chx二2双曲正切：thx二空chxx .x e -ex x e +earshx = In（x 亠:-x21）archx 二 In（x x2 -1）arthx1 x1 -x三角函数公式:-和差角公式:诱导

4、公式：函数角A、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 ° acos asin actg atg a90 ° acos a-sin a-ctg a-tg a180 °asin a-cos a-tg a-ctg a180 °a-sin a-cos atg actg a270 ° a-cos a-sin actg atg a270 ° a-cos asin a-ctg a-tg a360 ° a-sin acos a-tg a-ctg a360 ° asin acos atg act

5、g a-和差化积公式:sin（：；二 I ） =sin ： cos"二cos： sin :cos（： :） = cos cos ：sin ： sin :tgC - ）二tg： 一 tg ：1 tg ： tg :ctg （二 i ）=ctg： ctg ： Tctgi - ctg：a + P a - Psin： sin = 2sincos2 2a + P a -Psin： -sin = 2cos sin 2 2R a +P a - Pcos： cos 二 2cos cos2 2R a + P a -Pcos： - cos = 2 sinsin倍角公式:sin 2 一 = 2sin ： c

6、os：cos2： - 2cos2 ： -1=1-2sin2 ： -cos2： -sin2： ctg2a -1ctg 2:2ctga2tgatg221 -tg asin3： =3sin:- -4sin3：3cos3： =4cos ： -3cos：tg3： 口3tga -tga21 -3tg a半角公式：.a-cosasin 二2 2丄 a 亠：1CO的1CO泊sinatg2,1 cos： sin ：1 cos：a：1 + cos»cos-2 2丄a亠1 + cosactg2cosa1 cos：si nasi nr1 - cos：-正弦定理:asin Absin Bcsi nC=2R余弦

7、定理：c2 二 a2 b2 - 2ab cosC-反三角函数性质:jiarcsinx 二arccosx2arctgx = - arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz )公式：n (uv)(n)八 cW(k)k =0=u(n)v nu(n)v n(n "(Tv n(n 7 (n k 叽®) uv(n) 2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) -f (a)二f ()(b-a)柯西中值定理：他迴=山F(b)-F(a)F 徉)当F(x)二x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds =+ y ? dx,其中y，=tg a化量；As：

8、 MM弧长。平均曲率：R -.：从M点到M点，切线斜率的倾角变M点的曲率：K=lim As 直线：K =0;半径为a的圆：K =1.a定积分的近似计算：b矩形法：f(x)ab - a z止(yo+yi+b梯形法：f(x)a口冷。yn) yin 2ynn弧微分公式：ds =+ y ? dx,其中y，=tg ab抛物线法：f (x)ab _ a卞(y0 yn) 2(y2 » 心 4(y1 y3山定积分应用相关公式：功：W = F s水压力：F二pA引力：F二km1T2,k为引力系数r1函数的平均值：yf (x)dxb -a a_b均方根:Jf f2(t)dt"a a空间解析几何

9、和向量代数：空间2点的距离：d = M jM2 = (x2 -x1)2 (y2 - y1)2 (z2 -z1)2 向量在轴上的投影：PrjuAB = AB cos®,®是AB与u轴的夹角。Pr ju(a a2)=Prja Pr ja?axbxaybyazbz两向量之间的夹角：COST二a b = a b cos8 =axbx +ayby +azbz,是一个数量,2 2 2 ,2,2,2ax ay az : bxbybzaxbxjaybyazbz,c=a b si.例:线速度：v =w r.向量的混合积：abc二(a b) c =axbxCxaybyCyazbzCz= a&l

10、t;b ccost,a为锐角时,代表平行六面体的体积。平面的方程：1、 点法式:A(x -Xo) B(y -y°) C(z -Zo) =0,其中 n = A, B,C, M o(Xo,y°,Zo)2、一 般方程：Ax By Cz D = 03、截距世方程：x y -=1a b c平面外任意一点到该平 面的距离：dAXo + B+CZo + dJa2+b2+c2|x = x0 mt空间直线的方程：-_ = _ = z_ =t,其中s =m, n, p;参数方程： y = y0 + ntmnp、z= z0 + pt二次曲面：2 2 21、椭球面：笃与务=1a b c2 22、

11、抛物面：xy =z,(p,q同号)p 2q3、双曲面：2 2 2单叶双曲面：笃每一令=1a2 b2 c22 2 2双叶双曲面：笃每务=1(马鞍面)a2 b2 c2多元函数微分法及应用_zZu_u_u全微分： dz =dx + dydu = dx 十 一dy 十 一 dzx_yxy_z全微分的近似计算：cz ：、dz 二 fx(x,y).；x fy(x, y，yz= fu(t),v(t)dzcz cvdtductcv ctczczduczcvz= fu(x, y),v(x, y)T+Texcu&cvex当 u =u(x, y), v=v(x, y)时,EucuSvdu =dx + dyd

12、v =dx十dydxdydx隐函数的求导公式：隐函数F(x, y)=0,dyFxd2y _2 -dxFydxdx隐函数F (x, y,z)=0,czFxczFydxFzcyFz隐函数方程组：丿F(x, y,u,v) =0J 级f,g)G(x, y,u,v)二=00(u,v)cu1 c(F,G)=cv1=级 f,g)dxJc(x, v)exJ点(u,x)cu1 c(F,G)=cv1=£(F,G)矽J c(y, v)J点(u,y)多元复合函数的求导法：FvGvUGU-F£许.:U.:G.:UaCG一cv微分法在几何上的应用：ZZ。y y。'x=®(t)空间曲线

13、y(t)在点M(X0,yo,z。)处的切线方程：穿乙八(to)' (to)(to)在点 M处的法平面方程：(to)(x-x。)宀(t°)(y-y。)一(t°)(z-zo) = O若空间曲线方程为：賦：0,则切向量IFyFzFzFxFxFyGyGzGGx'GxGy曲面F(x,y,z)=O上一点 M(x°,yo,z。),则:1、过此点的法向量：n 二Fx(Xo,yo,zo),Fy(x°,yo,zo),Fz(Xo,yo,z。)2、 过此点的切平面方程:Fx(Xo,y°,zo)(x-x。)Fy(Xo,y°,Zo)(y-y。)F

14、z(Xo,yo,zo)(z-zo) = O3、过此点的法线方程:x_x。_ y_y。_ z_z。Fx(x°,yo,z。) FyCxysz。) 卩2&。占。忆。)方向导数与梯度:函数z = f(x, y)在一点p( x, y)沿任一方向I的方向导数为：芒f讦=f丄 cos V sin；x鋼其中为x轴到方向I的转角。f f - 函数 z 二 f(x,y)在一点 p(x,y)的梯度：gradf (x, y) i jexcyf_它与方向导数的关系是：一 =gradf(x, y)e，其中e=cosisin，为I方向上的cl单位向量。f是gradf (x,y)在l上的投影。.:l多元函数

15、的极值及其求法：设 fx (x0 ,y0)= fy(x0,y0)= 0,令：fxx (x0 , y0 = A,f xy (x0 , y0 ) = B,f yy (x0 , y0 ) = C'Ac 0, (x0, y0)为极大值、A>0, (x0, y0)为极小值J无极值不确定贝AC B2 c0时,AC -B2 =0寸,重积分及其应用:11 f (x, y)dxdy 二f (r cos, rsin)rdrdDD '2)dxdy曲面z二f(x,y)的面积A二，泛 工匕丿3丿x(x, y)d二DM . y'(x,y)d匚M y dy =M I I 叫x,y)d二D平面薄

16、片的重心：x =匹MJJP(x,y)dbD平面薄片的转动惯量：对于X轴I X= y(x,y)d；，对于 y轴I y = x '(x,y)d二DD平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M (0,0,a), (a 0)的引力：厂=Fx, Fy, Fz,其中:厂仃 P(x,y)yd厂fP(x,y)xdFyf3， Fz一fa .3厂'(x,y)xd二Fxf .3，D/2222(x y a )2柱面坐标和球面坐标：(x y a )2(x y ' a )22兀111 f (x, y, z)dxdydz 二 F (r, :)r2 si ndrddr- dr d F(r, ：,v)r2

17、s in dr其中 M=x： iiidvQ(x2 y2)dvQx = ty 二(t)x =rcosv柱面坐标：y=rsind,出 f (x, y,z)dxdydz= JJJ F(r£,z)rdrd Td乙z = z其中：F(r, = ,z) = f(rcosv,rsin)z)x = r si ncos 日球面坐标：y 二rsin 'sin,dv二rd ' rsin ' d： dr 二r2sin drd dz = r cos®二 二 0 0 0111重心：x=MxPdv,y = yPdv,Z = "zPdv,M 気MM q转动惯量：lx 二(

18、y2 z2) ?dv,ly 二(x2 z2)dv,QQ曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：丿乂二； gt兰0),则： P,.f(x,y)ds= . f :(t)、：2(t) '- 2(t)dt (： ： )特殊情况：L ,<第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)： 设L的参数方程为丿乂“：Kt)P(x, y)dx Q(x, y)dy 二P，(t), - (t)(t) Q(t)卜(t)(t)dtL 、£两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy二(Pcost geos 一：)ds其中：和：分别为LL:P)dxdy = - P

19、dx Qdy:ylL上积分起止点处切向量 的方向角。格林公式：11( Q 尸)dxdy =，Pdx Qdy格林公式：(-QD ex &yLd ex当 p=_y,Q二x,即：2 一兰=2 时，得到 D 的面积：A二 dxdy-1 xdy-ydx 泳纲D2 L平面上曲线积分与路径无关的条件：1 G是一个单连通区域；2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且卫=史。注意奇点，如(0,0)，应 & cy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：:Q : P在一=一时，Pdx Qdy才是二元函数u(x, y)的全微分，其中:.x；y(x,y)u(x, y)

20、二 P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 二 y0 =0。曲面积分：对面积的曲面积分：JJ f (x,y,z)ds = H f x, y,z(x, y) J +z；(x, y) + z： (x,y)dxdy二Dxy对坐标的曲面积分：Il P(x, y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx，R(x, y,z)dxdy,其中：Z11 R(x,y,z)dxdy ： ： 11 Rx, y, z(x,y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；DxyP(x,y,z)dydz=Px(y,z), y,zdydz 取曲面的前侧时取正 号；工Dyz.Q(x,y,z)dzdx 二 Qx, y( z,

21、x),zdzdx 取曲面的右侧时取正 号。ZDzx两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy二(Pcos： Qcos： Rcos )dsZZ高斯公式:空间曲线积分与路径无cy&旋度：rotA =.xP J -yQk_£feRmp EQ fr111()dv 二 Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(Pcos一八 Qcos ： Rcos )ds门；：x 鋼：z、高斯公式的物理意义通量与散度：散度：div，即：单位体积内所产生的流体质量，若 div0,则为消失exSy&通量：！! A nds 二 Ands 二(Pcosh * Qcos ： Rcos )d

22、s，tit因此，高斯公式又可写成： divAdv =An dsQZ斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:P)dxdy = : Pdx Qdy Rdz y(-R 一 -dydz (-P 一 )dzdx (-Q -v :y :z:z:x:xdydzdzdxdxdycosacosPcos?.r rex&SexczPQRPQR上式左端又可写成：Z：P关的条件：向量场A沿有向闭曲线-的环流量：Pdx Qdy Rdz = ； A t dsff常数项级数：等比数列:等差数列:调和级数:2. . n 11 - q1 q qq1 -q丄丄丄 丄(n +1)n12 3 n =211 1川川1是发散的2

23、3 n级数审敛法:1正项级数的审敛法根植审敛法(柯西判别法)：:1时，级数收敛设：P = lim_；-''Un，贝V « P >1时，级数发散Fj P=1时，不确定2、比值审敛法：设:= lim 仏1，j: U n；-：1时，级数收敛 则r .1时，级数发散1时，不确定3、定义法:sn =比 u2亠亠un；lim sn存在，则收敛；否则发n散。交错级数UU2 U3 -u (或- Ui【2-出，Un 0)的审敛法莱布尼兹定理：U>Un_1如果交错级数满足；口 ：，那么级数收敛且其和SEUi,其余项rn的绝对值rnpUn卅 n绝对收敛与条件收敛：(1) Ui

24、U2 Un ，其中Un为任意实数；(2) Ui +出|+|出| + +Un + 如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果(2)发散，而收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数： 1发散，而(")收敛；nnp级数：npp _ 1时发散p1时收敛幕级数:123n1 x x X 亠 亠X对于级数(3)a0 - a1x - a2xx cl时，收敛于1 -xx 31时，发散-anxn ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存”x c R时收敛在R，使f x >R时发散，其中R称为收敛半径。 x = R时不定求收敛半径的方法：设a n .-是 (3)的

25、系数，则0时，R =P0时，Rz：r - :时，R = 0x0 =0时即为麦克劳林公式：f(x) =f (0) f (0)x f (0)xf(0)xn2!n!°(x-x0)nt f (x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：limRn = O(n 1)!n 厂些函数展开成幕级数:ix i-4xe +ecosx =或丿2ix-4xe -esinx =2cdixe cosx i sinx函数展开成泰勒级数：f(x) 一 f(x0)(x-x。)0)(X-X°)( 0)(X-X。)-2!n!函数展开成幕级数:(n 1)余项：Rn二-、m,2(m-n+1)n"'八(1

26、+x) =1 + mx+ x + x + (一1vx<1)2!n!352n dsinx=x-x x(-1)n x(-： ：x ：)3!5!(2n -1)!欧拉公式：三角级数：00af(t)二 Ao ' sing t n)0' (an cosnx bnsinnx)n壬2 n壬其中，a。=aA0，a. = An sin ；，bn = An cos “4 = x。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积 在t： 上的积分=0o傅立叶级数：af(x) °、(ancosnx bn sinnx),周期=2二2 心n =1,2,3兀0_ 2(相加)6-2(相减)12余弦级数：bn =0, an2= f(x)cosnxdx : 0n =0,1,2f (x)八 bnsin nx是奇函数彳&)=岂' an cosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数:f(xj、(an cosbn sin2x),周期=21n =1f (x) cosn-X dx(n =0,1,2 )微分方程的相关概念：(n =1,2,3 )一阶微分方程：y"=f(x,y) 或 P(x, y)dx + Q(x, y)dy =0可分