【学海导航】2012届高三数学第一轮总复习 9.6空间向量的坐标运算课件（第2课时）

1、第 九 章第 九 章直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体 1. 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是矩是矩形，形，AB=2，BC=a，又侧棱，又侧棱PA底面底面ABCD. (1)当当a为何值时，为何值时，BD平面平面PAC?试证明试证明你的结论；你的结论； (2)当当a=4时，求证：时，求证：BC边上存在一点边上存在一点M，使得使得PMDM；题型题型4 垂直中的探索题垂直中的探索题第二课时第二课时 (3)若在若在BC边上至少存在一点边上至少存在一点M，使使PMDM，求，求a的取值范围的取值范围.解解：(1)当当a=2时，时，四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，则则

2、BDAC.又因为又因为PA底面底面ABCD，BD平面平面ABCD，所以，所以BDPA,所以所以BD平面平面PAC.故当故当a=2时，时，BD平面平面PAC. (2)证明：证明：当当a=4时，取时，取BC边的中点边的中点M，AD边的中点边的中点N，连结，连结AM、DM、MN, 因为四边形因为四边形ABMN和四边形和四边形DCMN都都是正方形，所以是正方形，所以AMD =AMN+ DMN =45+45=90，即，即DMAM. 又又PA底面底面ABCD，由三垂线定理得，由三垂线定理得PMDM. 故当故当a=4时，时，BC边的中点边的中点M使使PMDM. (3)设设M是是BC边上符合题设的点边上符合题

3、设的点M， 因为因为PA底面底面ABCD，所以，所以DMAM, 因此，因此，M点应是以点应是以AD为直径的圆和为直径的圆和BC边的一个公共点，则边的一个公共点，则AD2AB，即，即a4为所为所求求. 点评：点评：本题的解决中充分运用了平面本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识几何的相关知识.因此，立体几何解题中，因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用要注意有关的平面几何知识的运用.事实上，事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的得以解决的.探究空间的垂直探究空间的垂直(或平行或平行)的条的条件是近几年高考立体几何中一类常见探索件

4、是近几年高考立体几何中一类常见探索性题性题.此类题是垂直此类题是垂直(或平行或平行)问题中的逆向问题中的逆向问题，可利用垂直问题，可利用垂直(或平行或平行)的性质逆推得出的性质逆推得出结论成立的一个条件结论成立的一个条件. 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，中，PA 底面底面ABCD，ABAD，ACCD，AB C =60，PA=AB=BC，E是线段是线段PC上的一点上的一点.(1)证明：证明：CDAE；(2)当当E在在PC什么位置时什么位置时PD平面平面ABE？ 解：解：(1)证明：在四棱锥证明：在四棱锥P-ABCD中，中，因为因为PA底面底面ABCD，CD平面平面ABCD，故故PA

5、CD.因为因为ACCD，PAAC=A，所，所以以CD平面平面PAC.而而AE平面平面PAC，所以，所以CDAE. (2)当当为为PC的中点时，有的中点时，有PD平面平面ABE.证明如下：由证明如下：由PA=AB=BC，ABC=60，可得，可得AC=PA.因为因为E是是PC的的中点，所以中点，所以AEPC. 由由(1)知，知，AECD，且，且PCCD =C，所以所以AE平面平面PCD.而而PD平面平面PCD，所以所以AEPD.因为因为PA底面底面ABCD，PD在底面在底面ABCD内的射影是内的射影是AD，ABAD，所以所以ABPD.又又ABAE=A，所以，所以PD平面平面ABE. 2. 在正三棱

6、柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中，中，E为为棱棱BB1上一点上一点.已知平面已知平面A1EC平面平面A A1 C1C，求证：求证：BE=B1E.证明：证明：在平面在平面A1EC内内过点过点E作作EGA1C，垂足为，垂足为G.因为平面因为平面A1EC平面平面AA1C1C，所以，所以EG平面平面AA1C1C. 题型题型5 线面垂直性质的应用线面垂直性质的应用 取取AC的中点的中点F，连结，连结BF.因为因为AB=BC， 所以所以BFAC. 因为平面因为平面ABC平面平面AA1C1C， 所以所以BF平面平面AA1C1C.于是于是BFEG.连结连结FG. 因为因为BE平面平面AA1C1C，所以，所以

7、BEFG.又又BEAA1，所以，所以FGAA1.因为因为F为为AC的中点，所以的中点，所以G为为A1C的中点，的中点，所以所以 ，所以，所以又又BB1=AA1，所以，所以 ，即，即BE=B1E. 点评：点评：线面垂直的判定与性质反映线面垂直的判定与性质反映了了“线线垂直线线垂直”“”“线面垂直线面垂直”“”“面面垂直面面垂直”三者之间的相互转化，也是证空间有关垂三者之间的相互转化，也是证空间有关垂直的转化方向直的转化方向.如由如由“面面垂直面面垂直”可得出可得出“线面垂直线面垂直”，而证，而证“面面垂直面面垂直”可转化可转化为证为证“线面垂直线面垂直”.121AA/FG121AA/BE121B

8、B/BE 在三棱锥在三棱锥P-ABC中，中，PA= PB= P C，APC=90，APB=BPC=60，D为为AC的中点的中点.过过PA、PC 的中点的中点A、C作平作平 面面ABC，使，使PD 平面平面ABC，交，交 PB于于B点点. 求证：平面求证：平面ABC平面平面ABC. 证明：证明：因为因为PA=PC，D为为AC的中点，的中点，所以所以PDAC. 设设PA=a.由题设由题设PAB和和BPC都是正三角形，都是正三角形，APC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 所以所以AB=BC=a，AC= a.连结连结BD，易，易得得PD=BD= AC= a，22122从而从而PD2+BD2=a2=

9、PB2，所以所以PDBD.结合知，结合知，PD平面平面ABC.由已知，由已知，PD平面平面ABC，所以平面所以平面ABC平面平面ABC. 在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AB =AC， D为为BC的中点，的中点，E 为为AD上任意一点，上任意一点， F为棱为棱BB1上一点上一点.若若C1FEF， 求求 的值的值.,231BCBB题型题型 线面垂直背景下的求值问题线面垂直背景下的求值问题1BBBF 解：解：因为因为AB=AC，D为为BC的中点，的中点，所以所以ADBC. 又又B1B平面平面ABC， AD平面平面ABC， 所以所以ADBB1， 于是于是AD平面平面BB1C1C. 所

10、以所以DF是是EF在平面在平面BB1C1C内的射影内的射影. 所以所以C1FEF C1FDF， 即即DF2+C1F2=C1D2. 设设BC=2a，BF=x.因为因为BB1BC= ， 所以所以BB1=3a，B1F=3a-x.在在RtC1B1F中，中，C1F2= B1C2+B1F2=4a2+(3a-x)2. 在在RtDBF中，中，DF2=BD2+BF2=a2+x2. 在在RtC1CD中，中，C1D2=CC21+CD2=10a2. 由由a2+x2+4a2+(3a-x)2=10a2， 得得x2-3ax+2a2=0，解得，解得x=a或或x=2a. 故故BFBB1= = 或或 .233132ax3 1.

11、“由已知想性质，由求证想判定由已知想性质，由求证想判定”是是处理直线与平面平行、垂直关系的一般思想处理直线与平面平行、垂直关系的一般思想方法方法.即看到已知条件去想有关的性质定理，即看到已知条件去想有关的性质定理，看到求证的结论去想有关的判定定理，这实看到求证的结论去想有关的判定定理，这实质上就是把综合与分析的思路结合起来使用，质上就是把综合与分析的思路结合起来使用，使问题得以解决使问题得以解决. 2. 三垂线定理及其逆定理是判定或证明三垂线定理及其逆定理是判定或证明两条直线互相垂直的重要理论依据，应用时两条直线互相垂直的重要理论依据，应用时要先找要先找“平面平面”，再认定，再认定“斜线斜线”和和“射射影影”. 3. 利用线线垂直、线面垂直的有关性质，利用线线垂直、线面垂直的有关性质，将垂直条件或结论转化为线面位置关系或数将垂直条件或结论转化为线面位置关系或数量关系，先要确定转化方向，通过分析综合量关系，先要确定转化方向，通过分析综合法寻求问题的解决途径法寻求问题的解决途径. 4. 在证明两平面垂直时，一般先从现有在证明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，