广东省惠来一中2013届高三第二次阶段考试试题

1、惠来一中 2013 届第二次阶段数学 (理科）（本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。注意事项：用时 120 分钟）1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将填写在答题卡上.的姓名和考生号、试室号、座位号2选择题每小题选出后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他，不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的，然后再写上新的；使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的无效.A 发生的条件下，B 发生的条件概率记为 P(B | A) ,参考公式：如果在那么 P( A

2、B) = P( A)P(B | A) .一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.已知集合 A = 1, 2, 3, 4 ，集合 B = 2, 4 ，则 AB = （1.）A. 2, 4B. 1, 3C. 1, 2, 3, 4D. Æ2若 p 是真命题， q 是假命题，则（）A p Ù q 是真命题B p Ú q 是假命题C Øp 是真命题D Øq 是真命题3 (2x +x )4 的展开式中 x3 的系数是（）A6B12C24D484在DABC 中， a，b，c 分别为角 A

3、，B，C 所对边，若a = 2b cos C ，则此三角形一定是()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形x2一个等比数列，则圆锥曲线+ y = 1的离心率为（m25已知实数4, m, 9）3030 或D. 5 或7 6A.B. 7C.7666阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是开始（）A 3B11C 38D1237已知 x 、 y 的取值如下表所示：若 y 与 x 线性相关，a < 10?否输出a且 y = 0.95x + a ，则 a =（）是结束A、 2.2B、 2.9C、 2.8D、2.6a - b £ 1,8 对 实 数 a 和 b

4、 ， 定 义 运 算 “ Ä ”： a Ä b = ìa,í 设 函 数îb,a - b > 1.f) = (x2 - 2) Ä( x -1)，x Î R 若函数 y = f ( x) - c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是()A (-1,1(2, +¥)B (-2, -1(1, 2C (-¥, -2)(1, 2D -2, -1二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满分 30 分）（一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须

5、作答(1+ i)2（i 是虚数）则复数的虚部等于9.复数1- i10.若向量a = (1,1) ， b = (-1, 2) ，则a 与b 夹角余弦值等于ìex , x < 0,111.已知函数 f (x) =íî则 f f ( ) =eln x, x > 0,12.计算：1ò1- x2 dx =-11318 世纪的时候，欧拉通过研究， 发现凸多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数E 满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体），归纳出 F、V、E 之间的关系等式： （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能

6、选做其中一题，两题全答的，只计前一题多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥446三棱柱56正方体x0134y2.24.34.86.7a = a2 + 2a = 1的得分。14（坐标系与参数方程选做题）设点 A 的极坐标为 2 2, p ö ，直线l 过点 A 且与极轴垂æç4 ÷èø直，则直线l 的极坐标方程为DC15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆O 外一点 A 引圆的切线AB·OAD 和割线 ABC ，已知 AD = 2 3 ， AC = 6 ，圆O 的半径为3 ，则圆心O 到 AC 的距离为三、解答题：本大题共

7、6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. （本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = sin(wx + f)(w > 0, 0 £ f £ p ) 为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2p （1）求 f (x) 的式 ；p pp5p1（2）若 a Î(-,), f (a +) =，求 sin(2a +) 的值3 233317. （本小题满分 12 分）某班从 6 名中（其中男生 4 人，女生 2 人）选 3 人参加学校的义务劳动.（1）设所选 3 人中女生人数为x ，求x 的分布列及 Ex ；（2）求男生甲或女生乙被选中

8、的概率；（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.18. （本小题满分 14 分）如图，已知AB 平面ACD ，DE/AB ， ACD 是正三角形， AD=DE=2AB ，且F是CD 的中点（1） 求证： AF/ 平面BCE ；（2） 求证：平面BCE 平面CDE ；（3） 求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小。19（本小题满分 14 分）等差数列an 中， a1 = 1 ，前 n 项和为 Sn ，等比数列bn 各项均为正数， b1 = 2 ，且s2 + b2 = 7 ， s4 - b3 = 2 （1）求an 与bn ；= a2n-1 ，1T = c × c &

9、#215; c ××× c求证： T ³(n Î N + ) .（2）设cnn123nna2 n2n20.（本小题满分 14 分）x2y23已知椭圆+= 1( a b 0)的离心率e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形a2b22的面积为 4。(1)求椭圆的方程：(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点 A, B 。已知点 A 的坐标为(- a ，0)，点Q (0，y0 )段 AB 的垂直平分线上，且QA QB =4。求 y0 的值。21（本小题满分 14 分）f ( x) = ax3 + bx2 + cx (a,b, c Î R)已知三次

10、函数（1）若函数 f (x) 过点(-1, 2) 且在点(1 , f (1) 处的切线方程为 y + 2 = 0 ，求函数f ( x) 的式；（2）当a = 1 时，若-2 £ f (-1) £ 1, -1 £ f (1) £ 3 ，试求 f (2) 的取值范围；"x Î-1,1，都有f ( x)f ¢(x)£ 1 ，试求实数a 的最大值，并求a 取得最大值时（3）对的表达式惠来一中 2013 届第二次阶段数学 (理科）参考与评分标准一选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分1. 【2. 【】由交集的定

11、义选 A.】或（ Ú ）一真必真，且（ Ù ）一假必假，非（ Ø ）真假相反，故选 D114 -r = 3 Þ r = 22】T= Cr (2x)4-r (x2 )r= 24-r C3【，令r +144x3 的系数为24-2C2 = 24 故选C 44.【】在DABC 中，若 a = 2bcosC ，则sin A = 2sin BcosC 即sin(B + C) = 2sin BcosCsin(B - C) = 0B = C 故选C x2】因 4, m,9 成等比，则 m = 36m = ±6 当 m = +6 时圆锥曲线为椭圆+ y = 1

12、其225【622 - x6306；当 m =- = 1其离心率为 7 故选C离心率为6时圆锥曲线为双曲线y6【】第一步： a = 12 + 2 = 3 < 10 ，第二步： a = 32 + 2 = 11 > 10 ，输出11故选B7【】 x = 2，y = 4.5 ，线性回归直线过样本中心点(2 ，4.5) Þ 4.5 = 0.95´ 2 + a Þ a = 2.6 故选 Dìx2 - 2,-1 £ x £ 2,> 2】由题设 f ( x) = í8【î画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）

13、为A(2,1) ， B (2, 2) ，C (-1, -1)， D (-1, -2) 从图象中可以看出，直线 y = c 穿过点 B ，点 A 之间时，直线 y = c 与图象有且只有两个公共点，同时，直线 y = c 穿过点C ，点 D 时，直线 y = c 与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(-2, -1(1, 2 故选二填空题：共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题11 112 p1013V + F - E = 2911010e2题号12345678ADCCCBDB14 r cosq = 215 5(1+ i)22i(1+

14、 i)= -1+ i 虚部为 19【】1- i2a b10】cos < a ，b >=10【10ìex , x < 0,1é1 ù1e】因函数 f (x) = í所有 f f ( ) = f êln ú = f (-1) = e-1 =11.【îln x, x > 0,eëe û】由该定的几何意义可知为半圆： x2 + y2 = 1( y ³ 0) 的面积。 p .2】V + F - E = 212.【13.【三、解答题：16. （本小题满分 12 分）解：（1）Q图象上

15、相邻的两个最高点之间的距离为2p ,= 2p ,则w = 2p = 1. f (x) = sin( x + j) .T2 分TQ f (x) 是偶函数, j = kp + p (k Î Z ) ,又0 £ j £ p ，j = p 225 分则f (x) = cos x pp pp5p1（2）由已知得cos(a +) =, Qa Î (-,) ，a +Î (0,) 3323 236则sin(a + p ) = 28 分33 sin( 2a + 5p ) = -sin( 2a + 2p ) = -2 sin(a + p ) cos(a + p )

16、 = - 412 分23333917.（本小题满分 12 分）解：（1） x 的所有可能取值为 0，1，2，依题意得：15-分C 3C5C5666x 的分布列为x012P153515ab Ex = 0´ 1 +1´ 3 + 2´ 1 = 1-分555C341（2）设“甲、乙都不被选中”为C ，则 P(C) = 4 =C32056所求概率为 P(C) = 1- P(C) = 1- 1 = 455（3）记“男生甲被选中”为A ，“女生乙被选中”为C1-分B ，1C 2101P ( BA) = 4 =P( A) = 5 =-10 分C35C320266C1P(BA)24

17、2P(B | A) =（或直接得 P(B | A) = 4 =105-1分C 2P( A)5518. （本小题满分 14 分）解：（1）解：取 CE 中点P，连结 FP、BP，1F 为CD 的中点，FP/DE，且 FP= DE.212DE. AB/FP，且 AB=FP，又 AB/DE，且 AB=ABPF 为平行四边形，AF/BP。又AF Ë 平面 BCE，BP Ì 平面 BCE，AF/平面 BCE。（2）ACD 为正三角形，AFCD。AB平面 ACD，DE/AB，DE平面 ACD，又 AF Ì 平面 ACD，DEAF。又 AFCD，CDDE=D，-2 分-4 分A

18、F平面 CDE。-6 分又 BP/AF，BP平面 CDE。又BP Ì 平面 BCE，平面 BCE平面 CDE。（3）法一、由（2），以 F 为坐标原点，-8 分FA，FD，FP 所在的直线分别为 x，y，z 轴（如图），建立空间直角坐标系 Fxyz.设 AC=2，则 C（0，1，0）， B(- 3,0,1), E,(0,1,2)9 分设n = (x, y, z)为平面BCE的法向量,-11 分ì-3x + y + z = 0,则n × CB = 0, n × CE = 0,即í令z = 1,则n = (0,-1,1).î2 y + 2

19、z = 0.显然， m = (0,0,1) 为平面 ACD 的法向量。设面 BCE 与面 ACD 所成锐二面角为a ,| m × n |12 . a = 45o .则cosa =2| m | × | n |2即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45°.14 分法二、延长 EB、DA，设 EB、DA 交于一点 O，连结 CO则面EBC Ç 面DAC = CO 由是DEDO 的中位线，则 DO = 2AD 在DOCD中，QOD = 2AD = 2AC ， ÐODC = 600 OC CD ，又OC DE OC 面ECD,而CE 

20、4; 面ECD.OC CE,ÐECD为所求二面角的平面角12 分在RtDEDCK中，Q ED = CD ÐECD = 450即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二 面角为 45°14 分19（本小题满分 14 分）解：（1）设等差数列an 的公差为 d,等比数列bn 的公比为 q，由题知: s + b = 7 ， s - b = 2 d + 2q = 5 ， 3d - q 2 + 1 = 0-5 分2243解直得,q=2 或 q=-8（舍去），d=1； a = 1 + (n -1) = nb = 2n ；-7 分nn= a2n-1 ， c= 2n -1= 1 &

21、#215; 3 × 5 × × × 2n - 1（2）证明：Q c Tnnna2n2 4 62n2n1法一、下面用数学归纳法证明Tn ³对一切正整数成立2 n12 ´1 -1（）当n = 1时，T1 = 2 ³，命题成立-8 分2 ´11（） 假设当n = k时命题成立，Tk ³2 k2k + 112k + 12k + 11则当 n = k + 1时，QTk +1= Tk × 2(k + 1) ³2(k + 1)2k + 1 2 kk + 12 k4k 2 + 4k + 111

22、9;，这就是说当 n = k + 1时命题成立。-12 分2 k + 14k 2 + 4kk + 12综上所述原命题成立-分n + 1n³法二、Qn + 2n + 1× 2n - T= 1 ×2n22n1 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 L 2n - 2 × 2n -1 =12 2 3 4 5 62n -12n4n1Tn ³14 分2 n法三、设数列An ， An=+ 1TnTn ，则 A-9 分11= (2n + 1) n + 1 = An+1-12 分An2(n + 1) n2= 1

23、2数列A 单调递增，于是 A ³ A³ L ³ A ，而 Ann-1n111Tn ³14 分2 n20. （本小题满分 14 分）（1）解：由e = c =3，得3a2 = 4c2 ，再由c2 = a2 - b2 ，得a = 2b2 分a21ìa = 2b由题意可知，´ 2a ´ 2b = 4,即ab = 2 解方程组得a = 2, b = 1-5 分íab = 22îx2所以椭圆的方程为+ y = 142-6 分(2)解：由（1）可知 A（-2,0）。设 B 点的坐标为（x1,y1）,直线 l 的斜率为

24、 k，则直线l 的方程为 y = k(x + 2),-7 分ì y = k(x + 2)ï于是 A,B 两点的坐标满足方程组í x2由方程组消去 y 并整理，+ y = 12ïî4得(1+ 4k 2 )x2 +16k 2 x + (16k 2 - 4) = 0-8 分16k 2 - 42 - 8k 24k由-2x1 =, 得 x1 = 1+ 4k 2 ,从而y1 = 1+ 4k 2 ,9 分1+ 4k 28k 22k设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为(-,) 以下分两种情况：1+ 4k 2 1+ 4k 2（1）当 k=0 时，点 B

25、的坐标为（2,0）。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是®®®®QA = (-2, -y0 ),QB = (2, - y0）由QA QB =4，得y0 = ± 2 211 分-18k 22k当 k ¹ 0 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 y -=(x +)1+ 4k 2k1+ 4k 2-6k®®令 x=0，解得 y0 = 1+ 4k 2由QA = (-2, -y0 ),QB = (x1, y1 - y0）-2(2 - 8k 2 )®®6k4k6kQA QB = -2x1 - y0 ( y

26、1 - y0）=+1+ 4k1+ 4k+2 (2 )1+ 4k 221+ 4k4(16k 4 +15k 2 -1)142 14= 4 整理得7k 2 = 2,故k = ±所以y = ±=-13 分0(1+ 4k 2 )275综上 y = ± 2 2或y = ± 2 14 。14 分00521（本小题满分 14 分）解：（1）函数 f (x) 过点(-1, 2) ， f (-1) = -a + b - c = 2 ，又 f ¢(x) = 3ax2 + 2bx + c ，函数 f (x) 点(1, f (1) 处的切线方程为 y + 2 = 0 ，

27、ì f (1) = -2ìa + b + c = -2íí，¢f (1) = 03a + 2b + c = 0îî由和解得 a = 1 ， b = 0 ， c = -3，故f= x3 - 3x ；4 分（2）法一、 f (x) = ax3 + bx 2 + 1 f (1) = 1 + b + c, f (-1) = -1 + b - cf (1) - f (-1)f (1) + f (-1)可得： c =-1, b =-6 分22f (2) = 8 + 4b + 2c = 3 f (1) + f (-1) + 6-7 分Q - 2 £ f (-1) £ 1,-1 £ f (1) £ 3 。1 £ f (2) £ 16 9 分法二、 f (