概率论与数理统计(修订版)复旦大学出版第五章答案

1、习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估方fP10<X<18.4【解】设Xi表每次掷的点数，则X=£Xii41111117E(Xi)=12M45-6,66666622幺1212121_212191E(Xi)=123456=,666666622291O)35从而D(Xi)=E(X：)-E(Xi)2=-J=7-14,2又X1,X2,X3,X4独立同分布.从而E(X)=E(Xi)E(Xi)=4353i1i1D(X)=DXi)=D(Xi)=4yy1235/3所以P10:X：18=P|X-14卜：4-1-0,271,422.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产

2、品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件？【解】令X；1,若第i个产品是合格品：0,其他情形.而至少要生产n件，则i=1,2,且X1,X2,，Xn独立同分布，p=PXi=1=0.8.现要求n,使得n"XiP0.76-0.84-0.9,nn“Xi-0.8nPOJn-OCni=£0184n-0.8n09n0.80,2、n0.80.2.n0.80.2,由中心极限定理得-0.9,0.84n-0.8n中(0.76n-0.8n'IJ0.16n)I(0.16nj整理得0.95，查表叵至1.64,J0,10n>268.96,故取n=26

3、9.3.某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7,假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m,而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则XB(200,0.7),E(X)=140,D(X)=42,m-140,42查表知m-140v42-1.64,m=151.所以供电能151X15=2265(单位).4.一加法器同时收到20个噪声电

4、压Vk(k=1,2,，20),设它们是相互独立的随机变量,20且都在区间(0,10)上服从均匀分布.记V=£Vk,求PV>105的近似值.【解】易知：E(Vk)=5,D(Vk)=100,k=12,2012由中心极限定理知，随机变量20V-20510020.12近似的N(0,1).于是PV105=PV-205105-2051002012二Pv-100>0.387瓜16(0.387)=0.348,即有PV>105=0.3485.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？0.95=P0&l

5、t;X<m=P(X<m)=中【解】设100根中有X根短于3m,则XB(100,0.2从而PX_30=1-PX:二301-D30-1000.2,1000.20.8=1-中(2.5)=1-0.9938=0.0062.6.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问接受这一断言的概率是多少？：1,第i人治愈,Xi0,其他.i=1,2,

6、100.100令X=二Xi.i4(1)XB(100,0.8),PZXi>75=1_PX<751-<J>I75-100M0.8y100M0.8M0.2J=1-中(-1.25)=：，(1.25)=0.8944.(2)XB(100,0.7),100PCXi75=1-PX<751-i1_75二100_0.7_1000.70.3二1一小=1-中(1.09)=0.1379.7.用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X,则p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05),E(X

7、)=50,D(X)=47.5.故PX=201:20-50_1,30.47.547.56.895.6.8956.8956.895_-6=4.510.8.设有30个电子器件.它们的使用寿命Ti,，T30服从参数F0.1单位：(小时)-1的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.111【解】E(Ti)=10,D(T)=f=100,0.12E(T)=1030=300,D(T)=3000.I。=1-中(0.913)=0.1814.故350-300)PT>350W中.一IV3000J9 .上题中的电子器件若每件为a元，那么在

8、年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用(假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时).【解】设至少需n件才够用则E(Ti)=10,D(Ti)=100,E(T)=10n,D(T)=100n.ni306M8_10n)从而P£Ti之306M8=0.95，即0.05归6!3068l0niiI107n)故0.95二力10n二244810.nn-244.81.64=.nn:272.所以需272a元.10 .对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加

9、会议的家长数相与独立，且服从同一分布(1)求参加会议的家长数X超过450的概率？(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.于是400'Xi-4001.1-4000.19X-400X1.1近似地,419N(0,1).PX450=1-PXM4501-中450二400_1.1.419【解】(1)以Xi(i=1,2,4002第i个学生来参力会议的家长数.则Xi的分布律为Xi012P0.050.80.15易知E(Xi=1.1),D(Xi)=0.19,i=1,2,400.400而XXi,由中心极限定理得二1-：(1.147,0.13(2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则YB(4

10、00,0.8),340-4000.8PYE340之中.1=6(2.5)=0.9938.,4000.80.211 .设男孩出生率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率?【解】用X表10000个婴儿中男孩白个数，则XB(10000,0.515男孩个数的概率，即求PX<5000.由中心极限定理有、，-4f5000-10000x0.515)PX<5000.6310000M0.515-0.485；=力(一3)=1-力(3)=0.00135.12 .设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为在一次行动中：(1)至少有多少个人能够进入？(2)至多有多少人能够

11、进入？【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体(i=1,2,1000).0.9.以95%概率估计,Sn=Xl+X2+Xl000.(1)设至少有m人能够进入掩蔽体，要求Pm<Sn<1000>0,9算件,c,m-10000.9Sn-900m<Snn10000.90.190由中心极限定理知:m-10000.9PmES=1PS<m%1“1000M0.9M0.1J一0.95.从而<0.05,m-90090一65,所以m=900-15.65=884.35=88软(2)设至多有M人能进入掩蔽体，要求P0台加>0.95.查表知M-900,90M-900=0.95.=1

12、.65,M=900+15.65=915.6591613.在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：(1) 保险公司没有利润的概率为多大；(2) 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则XB(10000,0.006).(1)公司没有利润当且仅当“1000=10000X12口义=120”于是所求概率为PX=120100000.0060.9941120-10000M0.006(J10000M0.006父0.994)160)11，网/丫询)

13、2二,中.，=g,e2，59.64359.64)岳759.6430.1811=0.0517e:0(2)因为公司利润A60000当且仅当“CXW60”于是所求概率为60-100000.0060-100000.006P0<X<60：二_100000.0060.994100000.0060.994=：“0)一；，一62_0.5.,59.6414 .设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P|X-Y|>6估计.(2001研考)【解】令Z=X-Y,有E(Z)=0,D(Z)=D(X-Y)=D(X)D(Y)-2-pD(X)二,W)=3.

14、所以，、，、D(X-Y)31P|Z-E(Z)|_6=P|X-Y|-6(-=-=-.62361215 .某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索贝§户占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数(1)写出X的概率分布；(2)利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.(1988研考)【解】(1)X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2,因此，XB(100,0.2),故X的概率分布是PX=k=C：0002k0.8100”,k=1,2,100.(2)被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件14WXW30)概率.由中心极限定理，得14二1000.2.1000.20.8/30-100x0.2)P14<X<30之rW100X0.2X0.8；二中(2.5)一中(一1.5)-0.994-(-9.33=0.927.16 .一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.【解】设Xi(i=1,2,n)是装运i箱的重量(单位：千克)，n为所求的箱数，