概率与数理统计_习题集(含答案)

1、概率与数理统计课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院版权所有习题【说明】：本课程概率与数理统计(编号为01008)共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有口等试题类型未进入。、计算题11 .设A,B,C表示三个随机事件，试将下列事件用A,B,C表示出来。(1) A出现，B、C不出现；(2) A、B都出现，而C不出现；(3)所有三个事件都出现；(4)三个事件中至少一个出现；(5)三个事件中至少两个出现。2 .在分别标有123,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽得一张标号为奇数的卡片

2、”。试用样本点表示下列事件：(1)AB;(2)A+B;(3)B;(4)A-B;(5)BC3 .写出下列随机试验的样本空间：(1)一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；(2)对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；(3)二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。4 .设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列事件。(1) A发生，B与C不发生；(2) A,B,C都发生；(3) A,B,C中不多于一个发生。5 .甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。试用A、B、C的运算关系表示下列事件：(1)至少有一人命中目标(2)恰有一人命中目

3、标(3)恰有二人命中目标(4)最多有一人命中目标(5)三人均命中目标6 .袋内有5个白球与3个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。7 .两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。8 .某地区的电话号码由7个数字组成(首位不能为0),每个数字可从0,1,2,9中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为24的概率。9 .同时掷两颗骰子(每个骰子有六个面，分别有点数1,2,3,4,5,6),观察它

4、们出现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。10 .一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。11 .设连续型随机变量X的分布函数为-2,xF(x)=ABe2x00x-0求(1)系数A及B;(2)X的概率密度f(x);(3)X的取值落在(1,2)内的概率。12 .假设X是连续随机变量，其密度函数为f(x)=cx2,0:x:2(0,其他求：(1)c的值；(2)P(1X1)13 .设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany),求常数A,B,C(-x+iC),(-oCly+).14

5、.设随机变量X的分布函数为0,x1FX(x)=lnx,1Exe1,x之e求PX2,P0X3,P2X5/2;(2)求概率密度fX(x)15.设随机变量X的概率密度为12(1-),1x2,f(x)=x0,其他.1x16.设随机变量X的概率密度为f(x)=1x-1,x_00x1，求E(X),D(X)。其它xe17.设X的概率密度为f(x)=2xe.l2x0),求为了发现沉船所需的平均搜索时间。19.设X服从参数为九的指数分布，即X有密度函数f(x)=0,x0其他求:E(X),E(X2)。20 .x*=XE)称为对随机变量X的标准化随机变量，求E(X*)及D(X*)。、,D(x)二、计算题221 .已

6、知XB(n,p),试求参数n,p的矩法估计值。22 .设总体X在a,b上服从均匀分布-xabf(x,a,b)=*b_axa,b，试求参数a,b的矩法估计量。.0x-a,b23 .设XdXn是来自N(匕仃2)的样本，求已仃2的最大似然估计。24 .设有一批产品。为估计其废品率p,随机取一样本X,X2,X,其中0取得合格品1取得废品一_1n则？=x=ZXi是p的一致无偏估计量。nii25.设总体X的均值N及方差仃2都存在，且有仃20。但N,仃2均未知。又设2Xi,X2,.,Xn是来自X的样本。试求仃2的矩估计量。26.某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差b2=5000（小时2）的正态分布

7、。今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。为判断这种想法是否合乎实际，随机取了26只这种电池测出其寿命的样本方差s2=7200（小时2）。问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02,查表见后面附表）？X-二.nN(0,1)概率论与数理统计附表标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99

8、290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949x2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽样分布,八-2个:(n-?S？2(n1)a27.某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8,且各户用电量多少是相互独立的。

9、求：1、同一时刻有8100户以上用电的概率；2、若每户用电功率为100W则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电？(查表见后面的附表)概率论与数理统计附表标准止态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.

10、99480.9949x2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽样分布X-1UN(0,1)二nX-1T:一t(n-1)S/nT分布表28.某种电子元件的寿命x(以小时计)服从正态分布，jJ均未知，现测得16只元件,其样本均值为X=241.5,样本标准方差为S=98.7259。问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(

11、小时)？Na=0.25a=0.10a=0.05a=0.025130.9881.5021.77092.1604140.69241.34501.76132.1448150.69241.34061.75312.1315160.69011.33681.74592.119929.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55,0.1082)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？(a=0.05)标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780

12、.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949常用抽样分布(n-1)S22(n-1)XX2(n-1)S2zUN(0,1)T:：t(n-1)=2(n-1)二nS/n二30.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55,0.1082)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,

13、4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？(a=0.05)标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949常用抽样分布,XXx/2(n-1)S22/八U=N(0,1)T=t(n-1)=2(n-1)

14、.nS/n二答案、计算题11,解：(1)ABC;(2)ABC;(3)ABC;(4)A+B+C;(5)AB+BC+CA(每个3分)2.解：(1)AB=2,4;(2)A+B=1,2,3,4,5,6,8;(3)B=1,3,5,7;(4)A-B=1,3;(5)BC=1,2,3,4,5,6,7,8(每个3分)3.解：(1)(HH)(HT)(TH)(TT)(2) 4,5,6,(3) (12,0)(0,12)(1,2)(2,1)其中：1为一号球，2为二号球(每个5分)4.解：(1)利用事件的运算定义，该事件可表示为ABCo(1) 同理，该事件可表示为ABC。(3) AB+BC+AC(每小题5分)5,解：(1

15、)AuBuC(4) ABC一ABC-ABC(5) ABC.ABC.ABC(6) bc.ac.Ab(7) ABC(每小题3分)2_2C1C；斛：基本事件的总数n=C8；基本事件数k=Cs0故所求的概率5=0.375147.解：任取一零件，设Bi,B2分别表示它是第一、二台车床的产品，A表示它是合格品。(4分)则21P(E)=-,P(B2)=.33P(A|B)=1-0.03=0.97,P(A|B2)=1-0.02=0.98(10分)由全概率公式得2 1八P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=一乂0.97+一义0.98=0.973(15分)3 38 .解：第一位数字不能是0,

16、这时，基本事件的总数为1069(3分)A表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为24”。由于电话号码的前两个数字为24,后五个数字中每一个可以由0,1,2,9中任取，故对A有利事件的数目为105。(6分)于是P(A)=1051069190(15分)9 .解：一个基本事件是由两个数字组成的排列(i,j),i,j=1,2,3,4,5,6,而i,j可以重复，故基本事件的总数为62。(5分)A表示“两颗骰子掷得的点数不同”。对A有利的基本事件数等于所有iwj排列方式的数目，即从1,2,3,4,5,6这六个数字任取其二作不可重复的排列方式数话,所以P(A)=(15分)10 .解：记A=第一次为次品、B=第

17、一次为正品，要求P(AB)。(2分)已知P(A)=0.1,而P(BA)P(AB)=P(A)P(B9090,因此(8分)9990八、=-0.1=0.091(15分)9911 .解:(1)由于F(+*)=limF(x)=1,所以有lim(A+Be2)=A=1。又由于x二X.X为连续型随机变量，F(x)应为X的连续函数，应有X2limF(x)=0=limF(x)=lim(ABe2)=ABX0-x_.0x_.0r-2x2222所以A+B=0,B=-A=-1，代入A、B之值得F(x)=1一eX0(5分)0x0-x22(2)对函数F(x)求导得x的概率留度为f(x)=F(x)=xex_0(10分)0x：0

18、b(3)由PamXb=f(x)dx=F(b)-F(a)式有a1P1cX2=F(2)F(1)=e-e/=0.4712(15分)13.解：由分布函数的性质得:jinlim：A(B+arctanx)(C+arctany)=A(B+)(C+)=1(4分)jiJimA(B+arctanx)(C+arctany)=A(B-)(C+arctany)=0(8分)JIJim兄A(B+arctanx)(C+arctany)=A(B+arctanx)(C3)=0(12分)_二二1由此可斛付C=,B=,A=2-。(15分)22二20,x114.解：(1)FX(x)=lnx,1xe1,x之ePX2=FX(2)=ln2(

19、3分)P0XM3=FX(3)FX(10)=10=1(6分)555P2X5/2=FX()-FX(2)=lnln2=ln(9分)2240,其他(2)fX(x)=FX(x)=1(15分)-,1xe、x15.解：因概率密度f(x)在x2处等于零，即知xx当x2时,(8分)F(x)-J-f(x)dx=1-f(x)dx-,xqQ=1-0dx=1.xx1x1F(x)=J-f(x)dx=匕0dx2(1-2)dx当1xW2时,(12分)1x111=2(x+)=2(x+-2).x1x故所求分布函数是0,x1,1一F(x)=42(x+2),1Ex2,(15分)x1,x-2.01.16.解：E(X)=xf(x)dx=

20、x(1+x)dx+x(1x)dx=0(7分)二：-104,r011D(x)=E(X2)E(X)2=q2f(x)dx=Lx2(1+x)dx+1x2(1x)dx=$(15分)1-二0exe/17 .解：令Y=|X|,所以：E(X)=|x|f(x)dx=Jxdx+lxdx=1(15202分)18 .解：设发现沉船所需要的搜索时间为X。由题设知PX0)(5分)Ze-t0故X的概率密度为f(t)=，可见X服从参数为入的指数分布，因此、0t=X-0,11p(1-p)P|?-p|-=P|X-p|.；-D(X)-p20；nnf-所以：limP|?p仅卧=0（17分）n一;二1故？=X1-HXi是废品率p的一致

21、估计量。nia1.n从而，？=X=XXj是废品率p的一致无偏估计重。（20分）ny25.解:I-1=E(X)=.222122=E(X)=D(X)E(X)(7分).一（i解得？（14分）卢=丹-叶分别以A,AH弋替4,2,得七仃2的矩估计量分别为A.a-A|二X,991/9-21/-9.仃2=A2A2=1Xi2-X=(Xi-X)2.(20分)ntny2226.解：本问题要求在水平0.02下，检3假设H)：(T=5000(H:dW5000)(4分)因为z1/2(n-1)=N；q02/2(25)=11.524,(8分)Ia/2I0.02/2/2(n1)=看.02/2(25)=44.314(12分)2由2(n-1)S2257200而/一=36(18分)二05000由于7L/2(n-1)22/2(n-1)所以接受H),即认为在0.02