差分方法基础

1、第二讲有限差分法基本原理一般的流体控制方程都是非线性的偏微分方程。在绝大多数情况下，这些偏微分方程无法得到精确解；而CFD就是通过采用各种计算方法得到这些偏微分方程的数值解，或称近似解。当然这些近似解应该满足一定的精度。目前，主要采用的CFD方法是有限差分法和有限体积法。本讲主要介绍有限差分法，它也是下一讲中的有限体积法的基础川。有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量(如密度、速度等)存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知

2、变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。2.1差分和逼近误差由于通常数字计算机只能执行算术运算和逻辑运算，因此就需要一种用算术运算来处理函数微分运算的数值方法。而有限差分法就是用离散网格点上的函数值来近似导数的一种方法。设有x的解析函数y=f(x),从微分学知道函数y对x的导数为曳=则生=财f(x+Ax)-f(x)(2-1)dxx0x0xdy、dx分别是函数及自变量的微分，dy/dx是函数对自变量的导数，又称微商。相应地，上式中的Ax、Ay分别称为自变量及函数的差分，Ay/Ax为函数对自变量的差商。在导数的定义中益是以任意方式逼近于零的，因而Ax是可正可负的

3、。在差分方法中，也总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有三种形式：向前差分7=f(x,；：x)-f(x)向后差分；：y=f(x)-f(xT；x)1 .1.、中心差分y=f(xx)-f(xx)2 2上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，就得到二阶差分，记为K、。以前向差分为例，有2,、ly=.：(Ly)二.f(xlx)-f(x)1=Af(x+Ax)-Af(x)(2-2)-f(x2lx)-f(xlx)LIf(xx)-f(x)1=f(x2lx)-2f(x匚x)f(x)依次类推，任何阶差分都可以由低一阶再作一阶差分得到。函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自

4、变量的差商。如一阶向前差商为.：yf(x+/x)-f(x)匚xlx一阶向后差商为.：yf(x)-f(xT；x)lxlx一阶中心差商为11,yf(x-x)-f(x-2x)xx或.：y_f(x.：x)f(xTx)匚x2lx二阶差商多取中心格式，即2:y_f(xx)-2f(x)f(x-凶丁一(Ax)图2.1差商与导数的关系差商与导数的关系可见图2.1。由导数(微商)和差商的定义知道，当自变量的差分(增量)趋近于零时，就可以由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分(增量)的

5、量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。现以一阶向前差商为例来分析其精度。将函数f(x十Ax)在x的Ax邻域作Taylor展开：,.、2,.、3f(x加=刈xf(x)Vf(x)三f(x)(x)4)将上式代入一阶向前差商表达式中，有f(x凶一f(x)=f(x).宁x(，x)2O(，x)3)x2!3!=f(x)0(.x)这里符号0()表示与括号中的量有相同的量级。上式表明一阶向前差商的逼近误差与自变量的增量为同一量级。把03xn)中限的指数作为精度的阶数。这里n=1,故一阶向前差商具有一阶精度。由于Ax是个小量，因此阶数越大精度越高。采用同样的办法可知一阶向后差商也具有一阶精度。对于一阶

6、中心差商，将函数f(x+Ax)与f(x-Ax)在x的Ax邻域作Taylor展开并代入一阶中心差商的表达式中，有f(x+Ax)f(x-Ax)-fx)+0Mx)2)(2-3)2x可见一阶中心差商具有二阶精度。同样，二阶中心差商的精度也为二阶。2.2差分方程、截断误差和相容性从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相图2.2网格划分应的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。现以对流方程(2-4)为例,列出相对应的差分方程。.:u.:t用差商近似代替导数时，首先要选定上用平行于坐标轴的两族直线：

7、(2-4)x和At,称为步长。然后在x-t坐标平面X=x0i.x,i=0,1,2,tn=n.：t,n=0,1,2,.划分出矩形网格，如图2.2所示。这里Ax和&取常数。直线t=tn称为第n层，网格交叉点称为结点。网格点划定后，就可针对某一结点，例如图2.2中的结点（xi,tn）,用差商近似代替导数。现用（）in表示括号内函数在（xi,tn）点的值，则对流方程在该点为i型+a史=0（2-5）I笈IEx如果时间导数用一阶向前差商近似代替：-nn1n二uUi-Uifti4空间导数用一阶中心差商近似代替：rnMnn史l三Ui书UicxJi2又则对流方程在（xi,tn）点对应的差分方程为n噌nnnU一三

8、十aUi-Ui=0（2-6）.：t2x按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数的误差为O（事）,用空间中心差商代替空间导数时的误差为O（Ax）2）,因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，这一误差可由Taylor展开确定，即U（X,tn+&）-U（xi-tn）.U（x+械,3一口（为一皿（）at2x十2+I21411al303/）.J（）=T；aO（：t,（x）2）：t：xi这种用差分方程近似代替微分方程所引起的误差，称为截断误差。这里误差量级相当于At的一次式、坟的二次式一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对

9、流方程的初值问题为Fucu(2-8)+a=0ictexu(x,0)=U(x)这里U(x)为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件:n1ni一ui,：tnnui1-Ui2x(2-9)u0=u(x)初始条件是一种定解条件，差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。将式(2-9)中第n+1时间层的量放在等号左边，将其余时间层的量放在等号右边，有n：%1n-t.nn.(2-10)i-uia(ui1-U)2lx称其为FTC璐式(时间前差、空间中差)0ui二u(x”若时间和空间都用向前差分，则得n1nui-uiLtLxui=u(xi)(2-11)同样，将第n+1时间层的量放在等号左

10、边，将其余时间层的量放在等号右边，有n书n&,nn、ui=5-a(ut-ui)xo一,、ui=u(x)(2-12)该格式称为FTFS式。若时I可米用向前差分、空间米用向后差分，则得到FTBS格式:n-1n-1nn.ui二U-a-(ui-uy)xu0u(xi)(2-13)观察这三种差分格式，可以看出若知道第n时间层的u,则可以由一个差分式子直接算出第n+1时间层的u,称这类格式为显式格式。差分方程的相容性：如果当张、Zt。时，此差分方程的截断误差的某种范数也趋近于零，则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容。收敛性和稳定性当步长趋于零

11、时，要求差分格式的解趋于微分方程的解，称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性。在有限差分法的具体运算中，计算误差总是不可避免的，如舍入误差，以及这种误差的传播、积累。如果这一误差对以后的影响越来越小，或是这个误差保持在某个限度内，那么就称这个差分格式在给定的条件下稳定。根据理论分析可以知道，上面介绍的几种差分格式是条件稳定的。差分格式介绍迎风格式前面已经指出，微分问题卜1:U八a=0；:t；xu（x,0）=u（x）的FTBSB式，在aA0和aaEl的条件下稳定，而FTFS格式在a0时的波形传播方向沿x轴正向，上游的量经过一段时间要传播到下游，n+1时刻i站的量要受到上游站n

12、时刻量的影响，故只可以迎着风向取空间差分，而不可以顺着风向取空间差分。这种格式是迎着风向往上游作差分所得到的，称为迎风格式。上述FTBS格式和FTF，式都必须在迎风时有条件稳定。隐式格式前面介绍的显式格式往往是有条件稳定的，甚至完全不稳定。如FTCS是完全不稳定的，FTBS式是条件稳定的。对于FTB璐式，在a0和a”E1的条件下稳定，xx即要求餐工x,当要求空间步长Ax很小时，时间步长也必须取的很小，才能保证格a式稳定，而&取得小，计算工作量就大大增加，经济上也不合算。而本节将要介绍的隐式格式常常是无条件稳定的，因此在许多情况下受到重视并被广泛应用。隐式格式相当于从（x,tn+&）点出发，用时

13、间的向后差分把第n+1时间层的量与已知时间层的量联系起来。现以对流方程为例，从（X，tn+At）点出发取BTCSS分可得n1nn-1n-1Uj一UjUj，i-Ujj-:j=0或改写为(2-14)-：t(2-15)a.：tn1n1a小tn1nUjj-uj-Uj1二一Uj2：x2x由于该方程含有三个第n十1时间层上的函数值，即一个方程含有三个未知量，必须解联立方程才能得到第n+1时间层上的未知量，故称该格式为隐式格式。可以证明，用于对流方程的隐式格式是完全稳定的。由于完全稳定，时间步长可以取得大些，从这一点来说，工作量减少了。但隐式格式要解代数联立方程组，在每一时间步长内工作量有所增加。耗散与色散

14、现以对流方程为例，采用时间向前差分、空间向后差分:UnUj+otUj一Uj:t(2-16)禾ij用Taylor展开，得至U：,-2-U二U1Ua=一ax(1-r)2(2-17)fta2；x43)36；x上式就是差分方程(2-16)实际所模拟的微分方程，与原对流方程相比，多了二次导数项和三次导数项。一般说：截断误差中含偶次导数项时，将引起耗散。在流体力学方程中，二次导数项是与粘性项相关的。不同的是，在这里该项是差分方程数值离散的结果，因此纯粹的数值引发，没有物理意义。因此，在CFDT法中，类似的项被称为数值耗散。相似的，该项的系数，即1aAx(1-r),其作用类似于物理粘性，因而被称为人工粘性。虽然数值耗散损害了计算精度，但却改善了计算的稳定性。因此